64bit IEEE 754: Nr. zecimal ↗ Binar, precizie dublă, virgulă mobilă: 0,028 887 Convertește (transformă) numărul în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din număr în sistem zecimal în baza zece
Numărul 0,028 887(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)
1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.
Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.
Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.
- împărțire = cât + rest;
- 0 : 2 = 0 + 0;
2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.
Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.
0(10) =
0(2)
3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,028 887.
Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.
Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.
- #) înmulțire = întreg + fracționar;
- 1) 0,028 887 × 2 = 0 + 0,057 774;
- 2) 0,057 774 × 2 = 0 + 0,115 548;
- 3) 0,115 548 × 2 = 0 + 0,231 096;
- 4) 0,231 096 × 2 = 0 + 0,462 192;
- 5) 0,462 192 × 2 = 0 + 0,924 384;
- 6) 0,924 384 × 2 = 1 + 0,848 768;
- 7) 0,848 768 × 2 = 1 + 0,697 536;
- 8) 0,697 536 × 2 = 1 + 0,395 072;
- 9) 0,395 072 × 2 = 0 + 0,790 144;
- 10) 0,790 144 × 2 = 1 + 0,580 288;
- 11) 0,580 288 × 2 = 1 + 0,160 576;
- 12) 0,160 576 × 2 = 0 + 0,321 152;
- 13) 0,321 152 × 2 = 0 + 0,642 304;
- 14) 0,642 304 × 2 = 1 + 0,284 608;
- 15) 0,284 608 × 2 = 0 + 0,569 216;
- 16) 0,569 216 × 2 = 1 + 0,138 432;
- 17) 0,138 432 × 2 = 0 + 0,276 864;
- 18) 0,276 864 × 2 = 0 + 0,553 728;
- 19) 0,553 728 × 2 = 1 + 0,107 456;
- 20) 0,107 456 × 2 = 0 + 0,214 912;
- 21) 0,214 912 × 2 = 0 + 0,429 824;
- 22) 0,429 824 × 2 = 0 + 0,859 648;
- 23) 0,859 648 × 2 = 1 + 0,719 296;
- 24) 0,719 296 × 2 = 1 + 0,438 592;
- 25) 0,438 592 × 2 = 0 + 0,877 184;
- 26) 0,877 184 × 2 = 1 + 0,754 368;
- 27) 0,754 368 × 2 = 1 + 0,508 736;
- 28) 0,508 736 × 2 = 1 + 0,017 472;
- 29) 0,017 472 × 2 = 0 + 0,034 944;
- 30) 0,034 944 × 2 = 0 + 0,069 888;
- 31) 0,069 888 × 2 = 0 + 0,139 776;
- 32) 0,139 776 × 2 = 0 + 0,279 552;
- 33) 0,279 552 × 2 = 0 + 0,559 104;
- 34) 0,559 104 × 2 = 1 + 0,118 208;
- 35) 0,118 208 × 2 = 0 + 0,236 416;
- 36) 0,236 416 × 2 = 0 + 0,472 832;
- 37) 0,472 832 × 2 = 0 + 0,945 664;
- 38) 0,945 664 × 2 = 1 + 0,891 328;
- 39) 0,891 328 × 2 = 1 + 0,782 656;
- 40) 0,782 656 × 2 = 1 + 0,565 312;
- 41) 0,565 312 × 2 = 1 + 0,130 624;
- 42) 0,130 624 × 2 = 0 + 0,261 248;
- 43) 0,261 248 × 2 = 0 + 0,522 496;
- 44) 0,522 496 × 2 = 1 + 0,044 992;
- 45) 0,044 992 × 2 = 0 + 0,089 984;
- 46) 0,089 984 × 2 = 0 + 0,179 968;
- 47) 0,179 968 × 2 = 0 + 0,359 936;
- 48) 0,359 936 × 2 = 0 + 0,719 872;
- 49) 0,719 872 × 2 = 1 + 0,439 744;
- 50) 0,439 744 × 2 = 0 + 0,879 488;
- 51) 0,879 488 × 2 = 1 + 0,758 976;
- 52) 0,758 976 × 2 = 1 + 0,517 952;
- 53) 0,517 952 × 2 = 1 + 0,035 904;
- 54) 0,035 904 × 2 = 0 + 0,071 808;
- 55) 0,071 808 × 2 = 0 + 0,143 616;
- 56) 0,143 616 × 2 = 0 + 0,287 232;
- 57) 0,287 232 × 2 = 0 + 0,574 464;
- 58) 0,574 464 × 2 = 1 + 0,148 928;
Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierdem precizie...)
4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.
Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:
0,028 887(10) =
0,0000 0111 0110 0101 0010 0011 0111 0000 0100 0111 1001 0000 1011 1000 01(2)
5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:
0,028 887(10) =
0,0000 0111 0110 0101 0010 0011 0111 0000 0100 0111 1001 0000 1011 1000 01(2)
6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.
Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:
0,028 887(10) =
0,0000 0111 0110 0101 0010 0011 0111 0000 0100 0111 1001 0000 1011 1000 01(2) =
0,0000 0111 0110 0101 0010 0011 0111 0000 0100 0111 1001 0000 1011 1000 01(2) × 20 =
1,1101 1001 0100 1000 1101 1100 0001 0001 1110 0100 0010 1110 0001(2) × 2-6
7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):
Semn 0 (un număr pozitiv)
Exponent (neajustat): -6
Mantisă (nenormalizată):
1,1101 1001 0100 1000 1101 1100 0001 0001 1110 0100 0010 1110 0001
8. Ajustează exponentul.
Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:
Exponent (ajustat) =
Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =
-6 + 2(11-1) - 1 =
(-6 + 1 023)(10) =
1 017(10)
9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.
Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:
- împărțire = cât + rest;
- 1 017 : 2 = 508 + 1;
- 508 : 2 = 254 + 0;
- 254 : 2 = 127 + 0;
- 127 : 2 = 63 + 1;
- 63 : 2 = 31 + 1;
- 31 : 2 = 15 + 1;
- 15 : 2 = 7 + 1;
- 7 : 2 = 3 + 1;
- 3 : 2 = 1 + 1;
- 1 : 2 = 0 + 1;
10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.
Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.
Exponent (ajustat) =
1017(10) =
011 1111 1001(2)
11. Normalizează mantisa.
a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.
b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).
Mantisă (normalizată) =
1. 1101 1001 0100 1000 1101 1100 0001 0001 1110 0100 0010 1110 0001 =
1101 1001 0100 1000 1101 1100 0001 0001 1110 0100 0010 1110 0001
12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)
Exponent (11 biți) =
011 1111 1001
Mantisă (52 biți) =
1101 1001 0100 1000 1101 1100 0001 0001 1110 0100 0010 1110 0001
Numărul zecimal în baza zece 0,028 887 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
0 - 011 1111 1001 - 1101 1001 0100 1000 1101 1100 0001 0001 1110 0100 0010 1110 0001
Mai multe operații cu numere zecimale convertite în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754: