Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți
Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:
- 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
- 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
- 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
- 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
- 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
- 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
- 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1; - 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
- 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.
Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:
- 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:
|-25,347| = 25,347;
- 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
- împărțire = cât + rest;
- 25 : 2 = 12 + 1;
- 12 : 2 = 6 + 0;
- 6 : 2 = 3 + 0;
- 3 : 2 = 1 + 1;
- 1 : 2 = 0 + 1;
- Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
- 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:
25(10) = 1 1001(2)
- 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
- #) înmulțire = întreg + fracționar;
- 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
- 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
- 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
- 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
- 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
- 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
- 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
- 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
- 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
- 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
- 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
- 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
- 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
- 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
- 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
- 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
- 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
- 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
- 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
- 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
- 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
- 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
- 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
- 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
- Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
- 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:
0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)
- 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:
25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)
- 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':
25,347(10) =
1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24 - 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):
Semn: 1 (număr negativ);
Exponent (neajustat): 4;
Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;
- 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:
Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
1000 0011(2) - 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):
Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101
Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111
- Concluzia:
Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)
Exponent (8 biți) = 1000 0011
Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111
Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111