Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul -99 999 999 999 999 999 999 999 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul -99 999 999 999 999 999 999 999(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-99 999 999 999 999 999 999 999| = 99 999 999 999 999 999 999 999

2. Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 99 999 999 999 999 999 999 999 : 2 = 49 999 999 999 999 999 999 999 + 1;
  • 49 999 999 999 999 999 999 999 : 2 = 24 999 999 999 999 999 999 999 + 1;
  • 24 999 999 999 999 999 999 999 : 2 = 12 499 999 999 999 999 999 999 + 1;
  • 12 499 999 999 999 999 999 999 : 2 = 6 249 999 999 999 999 999 999 + 1;
  • 6 249 999 999 999 999 999 999 : 2 = 3 124 999 999 999 999 999 999 + 1;
  • 3 124 999 999 999 999 999 999 : 2 = 1 562 499 999 999 999 999 999 + 1;
  • 1 562 499 999 999 999 999 999 : 2 = 781 249 999 999 999 999 999 + 1;
  • 781 249 999 999 999 999 999 : 2 = 390 624 999 999 999 999 999 + 1;
  • 390 624 999 999 999 999 999 : 2 = 195 312 499 999 999 999 999 + 1;
  • 195 312 499 999 999 999 999 : 2 = 97 656 249 999 999 999 999 + 1;
  • 97 656 249 999 999 999 999 : 2 = 48 828 124 999 999 999 999 + 1;
  • 48 828 124 999 999 999 999 : 2 = 24 414 062 499 999 999 999 + 1;
  • 24 414 062 499 999 999 999 : 2 = 12 207 031 249 999 999 999 + 1;
  • 12 207 031 249 999 999 999 : 2 = 6 103 515 624 999 999 999 + 1;
  • 6 103 515 624 999 999 999 : 2 = 3 051 757 812 499 999 999 + 1;
  • 3 051 757 812 499 999 999 : 2 = 1 525 878 906 249 999 999 + 1;
  • 1 525 878 906 249 999 999 : 2 = 762 939 453 124 999 999 + 1;
  • 762 939 453 124 999 999 : 2 = 381 469 726 562 499 999 + 1;
  • 381 469 726 562 499 999 : 2 = 190 734 863 281 249 999 + 1;
  • 190 734 863 281 249 999 : 2 = 95 367 431 640 624 999 + 1;
  • 95 367 431 640 624 999 : 2 = 47 683 715 820 312 499 + 1;
  • 47 683 715 820 312 499 : 2 = 23 841 857 910 156 249 + 1;
  • 23 841 857 910 156 249 : 2 = 11 920 928 955 078 124 + 1;
  • 11 920 928 955 078 124 : 2 = 5 960 464 477 539 062 + 0;
  • 5 960 464 477 539 062 : 2 = 2 980 232 238 769 531 + 0;
  • 2 980 232 238 769 531 : 2 = 1 490 116 119 384 765 + 1;
  • 1 490 116 119 384 765 : 2 = 745 058 059 692 382 + 1;
  • 745 058 059 692 382 : 2 = 372 529 029 846 191 + 0;
  • 372 529 029 846 191 : 2 = 186 264 514 923 095 + 1;
  • 186 264 514 923 095 : 2 = 93 132 257 461 547 + 1;
  • 93 132 257 461 547 : 2 = 46 566 128 730 773 + 1;
  • 46 566 128 730 773 : 2 = 23 283 064 365 386 + 1;
  • 23 283 064 365 386 : 2 = 11 641 532 182 693 + 0;
  • 11 641 532 182 693 : 2 = 5 820 766 091 346 + 1;
  • 5 820 766 091 346 : 2 = 2 910 383 045 673 + 0;
  • 2 910 383 045 673 : 2 = 1 455 191 522 836 + 1;
  • 1 455 191 522 836 : 2 = 727 595 761 418 + 0;
  • 727 595 761 418 : 2 = 363 797 880 709 + 0;
  • 363 797 880 709 : 2 = 181 898 940 354 + 1;
  • 181 898 940 354 : 2 = 90 949 470 177 + 0;
  • 90 949 470 177 : 2 = 45 474 735 088 + 1;
  • 45 474 735 088 : 2 = 22 737 367 544 + 0;
  • 22 737 367 544 : 2 = 11 368 683 772 + 0;
  • 11 368 683 772 : 2 = 5 684 341 886 + 0;
  • 5 684 341 886 : 2 = 2 842 170 943 + 0;
  • 2 842 170 943 : 2 = 1 421 085 471 + 1;
  • 1 421 085 471 : 2 = 710 542 735 + 1;
  • 710 542 735 : 2 = 355 271 367 + 1;
  • 355 271 367 : 2 = 177 635 683 + 1;
  • 177 635 683 : 2 = 88 817 841 + 1;
  • 88 817 841 : 2 = 44 408 920 + 1;
  • 44 408 920 : 2 = 22 204 460 + 0;
  • 22 204 460 : 2 = 11 102 230 + 0;
  • 11 102 230 : 2 = 5 551 115 + 0;
  • 5 551 115 : 2 = 2 775 557 + 1;
  • 2 775 557 : 2 = 1 387 778 + 1;
  • 1 387 778 : 2 = 693 889 + 0;
  • 693 889 : 2 = 346 944 + 1;
  • 346 944 : 2 = 173 472 + 0;
  • 173 472 : 2 = 86 736 + 0;
  • 86 736 : 2 = 43 368 + 0;
  • 43 368 : 2 = 21 684 + 0;
  • 21 684 : 2 = 10 842 + 0;
  • 10 842 : 2 = 5 421 + 0;
  • 5 421 : 2 = 2 710 + 1;
  • 2 710 : 2 = 1 355 + 0;
  • 1 355 : 2 = 677 + 1;
  • 677 : 2 = 338 + 1;
  • 338 : 2 = 169 + 0;
  • 169 : 2 = 84 + 1;
  • 84 : 2 = 42 + 0;
  • 42 : 2 = 21 + 0;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

3. Construiește reprezentarea numărului pozitiv în baza 2.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


99 999 999 999 999 999 999 999(10) =

1 0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110 0111 1111 1111 1111 1111 1111(2)


4. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 76 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


99 999 999 999 999 999 999 999(10) =

1 0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110 0111 1111 1111 1111 1111 1111(2) =

1 0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110 0111 1111 1111 1111 1111 1111(2) × 20 =

1,0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110 0111 1111 1111 1111 1111 1111(2) × 276


5. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): 76

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110 0111 1111 1111 1111 1111 1111


6. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

76 + 2(11-1) - 1 =

(76 + 1 023)(10) =

1 099(10)


7. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 099 : 2 = 549 + 1;
  • 549 : 2 = 274 + 1;
  • 274 : 2 = 137 + 0;
  • 137 : 2 = 68 + 1;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

8. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1099(10) =

100 0100 1011(2)


9. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110 0111 1111 1111 1111 1111 1111 =

0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110


10. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
100 0100 1011

Mantisă (52 biți) =
0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110


Numărul zecimal în baza zece -99 999 999 999 999 999 999 999 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
1 - 100 0100 1011 - 0101 0010 1101 0000 0010 1100 0111 1110 0001 0100 1010 1111 0110

» Numărul zecimal în baza zece -100 000 000 000 000 000 000 043 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» [EN] This operation in English: Convert -99 999 999 999 999 999 999 999 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100