-1 880,600 000 000 000 049 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -1 880,600 000 000 000 049(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-1 880,600 000 000 000 049(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-1 880,600 000 000 000 049| = 1 880,600 000 000 000 049


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1 880.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 880 : 2 = 940 + 0;
  • 940 : 2 = 470 + 0;
  • 470 : 2 = 235 + 0;
  • 235 : 2 = 117 + 1;
  • 117 : 2 = 58 + 1;
  • 58 : 2 = 29 + 0;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 880(10) =

111 0101 1000(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,600 000 000 000 049.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,600 000 000 000 049 × 2 = 1 + 0,200 000 000 000 098;
  • 2) 0,200 000 000 000 098 × 2 = 0 + 0,400 000 000 000 196;
  • 3) 0,400 000 000 000 196 × 2 = 0 + 0,800 000 000 000 392;
  • 4) 0,800 000 000 000 392 × 2 = 1 + 0,600 000 000 000 784;
  • 5) 0,600 000 000 000 784 × 2 = 1 + 0,200 000 000 001 568;
  • 6) 0,200 000 000 001 568 × 2 = 0 + 0,400 000 000 003 136;
  • 7) 0,400 000 000 003 136 × 2 = 0 + 0,800 000 000 006 272;
  • 8) 0,800 000 000 006 272 × 2 = 1 + 0,600 000 000 012 544;
  • 9) 0,600 000 000 012 544 × 2 = 1 + 0,200 000 000 025 088;
  • 10) 0,200 000 000 025 088 × 2 = 0 + 0,400 000 000 050 176;
  • 11) 0,400 000 000 050 176 × 2 = 0 + 0,800 000 000 100 352;
  • 12) 0,800 000 000 100 352 × 2 = 1 + 0,600 000 000 200 704;
  • 13) 0,600 000 000 200 704 × 2 = 1 + 0,200 000 000 401 408;
  • 14) 0,200 000 000 401 408 × 2 = 0 + 0,400 000 000 802 816;
  • 15) 0,400 000 000 802 816 × 2 = 0 + 0,800 000 001 605 632;
  • 16) 0,800 000 001 605 632 × 2 = 1 + 0,600 000 003 211 264;
  • 17) 0,600 000 003 211 264 × 2 = 1 + 0,200 000 006 422 528;
  • 18) 0,200 000 006 422 528 × 2 = 0 + 0,400 000 012 845 056;
  • 19) 0,400 000 012 845 056 × 2 = 0 + 0,800 000 025 690 112;
  • 20) 0,800 000 025 690 112 × 2 = 1 + 0,600 000 051 380 224;
  • 21) 0,600 000 051 380 224 × 2 = 1 + 0,200 000 102 760 448;
  • 22) 0,200 000 102 760 448 × 2 = 0 + 0,400 000 205 520 896;
  • 23) 0,400 000 205 520 896 × 2 = 0 + 0,800 000 411 041 792;
  • 24) 0,800 000 411 041 792 × 2 = 1 + 0,600 000 822 083 584;
  • 25) 0,600 000 822 083 584 × 2 = 1 + 0,200 001 644 167 168;
  • 26) 0,200 001 644 167 168 × 2 = 0 + 0,400 003 288 334 336;
  • 27) 0,400 003 288 334 336 × 2 = 0 + 0,800 006 576 668 672;
  • 28) 0,800 006 576 668 672 × 2 = 1 + 0,600 013 153 337 344;
  • 29) 0,600 013 153 337 344 × 2 = 1 + 0,200 026 306 674 688;
  • 30) 0,200 026 306 674 688 × 2 = 0 + 0,400 052 613 349 376;
  • 31) 0,400 052 613 349 376 × 2 = 0 + 0,800 105 226 698 752;
  • 32) 0,800 105 226 698 752 × 2 = 1 + 0,600 210 453 397 504;
  • 33) 0,600 210 453 397 504 × 2 = 1 + 0,200 420 906 795 008;
  • 34) 0,200 420 906 795 008 × 2 = 0 + 0,400 841 813 590 016;
  • 35) 0,400 841 813 590 016 × 2 = 0 + 0,801 683 627 180 032;
  • 36) 0,801 683 627 180 032 × 2 = 1 + 0,603 367 254 360 064;
  • 37) 0,603 367 254 360 064 × 2 = 1 + 0,206 734 508 720 128;
  • 38) 0,206 734 508 720 128 × 2 = 0 + 0,413 469 017 440 256;
  • 39) 0,413 469 017 440 256 × 2 = 0 + 0,826 938 034 880 512;
  • 40) 0,826 938 034 880 512 × 2 = 1 + 0,653 876 069 761 024;
  • 41) 0,653 876 069 761 024 × 2 = 1 + 0,307 752 139 522 048;
  • 42) 0,307 752 139 522 048 × 2 = 0 + 0,615 504 279 044 096;
  • 43) 0,615 504 279 044 096 × 2 = 1 + 0,231 008 558 088 192;
  • 44) 0,231 008 558 088 192 × 2 = 0 + 0,462 017 116 176 384;
  • 45) 0,462 017 116 176 384 × 2 = 0 + 0,924 034 232 352 768;
  • 46) 0,924 034 232 352 768 × 2 = 1 + 0,848 068 464 705 536;
  • 47) 0,848 068 464 705 536 × 2 = 1 + 0,696 136 929 411 072;
  • 48) 0,696 136 929 411 072 × 2 = 1 + 0,392 273 858 822 144;
  • 49) 0,392 273 858 822 144 × 2 = 0 + 0,784 547 717 644 288;
  • 50) 0,784 547 717 644 288 × 2 = 1 + 0,569 095 435 288 576;
  • 51) 0,569 095 435 288 576 × 2 = 1 + 0,138 190 870 577 152;
  • 52) 0,138 190 870 577 152 × 2 = 0 + 0,276 381 741 154 304;
  • 53) 0,276 381 741 154 304 × 2 = 0 + 0,552 763 482 308 608;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,600 000 000 000 049(10) =

0,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 0111 0110 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1 880,600 000 000 000 049(10) =

111 0101 1000,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 0111 0110 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 880,600 000 000 000 049(10) =

111 0101 1000,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 0111 0110 0(2) =

111 0101 1000,1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010 0111 0110 0(2) × 20 =

1,1101 0110 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 1001 1101 100(2) × 210


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 0110 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 1001 1101 100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 0110 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 100 1110 1100 =

1101 0110 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
1101 0110 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110


Numărul zecimal -1 880,600 000 000 000 049 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1001 - 1101 0110 0010 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110 0110

Distribuie

» Scriere -1 880,600 000 000 000 045 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 01, 2026 [Ianuarie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Ianuarie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100