Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 0,026 916 503 897 2 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 0,026 916 503 897 2(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,026 916 503 897 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,026 916 503 897 2 × 2 = 0 + 0,053 833 007 794 4;
  • 2) 0,053 833 007 794 4 × 2 = 0 + 0,107 666 015 588 8;
  • 3) 0,107 666 015 588 8 × 2 = 0 + 0,215 332 031 177 6;
  • 4) 0,215 332 031 177 6 × 2 = 0 + 0,430 664 062 355 2;
  • 5) 0,430 664 062 355 2 × 2 = 0 + 0,861 328 124 710 4;
  • 6) 0,861 328 124 710 4 × 2 = 1 + 0,722 656 249 420 8;
  • 7) 0,722 656 249 420 8 × 2 = 1 + 0,445 312 498 841 6;
  • 8) 0,445 312 498 841 6 × 2 = 0 + 0,890 624 997 683 2;
  • 9) 0,890 624 997 683 2 × 2 = 1 + 0,781 249 995 366 4;
  • 10) 0,781 249 995 366 4 × 2 = 1 + 0,562 499 990 732 8;
  • 11) 0,562 499 990 732 8 × 2 = 1 + 0,124 999 981 465 6;
  • 12) 0,124 999 981 465 6 × 2 = 0 + 0,249 999 962 931 2;
  • 13) 0,249 999 962 931 2 × 2 = 0 + 0,499 999 925 862 4;
  • 14) 0,499 999 925 862 4 × 2 = 0 + 0,999 999 851 724 8;
  • 15) 0,999 999 851 724 8 × 2 = 1 + 0,999 999 703 449 6;
  • 16) 0,999 999 703 449 6 × 2 = 1 + 0,999 999 406 899 2;
  • 17) 0,999 999 406 899 2 × 2 = 1 + 0,999 998 813 798 4;
  • 18) 0,999 998 813 798 4 × 2 = 1 + 0,999 997 627 596 8;
  • 19) 0,999 997 627 596 8 × 2 = 1 + 0,999 995 255 193 6;
  • 20) 0,999 995 255 193 6 × 2 = 1 + 0,999 990 510 387 2;
  • 21) 0,999 990 510 387 2 × 2 = 1 + 0,999 981 020 774 4;
  • 22) 0,999 981 020 774 4 × 2 = 1 + 0,999 962 041 548 8;
  • 23) 0,999 962 041 548 8 × 2 = 1 + 0,999 924 083 097 6;
  • 24) 0,999 924 083 097 6 × 2 = 1 + 0,999 848 166 195 2;
  • 25) 0,999 848 166 195 2 × 2 = 1 + 0,999 696 332 390 4;
  • 26) 0,999 696 332 390 4 × 2 = 1 + 0,999 392 664 780 8;
  • 27) 0,999 392 664 780 8 × 2 = 1 + 0,998 785 329 561 6;
  • 28) 0,998 785 329 561 6 × 2 = 1 + 0,997 570 659 123 2;
  • 29) 0,997 570 659 123 2 × 2 = 1 + 0,995 141 318 246 4;
  • 30) 0,995 141 318 246 4 × 2 = 1 + 0,990 282 636 492 8;
  • 31) 0,990 282 636 492 8 × 2 = 1 + 0,980 565 272 985 6;
  • 32) 0,980 565 272 985 6 × 2 = 1 + 0,961 130 545 971 2;
  • 33) 0,961 130 545 971 2 × 2 = 1 + 0,922 261 091 942 4;
  • 34) 0,922 261 091 942 4 × 2 = 1 + 0,844 522 183 884 8;
  • 35) 0,844 522 183 884 8 × 2 = 1 + 0,689 044 367 769 6;
  • 36) 0,689 044 367 769 6 × 2 = 1 + 0,378 088 735 539 2;
  • 37) 0,378 088 735 539 2 × 2 = 0 + 0,756 177 471 078 4;
  • 38) 0,756 177 471 078 4 × 2 = 1 + 0,512 354 942 156 8;
  • 39) 0,512 354 942 156 8 × 2 = 1 + 0,024 709 884 313 6;
  • 40) 0,024 709 884 313 6 × 2 = 0 + 0,049 419 768 627 2;
  • 41) 0,049 419 768 627 2 × 2 = 0 + 0,098 839 537 254 4;
  • 42) 0,098 839 537 254 4 × 2 = 0 + 0,197 679 074 508 8;
  • 43) 0,197 679 074 508 8 × 2 = 0 + 0,395 358 149 017 6;
  • 44) 0,395 358 149 017 6 × 2 = 0 + 0,790 716 298 035 2;
  • 45) 0,790 716 298 035 2 × 2 = 1 + 0,581 432 596 070 4;
  • 46) 0,581 432 596 070 4 × 2 = 1 + 0,162 865 192 140 8;
  • 47) 0,162 865 192 140 8 × 2 = 0 + 0,325 730 384 281 6;
  • 48) 0,325 730 384 281 6 × 2 = 0 + 0,651 460 768 563 2;
  • 49) 0,651 460 768 563 2 × 2 = 1 + 0,302 921 537 126 4;
  • 50) 0,302 921 537 126 4 × 2 = 0 + 0,605 843 074 252 8;
  • 51) 0,605 843 074 252 8 × 2 = 1 + 0,211 686 148 505 6;
  • 52) 0,211 686 148 505 6 × 2 = 0 + 0,423 372 297 011 2;
  • 53) 0,423 372 297 011 2 × 2 = 0 + 0,846 744 594 022 4;
  • 54) 0,846 744 594 022 4 × 2 = 1 + 0,693 489 188 044 8;
  • 55) 0,693 489 188 044 8 × 2 = 1 + 0,386 978 376 089 6;
  • 56) 0,386 978 376 089 6 × 2 = 0 + 0,773 956 752 179 2;
  • 57) 0,773 956 752 179 2 × 2 = 1 + 0,547 913 504 358 4;
  • 58) 0,547 913 504 358 4 × 2 = 1 + 0,095 827 008 716 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,026 916 503 897 2(10) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0000 1100 1010 0110 11(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,026 916 503 897 2(10) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0000 1100 1010 0110 11(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,026 916 503 897 2(10) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0000 1100 1010 0110 11(2) =

0,0000 0110 1110 0011 1111 1111 1111 1111 1111 0110 0000 1100 1010 0110 11(2) × 20 =

1,1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1000 0011 0010 1001 1011(2) × 2-6


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1000 0011 0010 1001 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1000 0011 0010 1001 1011 =

1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1000 0011 0010 1001 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1000 0011 0010 1001 1011


Numărul zecimal în baza zece 0,026 916 503 897 2 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1001 - 1011 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1000 0011 0010 1001 1011

» Numărul zecimal în baza zece 0,026 916 503 892 2 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 03, 2025 [Martie]: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule lunare efectuate pe parcursul lunii: Martie - de vizitatorii noștri

» [EN] This operation in English: Convert 0,026 916 503 897 2 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100