-81 869,602 684 384 910 390 28 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -81 869,602 684 384 910 390 28(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-81 869,602 684 384 910 390 28(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-81 869,602 684 384 910 390 28| = 81 869,602 684 384 910 390 28


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 81 869.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 81 869 : 2 = 40 934 + 1;
  • 40 934 : 2 = 20 467 + 0;
  • 20 467 : 2 = 10 233 + 1;
  • 10 233 : 2 = 5 116 + 1;
  • 5 116 : 2 = 2 558 + 0;
  • 2 558 : 2 = 1 279 + 0;
  • 1 279 : 2 = 639 + 1;
  • 639 : 2 = 319 + 1;
  • 319 : 2 = 159 + 1;
  • 159 : 2 = 79 + 1;
  • 79 : 2 = 39 + 1;
  • 39 : 2 = 19 + 1;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

81 869(10) =

1 0011 1111 1100 1101(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,602 684 384 910 390 28.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,602 684 384 910 390 28 × 2 = 1 + 0,205 368 769 820 780 56;
  • 2) 0,205 368 769 820 780 56 × 2 = 0 + 0,410 737 539 641 561 12;
  • 3) 0,410 737 539 641 561 12 × 2 = 0 + 0,821 475 079 283 122 24;
  • 4) 0,821 475 079 283 122 24 × 2 = 1 + 0,642 950 158 566 244 48;
  • 5) 0,642 950 158 566 244 48 × 2 = 1 + 0,285 900 317 132 488 96;
  • 6) 0,285 900 317 132 488 96 × 2 = 0 + 0,571 800 634 264 977 92;
  • 7) 0,571 800 634 264 977 92 × 2 = 1 + 0,143 601 268 529 955 84;
  • 8) 0,143 601 268 529 955 84 × 2 = 0 + 0,287 202 537 059 911 68;
  • 9) 0,287 202 537 059 911 68 × 2 = 0 + 0,574 405 074 119 823 36;
  • 10) 0,574 405 074 119 823 36 × 2 = 1 + 0,148 810 148 239 646 72;
  • 11) 0,148 810 148 239 646 72 × 2 = 0 + 0,297 620 296 479 293 44;
  • 12) 0,297 620 296 479 293 44 × 2 = 0 + 0,595 240 592 958 586 88;
  • 13) 0,595 240 592 958 586 88 × 2 = 1 + 0,190 481 185 917 173 76;
  • 14) 0,190 481 185 917 173 76 × 2 = 0 + 0,380 962 371 834 347 52;
  • 15) 0,380 962 371 834 347 52 × 2 = 0 + 0,761 924 743 668 695 04;
  • 16) 0,761 924 743 668 695 04 × 2 = 1 + 0,523 849 487 337 390 08;
  • 17) 0,523 849 487 337 390 08 × 2 = 1 + 0,047 698 974 674 780 16;
  • 18) 0,047 698 974 674 780 16 × 2 = 0 + 0,095 397 949 349 560 32;
  • 19) 0,095 397 949 349 560 32 × 2 = 0 + 0,190 795 898 699 120 64;
  • 20) 0,190 795 898 699 120 64 × 2 = 0 + 0,381 591 797 398 241 28;
  • 21) 0,381 591 797 398 241 28 × 2 = 0 + 0,763 183 594 796 482 56;
  • 22) 0,763 183 594 796 482 56 × 2 = 1 + 0,526 367 189 592 965 12;
  • 23) 0,526 367 189 592 965 12 × 2 = 1 + 0,052 734 379 185 930 24;
  • 24) 0,052 734 379 185 930 24 × 2 = 0 + 0,105 468 758 371 860 48;
  • 25) 0,105 468 758 371 860 48 × 2 = 0 + 0,210 937 516 743 720 96;
  • 26) 0,210 937 516 743 720 96 × 2 = 0 + 0,421 875 033 487 441 92;
  • 27) 0,421 875 033 487 441 92 × 2 = 0 + 0,843 750 066 974 883 84;
  • 28) 0,843 750 066 974 883 84 × 2 = 1 + 0,687 500 133 949 767 68;
  • 29) 0,687 500 133 949 767 68 × 2 = 1 + 0,375 000 267 899 535 36;
  • 30) 0,375 000 267 899 535 36 × 2 = 0 + 0,750 000 535 799 070 72;
  • 31) 0,750 000 535 799 070 72 × 2 = 1 + 0,500 001 071 598 141 44;
