Din zecimal în binar pe 32 biți IEEE 754: Transformă numărul -0,000 010 411 799 în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul -0,000 010 411 799(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 010 411 799| = 0,000 010 411 799


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =


0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 010 411 799.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.


Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.


Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 010 411 799 × 2 = 0 + 0,000 020 823 598;
  • 2) 0,000 020 823 598 × 2 = 0 + 0,000 041 647 196;
  • 3) 0,000 041 647 196 × 2 = 0 + 0,000 083 294 392;
  • 4) 0,000 083 294 392 × 2 = 0 + 0,000 166 588 784;
  • 5) 0,000 166 588 784 × 2 = 0 + 0,000 333 177 568;
  • 6) 0,000 333 177 568 × 2 = 0 + 0,000 666 355 136;
  • 7) 0,000 666 355 136 × 2 = 0 + 0,001 332 710 272;
  • 8) 0,001 332 710 272 × 2 = 0 + 0,002 665 420 544;
  • 9) 0,002 665 420 544 × 2 = 0 + 0,005 330 841 088;
  • 10) 0,005 330 841 088 × 2 = 0 + 0,010 661 682 176;
  • 11) 0,010 661 682 176 × 2 = 0 + 0,021 323 364 352;
  • 12) 0,021 323 364 352 × 2 = 0 + 0,042 646 728 704;
  • 13) 0,042 646 728 704 × 2 = 0 + 0,085 293 457 408;
  • 14) 0,085 293 457 408 × 2 = 0 + 0,170 586 914 816;
  • 15) 0,170 586 914 816 × 2 = 0 + 0,341 173 829 632;
  • 16) 0,341 173 829 632 × 2 = 0 + 0,682 347 659 264;
  • 17) 0,682 347 659 264 × 2 = 1 + 0,364 695 318 528;
  • 18) 0,364 695 318 528 × 2 = 0 + 0,729 390 637 056;
  • 19) 0,729 390 637 056 × 2 = 1 + 0,458 781 274 112;
  • 20) 0,458 781 274 112 × 2 = 0 + 0,917 562 548 224;
  • 21) 0,917 562 548 224 × 2 = 1 + 0,835 125 096 448;
  • 22) 0,835 125 096 448 × 2 = 1 + 0,670 250 192 896;
  • 23) 0,670 250 192 896 × 2 = 1 + 0,340 500 385 792;
  • 24) 0,340 500 385 792 × 2 = 0 + 0,681 000 771 584;
  • 25) 0,681 000 771 584 × 2 = 1 + 0,362 001 543 168;
  • 26) 0,362 001 543 168 × 2 = 0 + 0,724 003 086 336;
  • 27) 0,724 003 086 336 × 2 = 1 + 0,448 006 172 672;
  • 28) 0,448 006 172 672 × 2 = 0 + 0,896 012 345 344;
  • 29) 0,896 012 345 344 × 2 = 1 + 0,792 024 690 688;
  • 30) 0,792 024 690 688 × 2 = 1 + 0,584 049 381 376;
  • 31) 0,584 049 381 376 × 2 = 1 + 0,168 098 762 752;
  • 32) 0,168 098 762 752 × 2 = 0 + 0,336 197 525 504;
  • 33) 0,336 197 525 504 × 2 = 0 + 0,672 395 051 008;
  • 34) 0,672 395 051 008 × 2 = 1 + 0,344 790 102 016;
  • 35) 0,344 790 102 016 × 2 = 0 + 0,689 580 204 032;
  • 36) 0,689 580 204 032 × 2 = 1 + 0,379 160 408 064;
  • 37) 0,379 160 408 064 × 2 = 0 + 0,758 320 816 128;
  • 38) 0,758 320 816 128 × 2 = 1 + 0,516 641 632 256;
  • 39) 0,516 641 632 256 × 2 = 1 + 0,033 283 264 512;
  • 40) 0,033 283 264 512 × 2 = 0 + 0,066 566 529 024;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 010 411 799(10) =


0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1010 1110 0101 0110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 010 411 799(10) =


0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1010 1110 0101 0110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 010 411 799(10) =


0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1010 1110 0101 0110(2) =


0,0000 0000 0000 0000 1010 1110 1010 1110 0101 0110(2) × 20 =


1,0101 1101 0101 1100 1010 110(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

Semn 1 (un număr negativ)


Exponent (neajustat): -17


Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1101 0101 1100 1010 110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:


Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =


-17 + 2(8-1) - 1 =


(-17 + 127)(10) =


110(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 110 : 2 = 55 + 0;
  • 55 : 2 = 27 + 1;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =


110(10) =


0110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.


b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =


1. 010 1110 1010 1110 0101 0110 =


010 1110 1010 1110 0101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)


Exponent (8 biți) =
0110 1110


Mantisă (23 biți) =
010 1110 1010 1110 0101 0110


Numărul zecimal în baza zece -0,000 010 411 799 convertit și scris în binar în representarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 0110 1110 - 010 1110 1010 1110 0101 0110

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:

  • 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-25,347| = 25,347;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 25 : 2 = 12 + 1;
    • 12 : 2 = 6 + 0;
    • 6 : 2 = 3 + 0;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    25(10) = 1 1001(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
    • 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
    • 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
    • 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
    • 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
    • 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
    • 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
    • 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
    • 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
    • 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
    • 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
    • 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
    • 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
    • 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
    • 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
    • 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
    • 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
    • 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
    • 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
    • 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
    • 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
    • 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
    • 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
    • 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    25,347(10) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
    1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
    1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24

  • 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
    1000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101

    Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)

    Exponent (8 biți) = 1000 0011

    Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111

  • Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111