64bit IEEE 754: Nr. zecimal ↗ Binar, precizie dublă, virgulă mobilă: 0,000 371 Convertește (transformă) numărul în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din număr în sistem zecimal în baza zece
Numărul 0,000 371(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)
1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.
Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.
Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.
- împărțire = cât + rest;
- 0 : 2 = 0 + 0;
2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.
Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.
0(10) =
0(2)
3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 371.
Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.
Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.
- #) înmulțire = întreg + fracționar;
- 1) 0,000 371 × 2 = 0 + 0,000 742;
- 2) 0,000 742 × 2 = 0 + 0,001 484;
- 3) 0,001 484 × 2 = 0 + 0,002 968;
- 4) 0,002 968 × 2 = 0 + 0,005 936;
- 5) 0,005 936 × 2 = 0 + 0,011 872;
- 6) 0,011 872 × 2 = 0 + 0,023 744;
- 7) 0,023 744 × 2 = 0 + 0,047 488;
- 8) 0,047 488 × 2 = 0 + 0,094 976;
- 9) 0,094 976 × 2 = 0 + 0,189 952;
- 10) 0,189 952 × 2 = 0 + 0,379 904;
- 11) 0,379 904 × 2 = 0 + 0,759 808;
- 12) 0,759 808 × 2 = 1 + 0,519 616;
- 13) 0,519 616 × 2 = 1 + 0,039 232;
- 14) 0,039 232 × 2 = 0 + 0,078 464;
- 15) 0,078 464 × 2 = 0 + 0,156 928;
- 16) 0,156 928 × 2 = 0 + 0,313 856;
- 17) 0,313 856 × 2 = 0 + 0,627 712;
- 18) 0,627 712 × 2 = 1 + 0,255 424;
- 19) 0,255 424 × 2 = 0 + 0,510 848;
- 20) 0,510 848 × 2 = 1 + 0,021 696;
- 21) 0,021 696 × 2 = 0 + 0,043 392;
- 22) 0,043 392 × 2 = 0 + 0,086 784;
- 23) 0,086 784 × 2 = 0 + 0,173 568;
- 24) 0,173 568 × 2 = 0 + 0,347 136;
- 25) 0,347 136 × 2 = 0 + 0,694 272;
- 26) 0,694 272 × 2 = 1 + 0,388 544;
- 27) 0,388 544 × 2 = 0 + 0,777 088;
- 28) 0,777 088 × 2 = 1 + 0,554 176;
- 29) 0,554 176 × 2 = 1 + 0,108 352;
- 30) 0,108 352 × 2 = 0 + 0,216 704;
- 31) 0,216 704 × 2 = 0 + 0,433 408;
- 32) 0,433 408 × 2 = 0 + 0,866 816;
- 33) 0,866 816 × 2 = 1 + 0,733 632;
- 34) 0,733 632 × 2 = 1 + 0,467 264;
- 35) 0,467 264 × 2 = 0 + 0,934 528;
- 36) 0,934 528 × 2 = 1 + 0,869 056;
- 37) 0,869 056 × 2 = 1 + 0,738 112;
- 38) 0,738 112 × 2 = 1 + 0,476 224;
- 39) 0,476 224 × 2 = 0 + 0,952 448;
- 40) 0,952 448 × 2 = 1 + 0,904 896;
- 41) 0,904 896 × 2 = 1 + 0,809 792;
- 42) 0,809 792 × 2 = 1 + 0,619 584;
- 43) 0,619 584 × 2 = 1 + 0,239 168;
- 44) 0,239 168 × 2 = 0 + 0,478 336;
- 45) 0,478 336 × 2 = 0 + 0,956 672;
- 46) 0,956 672 × 2 = 1 + 0,913 344;
- 47) 0,913 344 × 2 = 1 + 0,826 688;
- 48) 0,826 688 × 2 = 1 + 0,653 376;
- 49) 0,653 376 × 2 = 1 + 0,306 752;
- 50) 0,306 752 × 2 = 0 + 0,613 504;
- 51) 0,613 504 × 2 = 1 + 0,227 008;
- 52) 0,227 008 × 2 = 0 + 0,454 016;
- 53) 0,454 016 × 2 = 0 + 0,908 032;
- 54) 0,908 032 × 2 = 1 + 0,816 064;
- 55) 0,816 064 × 2 = 1 + 0,632 128;
- 56) 0,632 128 × 2 = 1 + 0,264 256;
- 57) 0,264 256 × 2 = 0 + 0,528 512;
- 58) 0,528 512 × 2 = 1 + 0,057 024;
- 59) 0,057 024 × 2 = 0 + 0,114 048;
- 60) 0,114 048 × 2 = 0 + 0,228 096;
- 61) 0,228 096 × 2 = 0 + 0,456 192;
- 62) 0,456 192 × 2 = 0 + 0,912 384;
- 63) 0,912 384 × 2 = 1 + 0,824 768;
- 64) 0,824 768 × 2 = 1 + 0,649 536;
Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierdem precizie...)
4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.
Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:
0,000 371(10) =
0,0000 0000 0001 1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011(2)
5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:
0,000 371(10) =
0,0000 0000 0001 1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011(2)
6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.
Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:
0,000 371(10) =
0,0000 0000 0001 1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011(2) =
0,0000 0000 0001 1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011(2) × 20 =
1,1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011(2) × 2-12
7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):
Semn 0 (un număr pozitiv)
Exponent (neajustat): -12
Mantisă (nenormalizată):
1,1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011
8. Ajustează exponentul.
Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:
Exponent (ajustat) =
Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =
-12 + 2(11-1) - 1 =
(-12 + 1 023)(10) =
1 011(10)
9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.
Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:
- împărțire = cât + rest;
- 1 011 : 2 = 505 + 1;
- 505 : 2 = 252 + 1;
- 252 : 2 = 126 + 0;
- 126 : 2 = 63 + 0;
- 63 : 2 = 31 + 1;
- 31 : 2 = 15 + 1;
- 15 : 2 = 7 + 1;
- 7 : 2 = 3 + 1;
- 3 : 2 = 1 + 1;
- 1 : 2 = 0 + 1;
10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.
Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.
Exponent (ajustat) =
1011(10) =
011 1111 0011(2)
11. Normalizează mantisa.
a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.
b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).
Mantisă (normalizată) =
1. 1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011 =
1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011
12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)
Exponent (11 biți) =
011 1111 0011
Mantisă (52 biți) =
1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011
Numărul zecimal în baza zece 0,000 371 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
0 - 011 1111 0011 - 1000 0101 0000 0101 1000 1101 1101 1110 0111 1010 0111 0100 0011
Mai multe operații cu numere zecimale convertite în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754: