Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul -0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul -0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74| = 0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 076 921 749 086 961 48;
  • 2) 0,000 000 000 000 076 921 749 086 961 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 153 843 498 173 922 96;
  • 3) 0,000 000 000 000 153 843 498 173 922 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 307 686 996 347 845 92;
  • 4) 0,000 000 000 000 307 686 996 347 845 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 615 373 992 695 691 84;
  • 5) 0,000 000 000 000 615 373 992 695 691 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 230 747 985 391 383 68;
  • 6) 0,000 000 000 001 230 747 985 391 383 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 461 495 970 782 767 36;
  • 7) 0,000 000 000 002 461 495 970 782 767 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 922 991 941 565 534 72;
  • 8) 0,000 000 000 004 922 991 941 565 534 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 845 983 883 131 069 44;
  • 9) 0,000 000 000 009 845 983 883 131 069 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 019 691 967 766 262 138 88;
  • 10) 0,000 000 000 019 691 967 766 262 138 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 039 383 935 532 524 277 76;
  • 11) 0,000 000 000 039 383 935 532 524 277 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 078 767 871 065 048 555 52;
  • 12) 0,000 000 000 078 767 871 065 048 555 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 157 535 742 130 097 111 04;
  • 13) 0,000 000 000 157 535 742 130 097 111 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 315 071 484 260 194 222 08;
  • 14) 0,000 000 000 315 071 484 260 194 222 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 630 142 968 520 388 444 16;
  • 15) 0,000 000 000 630 142 968 520 388 444 16 × 2 = 0 + 0,000 000 001 260 285 937 040 776 888 32;
  • 16) 0,000 000 001 260 285 937 040 776 888 32 × 2 = 0 + 0,000 000 002 520 571 874 081 553 776 64;
  • 17) 0,000 000 002 520 571 874 081 553 776 64 × 2 = 0 + 0,000 000 005 041 143 748 163 107 553 28;
  • 18) 0,000 000 005 041 143 748 163 107 553 28 × 2 = 0 + 0,000 000 010 082 287 496 326 215 106 56;
  • 19) 0,000 000 010 082 287 496 326 215 106 56 × 2 = 0 + 0,000 000 020 164 574 992 652 430 213 12;
  • 20) 0,000 000 020 164 574 992 652 430 213 12 × 2 = 0 + 0,000 000 040 329 149 985 304 860 426 24;
  • 21) 0,000 000 040 329 149 985 304 860 426 24 × 2 = 0 + 0,000 000 080 658 299 970 609 720 852 48;
  • 22) 0,000 000 080 658 299 970 609 720 852 48 × 2 = 0 + 0,000 000 161 316 599 941 219 441 704 96;
  • 23) 0,000 000 161 316 599 941 219 441 704 96 × 2 = 0 + 0,000 000 322 633 199 882 438 883 409 92;
  • 24) 0,000 000 322 633 199 882 438 883 409 92 × 2 = 0 + 0,000 000 645 266 399 764 877 766 819 84;
  • 25) 0,000 000 645 266 399 764 877 766 819 84 × 2 = 0 + 0,000 001 290 532 799 529 755 533 639 68;
  • 26) 0,000 001 290 532 799 529 755 533 639 68 × 2 = 0 + 0,000 002 581 065 599 059 511 067 279 36;
  • 27) 0,000 002 581 065 599 059 511 067 279 36 × 2 = 0 + 0,000 005 162 131 198 119 022 134 558 72;
  • 28) 0,000 005 162 131 198 119 022 134 558 72 × 2 = 0 + 0,000 010 324 262 396 238 044 269 117 44;
  • 29) 0,000 010 324 262 396 238 044 269 117 44 × 2 = 0 + 0,000 020 648 524 792 476 088 538 234 88;
  • 30) 0,000 020 648 524 792 476 088 538 234 88 × 2 = 0 + 0,000 041 297 049 584 952 177 076 469 76;
  • 31) 0,000 041 297 049 584 952 177 076 469 76 × 2 = 0 + 0,000 082 594 099 169 904 354 152 939 52;
  • 32) 0,000 082 594 099 169 904 354 152 939 52 × 2 = 0 + 0,000 165 188 198 339 808 708 305 879 04;
  • 33) 0,000 165 188 198 339 808 708 305 879 04 × 2 = 0 + 0,000 330 376 396 679 617 416 611 758 08;
  • 34) 0,000 330 376 396 679 617 416 611 758 08 × 2 = 0 + 0,000 660 752 793 359 234 833 223 516 16;
  • 35) 0,000 660 752 793 359 234 833 223 516 16 × 2 = 0 + 0,001 321 505 586 718 469 666 447 032 32;
  • 36) 0,001 321 505 586 718 469 666 447 032 32 × 2 = 0 + 0,002 643 011 173 436 939 332 894 064 64;
  • 37) 0,002 643 011 173 436 939 332 894 064 64 × 2 = 0 + 0,005 286 022 346 873 878 665 788 129 28;
  • 38) 0,005 286 022 346 873 878 665 788 129 28 × 2 = 0 + 0,010 572 044 693 747 757 331 576 258 56;
  • 39) 0,010 572 044 693 747 757 331 576 258 56 × 2 = 0 + 0,021 144 089 387 495 514 663 152 517 12;
  • 40) 0,021 144 089 387 495 514 663 152 517 12 × 2 = 0 + 0,042 288 178 774 991 029 326 305 034 24;
  • 41) 0,042 288 178 774 991 029 326 305 034 24 × 2 = 0 + 0,084 576 357 549 982 058 652 610 068 48;
  • 42) 0,084 576 357 549 982 058 652 610 068 48 × 2 = 0 + 0,169 152 715 099 964 117 305 220 136 96;
  • 43) 0,169 152 715 099 964 117 305 220 136 96 × 2 = 0 + 0,338 305 430 199 928 234 610 440 273 92;
  • 44) 0,338 305 430 199 928 234 610 440 273 92 × 2 = 0 + 0,676 610 860 399 856 469 220 880 547 84;
  • 45) 0,676 610 860 399 856 469 220 880 547 84 × 2 = 1 + 0,353 221 720 799 712 938 441 761 095 68;
  • 46) 0,353 221 720 799 712 938 441 761 095 68 × 2 = 0 + 0,706 443 441 599 425 876 883 522 191 36;
  • 47) 0,706 443 441 599 425 876 883 522 191 36 × 2 = 1 + 0,412 886 883 198 851 753 767 044 382 72;
  • 48) 0,412 886 883 198 851 753 767 044 382 72 × 2 = 0 + 0,825 773 766 397 703 507 534 088 765 44;
  • 49) 0,825 773 766 397 703 507 534 088 765 44 × 2 = 1 + 0,651 547 532 795 407 015 068 177 530 88;
  • 50) 0,651 547 532 795 407 015 068 177 530 88 × 2 = 1 + 0,303 095 065 590 814 030 136 355 061 76;
  • 51) 0,303 095 065 590 814 030 136 355 061 76 × 2 = 0 + 0,606 190 131 181 628 060 272 710 123 52;
  • 52) 0,606 190 131 181 628 060 272 710 123 52 × 2 = 1 + 0,212 380 262 363 256 120 545 420 247 04;
  • 53) 0,212 380 262 363 256 120 545 420 247 04 × 2 = 0 + 0,424 760 524 726 512 241 090 840 494 08;
  • 54) 0,424 760 524 726 512 241 090 840 494 08 × 2 = 0 + 0,849 521 049 453 024 482 181 680 988 16;
  • 55) 0,849 521 049 453 024 482 181 680 988 16 × 2 = 1 + 0,699 042 098 906 048 964 363 361 976 32;
  • 56) 0,699 042 098 906 048 964 363 361 976 32 × 2 = 1 + 0,398 084 197 812 097 928 726 723 952 64;
