Convertește (transformă) numărul 2 532,129 83 în binar în reprezentarea pe 32 biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din număr în sistem zecimal în baza 10. Explicații detaliate
Numărul 2 532,129 83(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 8 biți pentru exponent, 23 de biți pentru mantisă)
Primii pași pe care îi vom parcurge pentru a face conversia:
Convertește în binar (în baza 2) partea întreagă a numărului.
Convertește în binar partea fracționară a numărului.
1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2 532.
Împarte numărul în mod repetat la 2.
Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.
Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.
- împărțire = cât + rest;
- 2 532 : 2 = 1 266 + 0;
- 1 266 : 2 = 633 + 0;
- 633 : 2 = 316 + 1;
- 316 : 2 = 158 + 0;
- 158 : 2 = 79 + 0;
- 79 : 2 = 39 + 1;
- 39 : 2 = 19 + 1;
- 19 : 2 = 9 + 1;
- 9 : 2 = 4 + 1;
- 4 : 2 = 2 + 0;
- 2 : 2 = 1 + 0;
- 1 : 2 = 0 + 1;
2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.
Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.
2 532(10) =
1001 1110 0100(2)
3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,129 83.
Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.
Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.
- #) înmulțire = întreg + fracționar;
- 1) 0,129 83 × 2 = 0 + 0,259 66;
- 2) 0,259 66 × 2 = 0 + 0,519 32;
- 3) 0,519 32 × 2 = 1 + 0,038 64;
- 4) 0,038 64 × 2 = 0 + 0,077 28;
- 5) 0,077 28 × 2 = 0 + 0,154 56;
- 6) 0,154 56 × 2 = 0 + 0,309 12;
- 7) 0,309 12 × 2 = 0 + 0,618 24;
- 8) 0,618 24 × 2 = 1 + 0,236 48;
- 9) 0,236 48 × 2 = 0 + 0,472 96;
- 10) 0,472 96 × 2 = 0 + 0,945 92;
- 11) 0,945 92 × 2 = 1 + 0,891 84;
- 12) 0,891 84 × 2 = 1 + 0,783 68;
- 13) 0,783 68 × 2 = 1 + 0,567 36;
- 14) 0,567 36 × 2 = 1 + 0,134 72;
- 15) 0,134 72 × 2 = 0 + 0,269 44;
- 16) 0,269 44 × 2 = 0 + 0,538 88;
- 17) 0,538 88 × 2 = 1 + 0,077 76;
- 18) 0,077 76 × 2 = 0 + 0,155 52;
- 19) 0,155 52 × 2 = 0 + 0,311 04;
- 20) 0,311 04 × 2 = 0 + 0,622 08;
- 21) 0,622 08 × 2 = 1 + 0,244 16;
- 22) 0,244 16 × 2 = 0 + 0,488 32;
- 23) 0,488 32 × 2 = 0 + 0,976 64;
- 24) 0,976 64 × 2 = 1 + 0,953 28;
Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierdem precizie...)
4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.
Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:
0,129 83(10) =
0,0010 0001 0011 1100 1000 1001(2)
5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:
2 532,129 83(10) =
1001 1110 0100,0010 0001 0011 1100 1000 1001(2)
Ultimii pași pe care îi vom parcurge pentru a face conversia:
Normalizează reprezentarea binară a numărului.
Ajustează exponentul.
Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.
Normalizează mantisa.
6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.
Mută virgula cu 11 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:
2 532,129 83(10) =
1001 1110 0100,0010 0001 0011 1100 1000 1001(2) =
1001 1110 0100,0010 0001 0011 1100 1000 1001(2) × 20 =
1,0011 1100 1000 0100 0010 0111 1001 0001 001(2) × 211
7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):
Semn 0 (un număr pozitiv)
Exponent (neajustat): 11
Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1100 1000 0100 0010 0111 1001 0001 001
8. Ajustează exponentul.
Folosește reprezentarea deplasată pe 8 biți:
Exponent (ajustat) =
Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 =
11 + 2(8-1) - 1 =
(11 + 127)(10) =
138(10)
9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți.
Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:
- împărțire = cât + rest;
- 138 : 2 = 69 + 0;
- 69 : 2 = 34 + 1;
- 34 : 2 = 17 + 0;
- 17 : 2 = 8 + 1;
- 8 : 2 = 4 + 0;
- 4 : 2 = 2 + 0;
- 2 : 2 = 1 + 0;
- 1 : 2 = 0 + 1;
10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.
Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.
Exponent (ajustat) =
138(10) =
1000 1010(2)
11. Normalizează mantisa.
a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.
b) Ajustează-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).