  • 32) 0,500 001 071 598 141 44 × 2 = 1 + 0,000 002 143 196 282 88;
  • 33) 0,000 002 143 196 282 88 × 2 = 0 + 0,000 004 286 392 565 76;
  • 34) 0,000 004 286 392 565 76 × 2 = 0 + 0,000 008 572 785 131 52;
  • 35) 0,000 008 572 785 131 52 × 2 = 0 + 0,000 017 145 570 263 04;
  • 36) 0,000 017 145 570 263 04 × 2 = 0 + 0,000 034 291 140 526 08;
  • 37) 0,000 034 291 140 526 08 × 2 = 0 + 0,000 068 582 281 052 16;
  • 38) 0,000 068 582 281 052 16 × 2 = 0 + 0,000 137 164 562 104 32;
  • 39) 0,000 137 164 562 104 32 × 2 = 0 + 0,000 274 329 124 208 64;
  • 40) 0,000 274 329 124 208 64 × 2 = 0 + 0,000 548 658 248 417 28;
  • 41) 0,000 548 658 248 417 28 × 2 = 0 + 0,001 097 316 496 834 56;
  • 42) 0,001 097 316 496 834 56 × 2 = 0 + 0,002 194 632 993 669 12;
  • 43) 0,002 194 632 993 669 12 × 2 = 0 + 0,004 389 265 987 338 24;
  • 44) 0,004 389 265 987 338 24 × 2 = 0 + 0,008 778 531 974 676 48;
  • 45) 0,008 778 531 974 676 48 × 2 = 0 + 0,017 557 063 949 352 96;
  • 46) 0,017 557 063 949 352 96 × 2 = 0 + 0,035 114 127 898 705 92;
  • 47) 0,035 114 127 898 705 92 × 2 = 0 + 0,070 228 255 797 411 84;
  • 48) 0,070 228 255 797 411 84 × 2 = 0 + 0,140 456 511 594 823 68;
  • 49) 0,140 456 511 594 823 68 × 2 = 0 + 0,280 913 023 189 647 36;
  • 50) 0,280 913 023 189 647 36 × 2 = 0 + 0,561 826 046 379 294 72;
  • 51) 0,561 826 046 379 294 72 × 2 = 1 + 0,123 652 092 758 589 44;
  • 52) 0,123 652 092 758 589 44 × 2 = 0 + 0,247 304 185 517 178 88;
  • 53) 0,247 304 185 517 178 88 × 2 = 0 + 0,494 608 371 034 357 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,602 684 384 910 390 28(10) =

0,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0010 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

81 869,602 684 384 910 390 28(10) =

1 0011 1111 1100 1101,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0010 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


81 869,602 684 384 910 390 28(10) =

1 0011 1111 1100 1101,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0010 0(2) =

1 0011 1111 1100 1101,1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0010 0(2) × 20 =

1,0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0010 0(2) × 216


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 16

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0000 0000 0000 0010 0


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

16 + 2(11-1) - 1 =

(16 + 1 023)(10) =

1 039(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 039 : 2 = 519 + 1;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1039(10) =

100 0000 1111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000 0 0000 0000 0000 0100 =

0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1111

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000


Numărul zecimal -81 869,602 684 384 910 390 28 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 100 0000 1111 - 0011 1111 1100 1101 1001 1010 0100 1001 1000 0110 0001 1011 0000

Distribuie

» Scriere -81 869,602 684 384 910 390 03 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100