Scriere -0,000 105 923 4 din zecimal în binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 105 923 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 105 923 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 105 923 4| = 0,000 105 923 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 105 923 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 105 923 4 × 2 = 0 + 0,000 211 846 8;
  • 2) 0,000 211 846 8 × 2 = 0 + 0,000 423 693 6;
  • 3) 0,000 423 693 6 × 2 = 0 + 0,000 847 387 2;
  • 4) 0,000 847 387 2 × 2 = 0 + 0,001 694 774 4;
  • 5) 0,001 694 774 4 × 2 = 0 + 0,003 389 548 8;
  • 6) 0,003 389 548 8 × 2 = 0 + 0,006 779 097 6;
  • 7) 0,006 779 097 6 × 2 = 0 + 0,013 558 195 2;
  • 8) 0,013 558 195 2 × 2 = 0 + 0,027 116 390 4;
  • 9) 0,027 116 390 4 × 2 = 0 + 0,054 232 780 8;
  • 10) 0,054 232 780 8 × 2 = 0 + 0,108 465 561 6;
  • 11) 0,108 465 561 6 × 2 = 0 + 0,216 931 123 2;
  • 12) 0,216 931 123 2 × 2 = 0 + 0,433 862 246 4;
  • 13) 0,433 862 246 4 × 2 = 0 + 0,867 724 492 8;
  • 14) 0,867 724 492 8 × 2 = 1 + 0,735 448 985 6;
  • 15) 0,735 448 985 6 × 2 = 1 + 0,470 897 971 2;
  • 16) 0,470 897 971 2 × 2 = 0 + 0,941 795 942 4;
  • 17) 0,941 795 942 4 × 2 = 1 + 0,883 591 884 8;
  • 18) 0,883 591 884 8 × 2 = 1 + 0,767 183 769 6;
  • 19) 0,767 183 769 6 × 2 = 1 + 0,534 367 539 2;
  • 20) 0,534 367 539 2 × 2 = 1 + 0,068 735 078 4;
  • 21) 0,068 735 078 4 × 2 = 0 + 0,137 470 156 8;
  • 22) 0,137 470 156 8 × 2 = 0 + 0,274 940 313 6;
  • 23) 0,274 940 313 6 × 2 = 0 + 0,549 880 627 2;
  • 24) 0,549 880 627 2 × 2 = 1 + 0,099 761 254 4;
  • 25) 0,099 761 254 4 × 2 = 0 + 0,199 522 508 8;
  • 26) 0,199 522 508 8 × 2 = 0 + 0,399 045 017 6;
  • 27) 0,399 045 017 6 × 2 = 0 + 0,798 090 035 2;
  • 28) 0,798 090 035 2 × 2 = 1 + 0,596 180 070 4;
  • 29) 0,596 180 070 4 × 2 = 1 + 0,192 360 140 8;
  • 30) 0,192 360 140 8 × 2 = 0 + 0,384 720 281 6;
  • 31) 0,384 720 281 6 × 2 = 0 + 0,769 440 563 2;
  • 32) 0,769 440 563 2 × 2 = 1 + 0,538 881 126 4;
  • 33) 0,538 881 126 4 × 2 = 1 + 0,077 762 252 8;
  • 34) 0,077 762 252 8 × 2 = 0 + 0,155 524 505 6;
  • 35) 0,155 524 505 6 × 2 = 0 + 0,311 049 011 2;
  • 36) 0,311 049 011 2 × 2 = 0 + 0,622 098 022 4;
  • 37) 0,622 098 022 4 × 2 = 1 + 0,244 196 044 8;
  • 38) 0,244 196 044 8 × 2 = 0 + 0,488 392 089 6;
  • 39) 0,488 392 089 6 × 2 = 0 + 0,976 784 179 2;
  • 40) 0,976 784 179 2 × 2 = 1 + 0,953 568 358 4;
  • 41) 0,953 568 358 4 × 2 = 1 + 0,907 136 716 8;
  • 42) 0,907 136 716 8 × 2 = 1 + 0,814 273 433 6;
  • 43) 0,814 273 433 6 × 2 = 1 + 0,628 546 867 2;
  • 44) 0,628 546 867 2 × 2 = 1 + 0,257 093 734 4;
  • 45) 0,257 093 734 4 × 2 = 0 + 0,514 187 468 8;
  • 46) 0,514 187 468 8 × 2 = 1 + 0,028 374 937 6;
  • 47) 0,028 374 937 6 × 2 = 0 + 0,056 749 875 2;
  • 48) 0,056 749 875 2 × 2 = 0 + 0,113 499 750 4;
  • 49) 0,113 499 750 4 × 2 = 0 + 0,226 999 500 8;
  • 50) 0,226 999 500 8 × 2 = 0 + 0,453 999 001 6;
  • 51) 0,453 999 001 6 × 2 = 0 + 0,907 998 003 2;
  • 52) 0,907 998 003 2 × 2 = 1 + 0,815 996 006 4;
  • 53) 0,815 996 006 4 × 2 = 1 + 0,631 992 012 8;
  • 54) 0,631 992 012 8 × 2 = 1 + 0,263 984 025 6;
  • 55) 0,263 984 025 6 × 2 = 0 + 0,527 968 051 2;
  • 56) 0,527 968 051 2 × 2 = 1 + 0,055 936 102 4;
  • 57) 0,055 936 102 4 × 2 = 0 + 0,111 872 204 8;
  • 58) 0,111 872 204 8 × 2 = 0 + 0,223 744 409 6;
  • 59) 0,223 744 409 6 × 2 = 0 + 0,447 488 819 2;
  • 60) 0,447 488 819 2 × 2 = 0 + 0,894 977 638 4;
  • 61) 0,894 977 638 4 × 2 = 1 + 0,789 955 276 8;
  • 62) 0,789 955 276 8 × 2 = 1 + 0,579 910 553 6;
  • 63) 0,579 910 553 6 × 2 = 1 + 0,159 821 107 2;
  • 64) 0,159 821 107 2 × 2 = 0 + 0,319 642 214 4;
  • 65) 0,319 642 214 4 × 2 = 0 + 0,639 284 428 8;
  • 66) 0,639 284 428 8 × 2 = 1 + 0,278 568 857 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 105 923 4(10) =

0,0000 0000 0000 0110 1111 0001 0001 1001 1000 1001 1111 0100 0001 1101 0000 1110 01(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 105 923 4(10) =

0,0000 0000 0000 0110 1111 0001 0001 1001 1000 1001 1111 0100 0001 1101 0000 1110 01(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 105 923 4(10) =

0,0000 0000 0000 0110 1111 0001 0001 1001 1000 1001 1111 0100 0001 1101 0000 1110 01(2) =

0,0000 0000 0000 0110 1111 0001 0001 1001 1000 1001 1111 0100 0001 1101 0000 1110 01(2) × 20 =

1,1011 1100 0100 0110 0110 0010 0111 1101 0000 0111 0100 0011 1001(2) × 2-14


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1100 0100 0110 0110 0010 0111 1101 0000 0111 0100 0011 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1100 0100 0110 0110 0010 0111 1101 0000 0111 0100 0011 1001 =

1011 1100 0100 0110 0110 0010 0111 1101 0000 0111 0100 0011 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 1100 0100 0110 0110 0010 0111 1101 0000 0111 0100 0011 1001


Numărul zecimal -0,000 105 923 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0001 - 1011 1100 0100 0110 0110 0010 0111 1101 0000 0111 0100 0011 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 105 928 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2025 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100