-29,931 663 088 704 059 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -29,931 663 088 704 059 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-29,931 663 088 704 059 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-29,931 663 088 704 059 3| = 29,931 663 088 704 059 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 29.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

29(10) =

1 1101(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,931 663 088 704 059 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,931 663 088 704 059 3 × 2 = 1 + 0,863 326 177 408 118 6;
  • 2) 0,863 326 177 408 118 6 × 2 = 1 + 0,726 652 354 816 237 2;
  • 3) 0,726 652 354 816 237 2 × 2 = 1 + 0,453 304 709 632 474 4;
  • 4) 0,453 304 709 632 474 4 × 2 = 0 + 0,906 609 419 264 948 8;
  • 5) 0,906 609 419 264 948 8 × 2 = 1 + 0,813 218 838 529 897 6;
  • 6) 0,813 218 838 529 897 6 × 2 = 1 + 0,626 437 677 059 795 2;
  • 7) 0,626 437 677 059 795 2 × 2 = 1 + 0,252 875 354 119 590 4;
  • 8) 0,252 875 354 119 590 4 × 2 = 0 + 0,505 750 708 239 180 8;
  • 9) 0,505 750 708 239 180 8 × 2 = 1 + 0,011 501 416 478 361 6;
  • 10) 0,011 501 416 478 361 6 × 2 = 0 + 0,023 002 832 956 723 2;
  • 11) 0,023 002 832 956 723 2 × 2 = 0 + 0,046 005 665 913 446 4;
  • 12) 0,046 005 665 913 446 4 × 2 = 0 + 0,092 011 331 826 892 8;
  • 13) 0,092 011 331 826 892 8 × 2 = 0 + 0,184 022 663 653 785 6;
  • 14) 0,184 022 663 653 785 6 × 2 = 0 + 0,368 045 327 307 571 2;
  • 15) 0,368 045 327 307 571 2 × 2 = 0 + 0,736 090 654 615 142 4;
  • 16) 0,736 090 654 615 142 4 × 2 = 1 + 0,472 181 309 230 284 8;
  • 17) 0,472 181 309 230 284 8 × 2 = 0 + 0,944 362 618 460 569 6;
  • 18) 0,944 362 618 460 569 6 × 2 = 1 + 0,888 725 236 921 139 2;
  • 19) 0,888 725 236 921 139 2 × 2 = 1 + 0,777 450 473 842 278 4;
  • 20) 0,777 450 473 842 278 4 × 2 = 1 + 0,554 900 947 684 556 8;
  • 21) 0,554 900 947 684 556 8 × 2 = 1 + 0,109 801 895 369 113 6;
  • 22) 0,109 801 895 369 113 6 × 2 = 0 + 0,219 603 790 738 227 2;
  • 23) 0,219 603 790 738 227 2 × 2 = 0 + 0,439 207 581 476 454 4;
  • 24) 0,439 207 581 476 454 4 × 2 = 0 + 0,878 415 162 952 908 8;
  • 25) 0,878 415 162 952 908 8 × 2 = 1 + 0,756 830 325 905 817 6;
  • 26) 0,756 830 325 905 817 6 × 2 = 1 + 0,513 660 651 811 635 2;
  • 27) 0,513 660 651 811 635 2 × 2 = 1 + 0,027 321 303 623 270 4;
  • 28) 0,027 321 303 623 270 4 × 2 = 0 + 0,054 642 607 246 540 8;
  • 29) 0,054 642 607 246 540 8 × 2 = 0 + 0,109 285 214 493 081 6;
  • 30) 0,109 285 214 493 081 6 × 2 = 0 + 0,218 570 428 986 163 2;
  • 31) 0,218 570 428 986 163 2 × 2 = 0 + 0,437 140 857 972 326 4;
  • 32) 0,437 140 857 972 326 4 × 2 = 0 + 0,874 281 715 944 652 8;
  • 33) 0,874 281 715 944 652 8 × 2 = 1 + 0,748 563 431 889 305 6;
  • 34) 0,748 563 431 889 305 6 × 2 = 1 + 0,497 126 863 778 611 2;
  • 35) 0,497 126 863 778 611 2 × 2 = 0 + 0,994 253 727 557 222 4;
  • 36) 0,994 253 727 557 222 4 × 2 = 1 + 0,988 507 455 114 444 8;
  • 37) 0,988 507 455 114 444 8 × 2 = 1 + 0,977 014 910 228 889 6;
  • 38) 0,977 014 910 228 889 6 × 2 = 1 + 0,954 029 820 457 779 2;
  • 39) 0,954 029 820 457 779 2 × 2 = 1 + 0,908 059 640 915 558 4;
  • 40) 0,908 059 640 915 558 4 × 2 = 1 + 0,816 119 281 831 116 8;
  • 41) 0,816 119 281 831 116 8 × 2 = 1 + 0,632 238 563 662 233 6;
  • 42) 0,632 238 563 662 233 6 × 2 = 1 + 0,264 477 127 324 467 2;
  • 43) 0,264 477 127 324 467 2 × 2 = 0 + 0,528 954 254 648 934 4;
  • 44) 0,528 954 254 648 934 4 × 2 = 1 + 0,057 908 509 297 868 8;
  • 45) 0,057 908 509 297 868 8 × 2 = 0 + 0,115 817 018 595 737 6;
  • 46) 0,115 817 018 595 737 6 × 2 = 0 + 0,231 634 037 191 475 2;
  • 47) 0,231 634 037 191 475 2 × 2 = 0 + 0,463 268 074 382 950 4;
  • 48) 0,463 268 074 382 950 4 × 2 = 0 + 0,926 536 148 765 900 8;
  • 49) 0,926 536 148 765 900 8 × 2 = 1 + 0,853 072 297 531 801 6;
  • 50) 0,853 072 297 531 801 6 × 2 = 1 + 0,706 144 595 063 603 2;
  • 51) 0,706 144 595 063 603 2 × 2 = 1 + 0,412 289 190 127 206 4;
  • 52) 0,412 289 190 127 206 4 × 2 = 0 + 0,824 578 380 254 412 8;
  • 53) 0,824 578 380 254 412 8 × 2 = 1 + 0,649 156 760 508 825 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,931 663 088 704 059 3(10) =

0,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1110 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

29,931 663 088 704 059 3(10) =

1 1101,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1110 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


29,931 663 088 704 059 3(10) =

1 1101,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1110 1(2) =

1 1101,1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1110 1(2) × 20 =

1,1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1110 1(2) × 24


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1110 1


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000 1 1101 =

1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000


Numărul zecimal -29,931 663 088 704 059 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0011 - 1101 1110 1110 1000 0001 0111 1000 1110 0000 1101 1111 1101 0000

Distribuie

» Scriere -29,931 663 088 704 051 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100