-6,745 579 999 999 999 465 386 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -6,745 579 999 999 999 465 386 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-6,745 579 999 999 999 465 386 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-6,745 579 999 999 999 465 386 7| = 6,745 579 999 999 999 465 386 7


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 6.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

6(10) =

110(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,745 579 999 999 999 465 386 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,745 579 999 999 999 465 386 7 × 2 = 1 + 0,491 159 999 999 998 930 773 4;
  • 2) 0,491 159 999 999 998 930 773 4 × 2 = 0 + 0,982 319 999 999 997 861 546 8;
  • 3) 0,982 319 999 999 997 861 546 8 × 2 = 1 + 0,964 639 999 999 995 723 093 6;
  • 4) 0,964 639 999 999 995 723 093 6 × 2 = 1 + 0,929 279 999 999 991 446 187 2;
  • 5) 0,929 279 999 999 991 446 187 2 × 2 = 1 + 0,858 559 999 999 982 892 374 4;
  • 6) 0,858 559 999 999 982 892 374 4 × 2 = 1 + 0,717 119 999 999 965 784 748 8;
  • 7) 0,717 119 999 999 965 784 748 8 × 2 = 1 + 0,434 239 999 999 931 569 497 6;
  • 8) 0,434 239 999 999 931 569 497 6 × 2 = 0 + 0,868 479 999 999 863 138 995 2;
  • 9) 0,868 479 999 999 863 138 995 2 × 2 = 1 + 0,736 959 999 999 726 277 990 4;
  • 10) 0,736 959 999 999 726 277 990 4 × 2 = 1 + 0,473 919 999 999 452 555 980 8;
  • 11) 0,473 919 999 999 452 555 980 8 × 2 = 0 + 0,947 839 999 998 905 111 961 6;
  • 12) 0,947 839 999 998 905 111 961 6 × 2 = 1 + 0,895 679 999 997 810 223 923 2;
  • 13) 0,895 679 999 997 810 223 923 2 × 2 = 1 + 0,791 359 999 995 620 447 846 4;
  • 14) 0,791 359 999 995 620 447 846 4 × 2 = 1 + 0,582 719 999 991 240 895 692 8;
  • 15) 0,582 719 999 991 240 895 692 8 × 2 = 1 + 0,165 439 999 982 481 791 385 6;
  • 16) 0,165 439 999 982 481 791 385 6 × 2 = 0 + 0,330 879 999 964 963 582 771 2;
  • 17) 0,330 879 999 964 963 582 771 2 × 2 = 0 + 0,661 759 999 929 927 165 542 4;
  • 18) 0,661 759 999 929 927 165 542 4 × 2 = 1 + 0,323 519 999 859 854 331 084 8;
  • 19) 0,323 519 999 859 854 331 084 8 × 2 = 0 + 0,647 039 999 719 708 662 169 6;
  • 20) 0,647 039 999 719 708 662 169 6 × 2 = 1 + 0,294 079 999 439 417 324 339 2;
  • 21) 0,294 079 999 439 417 324 339 2 × 2 = 0 + 0,588 159 998 878 834 648 678 4;
  • 22) 0,588 159 998 878 834 648 678 4 × 2 = 1 + 0,176 319 997 757 669 297 356 8;
  • 23) 0,176 319 997 757 669 297 356 8 × 2 = 0 + 0,352 639 995 515 338 594 713 6;
  • 24) 0,352 639 995 515 338 594 713 6 × 2 = 0 + 0,705 279 991 030 677 189 427 2;
  • 25) 0,705 279 991 030 677 189 427 2 × 2 = 1 + 0,410 559 982 061 354 378 854 4;
  • 26) 0,410 559 982 061 354 378 854 4 × 2 = 0 + 0,821 119 964 122 708 757 708 8;
  • 27) 0,821 119 964 122 708 757 708 8 × 2 = 1 + 0,642 239 928 245 417 515 417 6;
  • 28) 0,642 239 928 245 417 515 417 6 × 2 = 1 + 0,284 479 856 490 835 030 835 2;
  • 29) 0,284 479 856 490 835 030 835 2 × 2 = 0 + 0,568 959 712 981 670 061 670 4;
  • 30) 0,568 959 712 981 670 061 670 4 × 2 = 1 + 0,137 919 425 963 340 123 340 8;
  • 31) 0,137 919 425 963 340 123 340 8 × 2 = 0 + 0,275 838 851 926 680 246 681 6;
  • 32) 0,275 838 851 926 680 246 681 6 × 2 = 0 + 0,551 677 703 853 360 493 363 2;
  • 33) 0,551 677 703 853 360 493 363 2 × 2 = 1 + 0,103 355 407 706 720 986 726 4;
  • 34) 0,103 355 407 706 720 986 726 4 × 2 = 0 + 0,206 710 815 413 441 973 452 8;
  • 35) 0,206 710 815 413 441 973 452 8 × 2 = 0 + 0,413 421 630 826 883 946 905 6;
  • 36) 0,413 421 630 826 883 946 905 6 × 2 = 0 + 0,826 843 261 653 767 893 811 2;
  • 37) 0,826 843 261 653 767 893 811 2 × 2 = 1 + 0,653 686 523 307 535 787 622 4;
  • 38) 0,653 686 523 307 535 787 622 4 × 2 = 1 + 0,307 373 046 615 071 575 244 8;
  • 39) 0,307 373 046 615 071 575 244 8 × 2 = 0 + 0,614 746 093 230 143 150 489 6;
  • 40) 0,614 746 093 230 143 150 489 6 × 2 = 1 + 0,229 492 186 460 286 300 979 2;
  • 41) 0,229 492 186 460 286 300 979 2 × 2 = 0 + 0,458 984 372 920 572 601 958 4;
  • 42) 0,458 984 372 920 572 601 958 4 × 2 = 0 + 0,917 968 745 841 145 203 916 8;
  • 43) 0,917 968 745 841 145 203 916 8 × 2 = 1 + 0,835 937 491 682 290 407 833 6;
  • 44) 0,835 937 491 682 290 407 833 6 × 2 = 1 + 0,671 874 983 364 580 815 667 2;
  • 45) 0,671 874 983 364 580 815 667 2 × 2 = 1 + 0,343 749 966 729 161 631 334 4;
  • 46) 0,343 749 966 729 161 631 334 4 × 2 = 0 + 0,687 499 933 458 323 262 668 8;
  • 47) 0,687 499 933 458 323 262 668 8 × 2 = 1 + 0,374 999 866 916 646 525 337 6;
  • 48) 0,374 999 866 916 646 525 337 6 × 2 = 0 + 0,749 999 733 833 293 050 675 2;
  • 49) 0,749 999 733 833 293 050 675 2 × 2 = 1 + 0,499 999 467 666 586 101 350 4;
  • 50) 0,499 999 467 666 586 101 350 4 × 2 = 0 + 0,999 998 935 333 172 202 700 8;
  • 51) 0,999 998 935 333 172 202 700 8 × 2 = 1 + 0,999 997 870 666 344 405 401 6;
  • 52) 0,999 997 870 666 344 405 401 6 × 2 = 1 + 0,999 995 741 332 688 810 803 2;
  • 53) 0,999 995 741 332 688 810 803 2 × 2 = 1 + 0,999 991 482 665 377 621 606 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,745 579 999 999 999 465 386 7(10) =