  • 57) 0,398 084 197 812 097 928 726 723 952 64 × 2 = 0 + 0,796 168 395 624 195 857 453 447 905 28;
  • 58) 0,796 168 395 624 195 857 453 447 905 28 × 2 = 1 + 0,592 336 791 248 391 714 906 895 810 56;
  • 59) 0,592 336 791 248 391 714 906 895 810 56 × 2 = 1 + 0,184 673 582 496 783 429 813 791 621 12;
  • 60) 0,184 673 582 496 783 429 813 791 621 12 × 2 = 0 + 0,369 347 164 993 566 859 627 583 242 24;
  • 61) 0,369 347 164 993 566 859 627 583 242 24 × 2 = 0 + 0,738 694 329 987 133 719 255 166 484 48;
  • 62) 0,738 694 329 987 133 719 255 166 484 48 × 2 = 1 + 0,477 388 659 974 267 438 510 332 968 96;
  • 63) 0,477 388 659 974 267 438 510 332 968 96 × 2 = 0 + 0,954 777 319 948 534 877 020 665 937 92;
  • 64) 0,954 777 319 948 534 877 020 665 937 92 × 2 = 1 + 0,909 554 639 897 069 754 041 331 875 84;
  • 65) 0,909 554 639 897 069 754 041 331 875 84 × 2 = 1 + 0,819 109 279 794 139 508 082 663 751 68;
  • 66) 0,819 109 279 794 139 508 082 663 751 68 × 2 = 1 + 0,638 218 559 588 279 016 165 327 503 36;
  • 67) 0,638 218 559 588 279 016 165 327 503 36 × 2 = 1 + 0,276 437 119 176 558 032 330 655 006 72;
  • 68) 0,276 437 119 176 558 032 330 655 006 72 × 2 = 0 + 0,552 874 238 353 116 064 661 310 013 44;
  • 69) 0,552 874 238 353 116 064 661 310 013 44 × 2 = 1 + 0,105 748 476 706 232 129 322 620 026 88;
  • 70) 0,105 748 476 706 232 129 322 620 026 88 × 2 = 0 + 0,211 496 953 412 464 258 645 240 053 76;
  • 71) 0,211 496 953 412 464 258 645 240 053 76 × 2 = 0 + 0,422 993 906 824 928 517 290 480 107 52;
  • 72) 0,422 993 906 824 928 517 290 480 107 52 × 2 = 0 + 0,845 987 813 649 857 034 580 960 215 04;
  • 73) 0,845 987 813 649 857 034 580 960 215 04 × 2 = 1 + 0,691 975 627 299 714 069 161 920 430 08;
  • 74) 0,691 975 627 299 714 069 161 920 430 08 × 2 = 1 + 0,383 951 254 599 428 138 323 840 860 16;
  • 75) 0,383 951 254 599 428 138 323 840 860 16 × 2 = 0 + 0,767 902 509 198 856 276 647 681 720 32;
  • 76) 0,767 902 509 198 856 276 647 681 720 32 × 2 = 1 + 0,535 805 018 397 712 553 295 363 440 64;
  • 77) 0,535 805 018 397 712 553 295 363 440 64 × 2 = 1 + 0,071 610 036 795 425 106 590 726 881 28;
  • 78) 0,071 610 036 795 425 106 590 726 881 28 × 2 = 0 + 0,143 220 073 590 850 213 181 453 762 56;
  • 79) 0,143 220 073 590 850 213 181 453 762 56 × 2 = 0 + 0,286 440 147 181 700 426 362 907 525 12;
  • 80) 0,286 440 147 181 700 426 362 907 525 12 × 2 = 0 + 0,572 880 294 363 400 852 725 815 050 24;
  • 81) 0,572 880 294 363 400 852 725 815 050 24 × 2 = 1 + 0,145 760 588 726 801 705 451 630 100 48;
  • 82) 0,145 760 588 726 801 705 451 630 100 48 × 2 = 0 + 0,291 521 177 453 603 410 903 260 200 96;
  • 83) 0,291 521 177 453 603 410 903 260 200 96 × 2 = 0 + 0,583 042 354 907 206 821 806 520 401 92;
  • 84) 0,583 042 354 907 206 821 806 520 401 92 × 2 = 1 + 0,166 084 709 814 413 643 613 040 803 84;
  • 85) 0,166 084 709 814 413 643 613 040 803 84 × 2 = 0 + 0,332 169 419 628 827 287 226 081 607 68;
  • 86) 0,332 169 419 628 827 287 226 081 607 68 × 2 = 0 + 0,664 338 839 257 654 574 452 163 215 36;
  • 87) 0,664 338 839 257 654 574 452 163 215 36 × 2 = 1 + 0,328 677 678 515 309 148 904 326 430 72;