Mantisă (normalizată) =
1. 001 1110 0100 0010 0001 0011 1100 1000 1001 =
001 1110 0100 0010 0001 0011
12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)
Exponent (8 biți) =
1000 1010
Mantisă (23 biți) =
001 1110 0100 0010 0001 0011
Numărul zecimal în baza zece 2 532,129 83 convertit și scris în binar în representarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
0 - 1000 1010 - 001 1110 0100 0010 0001 0011
Semn (1 bit):
Exponent (8 biți):
1
300
290
280
271
260
251
240
23
Mantisă (23 biți):
0
220
211
201
191
181
170
160
151
140
130
120
110
101
90
80
70
60
51
40
30
21
11
0
Convertește în binar în reprezentare pe 32 de biți, precizie simplă, virgulă mobilă în standard IEEE 754
Un număr în reprezentarea în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 e format din trei elemente: semn (ocupă 1 bit, e fie 0 pentru numere pozitive, fie 1 pentru numere negative), exponent (ocupă 11 biți), mantisă (52 biți)
Ultimele numere zecimale convertite (transformate) din baza zece în sistem binar în reprezentare pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754
| Numărul 2 532,129 83 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 350,4 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 941 649 916 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 561 821 035 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul -0,24 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul -0,666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 666 664 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 2,125 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 165,395 862 948 928 595 415 054 58 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 3 265 015 924 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Numărul 10 000 000 110 010 099 999 955 convertit (transformat) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? | 28 sep, 04:58 EET (UTC +2) |
| Toate numerele zecimale convertite (transformate) din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în reprezentarea pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 |
Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți
Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:
- 1. Dacă numărul de convertit este negativ, se începe cu versiunea pozitivă a numărului.
- 2. Se convertește întâi partea întreagă; împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
- 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
- 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
- 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor de mai sus, începând din partea de sus a listei construite (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
- 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții la stânga (sau, dacă e cazul, la dreapta) astfel încât partea întreagă a acestuia să mai conțină un singur bit, diferit de '0'.
- 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1; - 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 23 biți, fie renunțând la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...) fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
- 9. Semnul (ocupă 1 bit) este egal fie cu 1, dacă este un număr negativ, fie cu 0, dacă e un număr pozitiv.
Exemplu: convertește numărul negativ -25,347 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie simplă pe 32 de biți:
- 1. Se începe cu versiunea pozitivă a numărului:
|-25,347| = 25,347;
- 2. Convertește întâi partea întreagă, 25. Împarte în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
- împărțire = cât + rest;
- 25 : 2 = 12 + 1;
- 12 : 2 = 6 + 0;
- 6 : 2 = 3 + 0;
- 3 : 2 = 1 + 1;
- 1 : 2 = 0 + 1;
- Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
- 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:
25(10) = 1 1001(2)
- 4. Convertește apoi partea fracționară 0,347. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
- #) înmulțire = întreg + fracționar;
- 1) 0,347 × 2 = 0 + 0,694;
- 2) 0,694 × 2 = 1 + 0,388;
- 3) 0,388 × 2 = 0 + 0,776;
- 4) 0,776 × 2 = 1 + 0,552;
- 5) 0,552 × 2 = 1 + 0,104;
- 6) 0,104 × 2 = 0 + 0,208
- 7) 0,208 × 2 = 0 + 0,416;
- 8) 0,416 × 2 = 0 + 0,832;
- 9) 0,832 × 2 = 1 + 0,664;
- 10) 0,664 × 2 = 1 + 0,328;
- 11) 0,328 × 2 = 0 + 0,656;
- 12) 0,656 × 2 = 1 + 0,312;
- 13) 0,312 × 2 = 0 + 0,624;
- 14) 0,624 × 2 = 1 + 0,248;
- 15) 0,248 × 2 = 0 + 0,496;
- 16) 0,496 × 2 = 0 + 0,992;
- 17) 0,992 × 2 = 1 + 0,984;
- 18) 0,984 × 2 = 1 + 0,968;
- 19) 0,968 × 2 = 1 + 0,936;
- 20) 0,936 × 2 = 1 + 0,872;
- 21) 0,872 × 2 = 1 + 0,744;
- 22) 0,744 × 2 = 1 + 0,488;
- 23) 0,488 × 2 = 0 + 0,976;
- 24) 0,976 × 2 = 1 + 0,952;
- Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 23) și a fost găsită prin calcule măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
- 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:
0,347(10) = 0,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)
- 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:
25,347(10) = 1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2)
- 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':
25,347(10) =
1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) =
1 1001,0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 20 =
1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101(2) × 24
- 8. Până în acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie simplă (32 biți):
Semn: 1 (număr negativ);
Exponent (neajustat): 4;
Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101;
- 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 8 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar (baza 2) pe 8 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus, ținând minte toate resturile, ce vor alcătui numărul în binar:
Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(8-1) - 1 = (4 + 127)(10) = 131(10) =
1000 0011(2)
- 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea la 23 biți, prin renunțarea la biții în exces, cei din dreapta (pierzând precizie...):
Mantisă (nenormalizată): 1,1001 0101 1000 1101 0100 1111 1101
Mantisă (normalizată): 100 1010 1100 0110 1010 0111
- Concluzia:
Semn (1 bit) = 1 (un număr negativ)
Exponent (8 biți) = 1000 0011
Mantisă (23 biți) = 100 1010 1100 0110 1010 0111
Numărul -25,347 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 32 de biți, precizie simplă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
1 - 1000 0011 - 100 1010 1100 0110 1010 0111
Conversii numerice de bază între sistemul zecimal și sistemul binar
Conversii între numere din sistemul zecimal (scrise în baza zece) și din sistemul binar (baza doi și reprezentarea în limbaj calculator):
1. Întreg -> Binar
2. Zecimal -> Binar
3. Binar -> Întreg
4. Binar -> Zecimal