0,1011 1110 1101 1110 0101 0100 1011 0100 1000 1101 0011 1010 1011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

6,745 579 999 999 999 465 386 7(10) =

110,1011 1110 1101 1110 0101 0100 1011 0100 1000 1101 0011 1010 1011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 2 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


6,745 579 999 999 999 465 386 7(10) =

110,1011 1110 1101 1110 0101 0100 1011 0100 1000 1101 0011 1010 1011 1(2) =

110,1011 1110 1101 1110 0101 0100 1011 0100 1000 1101 0011 1010 1011 1(2) × 20 =

1,1010 1111 1011 0111 1001 0101 0010 1101 0010 0011 0100 1110 1010 111(2) × 22


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 2

Mantisă (nenormalizată):
1,1010 1111 1011 0111 1001 0101 0010 1101 0010 0011 0100 1110 1010 111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

2 + 2(11-1) - 1 =

(2 + 1 023)(10) =

1 025(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 025 : 2 = 512 + 1;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1025(10) =

100 0000 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1010 1111 1011 0111 1001 0101 0010 1101 0010 0011 0100 1110 1010 111 =

1010 1111 1011 0111 1001 0101 0010 1101 0010 0011 0100 1110 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0001

Mantisă (52 biți) =
1010 1111 1011 0111 1001 0101 0010 1101 0010 0011 0100 1110 1010


Numărul zecimal -6,745 579 999 999 999 465 386 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 0001 - 1010 1111 1011 0111 1001 0101 0010 1101 0010 0011 0100 1110 1010

Distribuie

» Scriere -6,745 579 999 999 999 465 387 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100