  • 88) 0,328 677 678 515 309 148 904 326 430 72 × 2 = 0 + 0,657 355 357 030 618 297 808 652 861 44;
  • 89) 0,657 355 357 030 618 297 808 652 861 44 × 2 = 1 + 0,314 710 714 061 236 595 617 305 722 88;
  • 90) 0,314 710 714 061 236 595 617 305 722 88 × 2 = 0 + 0,629 421 428 122 473 191 234 611 445 76;
  • 91) 0,629 421 428 122 473 191 234 611 445 76 × 2 = 1 + 0,258 842 856 244 946 382 469 222 891 52;
  • 92) 0,258 842 856 244 946 382 469 222 891 52 × 2 = 0 + 0,517 685 712 489 892 764 938 445 783 04;
  • 93) 0,517 685 712 489 892 764 938 445 783 04 × 2 = 1 + 0,035 371 424 979 785 529 876 891 566 08;
  • 94) 0,035 371 424 979 785 529 876 891 566 08 × 2 = 0 + 0,070 742 849 959 571 059 753 783 132 16;
  • 95) 0,070 742 849 959 571 059 753 783 132 16 × 2 = 0 + 0,141 485 699 919 142 119 507 566 264 32;
  • 96) 0,141 485 699 919 142 119 507 566 264 32 × 2 = 0 + 0,282 971 399 838 284 239 015 132 528 64;
  • 97) 0,282 971 399 838 284 239 015 132 528 64 × 2 = 0 + 0,565 942 799 676 568 478 030 265 057 28;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010 1101 0011 0110 0101 1110 1000 1101 1000 1001 0010 1010 1000 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010 1101 0011 0110 0101 1110 1000 1101 1000 1001 0010 1010 1000 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 45 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010 1101 0011 0110 0101 1110 1000 1101 1000 1001 0010 1010 1000 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010 1101 0011 0110 0101 1110 1000 1101 1000 1001 0010 1010 1000 0(2) × 20 =

1,0101 1010 0110 1100 1011 1101 0001 1011 0001 0010 0101 0101 0000(2) × 2-45


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -45

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1010 0110 1100 1011 1101 0001 1011 0001 0010 0101 0101 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-45 + 2(11-1) - 1 =

(-45 + 1 023)(10) =

978(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 978 : 2 = 489 + 0;
  • 489 : 2 = 244 + 1;
  • 244 : 2 = 122 + 0;
  • 122 : 2 = 61 + 0;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

978(10) =

011 1101 0010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1010 0110 1100 1011 1101 0001 1011 0001 0010 0101 0101 0000 =

0101 1010 0110 1100 1011 1101 0001 1011 0001 0010 0101 0101 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1101 0010

Mantisă (52 biți) =
0101 1010 0110 1100 1011 1101 0001 1011 0001 0010 0101 0101 0000


Numărul zecimal în baza zece -0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1101 0010 - 0101 1010 0110 1100 1011 1101 0001 1011 0001 0010 0101 0101 0000

» Numărul zecimal în baza zece -0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 68 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2025 [Aprilie]: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule lunare efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

» [EN] This operation in English: Convert -0,000 000 000 000 038 460 874 543 480 74 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100