0,999 957 081 325 316 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,999 957 081 325 316 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,999 957 081 325 316 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 957 081 325 316 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 957 081 325 316 4 × 2 = 1 + 0,999 914 162 650 632 8;
  • 2) 0,999 914 162 650 632 8 × 2 = 1 + 0,999 828 325 301 265 6;
  • 3) 0,999 828 325 301 265 6 × 2 = 1 + 0,999 656 650 602 531 2;
  • 4) 0,999 656 650 602 531 2 × 2 = 1 + 0,999 313 301 205 062 4;
  • 5) 0,999 313 301 205 062 4 × 2 = 1 + 0,998 626 602 410 124 8;
  • 6) 0,998 626 602 410 124 8 × 2 = 1 + 0,997 253 204 820 249 6;
  • 7) 0,997 253 204 820 249 6 × 2 = 1 + 0,994 506 409 640 499 2;
  • 8) 0,994 506 409 640 499 2 × 2 = 1 + 0,989 012 819 280 998 4;
  • 9) 0,989 012 819 280 998 4 × 2 = 1 + 0,978 025 638 561 996 8;
  • 10) 0,978 025 638 561 996 8 × 2 = 1 + 0,956 051 277 123 993 6;
  • 11) 0,956 051 277 123 993 6 × 2 = 1 + 0,912 102 554 247 987 2;
  • 12) 0,912 102 554 247 987 2 × 2 = 1 + 0,824 205 108 495 974 4;
  • 13) 0,824 205 108 495 974 4 × 2 = 1 + 0,648 410 216 991 948 8;
  • 14) 0,648 410 216 991 948 8 × 2 = 1 + 0,296 820 433 983 897 6;
  • 15) 0,296 820 433 983 897 6 × 2 = 0 + 0,593 640 867 967 795 2;
  • 16) 0,593 640 867 967 795 2 × 2 = 1 + 0,187 281 735 935 590 4;
  • 17) 0,187 281 735 935 590 4 × 2 = 0 + 0,374 563 471 871 180 8;
  • 18) 0,374 563 471 871 180 8 × 2 = 0 + 0,749 126 943 742 361 6;
  • 19) 0,749 126 943 742 361 6 × 2 = 1 + 0,498 253 887 484 723 2;
  • 20) 0,498 253 887 484 723 2 × 2 = 0 + 0,996 507 774 969 446 4;
  • 21) 0,996 507 774 969 446 4 × 2 = 1 + 0,993 015 549 938 892 8;
  • 22) 0,993 015 549 938 892 8 × 2 = 1 + 0,986 031 099 877 785 6;
  • 23) 0,986 031 099 877 785 6 × 2 = 1 + 0,972 062 199 755 571 2;
  • 24) 0,972 062 199 755 571 2 × 2 = 1 + 0,944 124 399 511 142 4;
  • 25) 0,944 124 399 511 142 4 × 2 = 1 + 0,888 248 799 022 284 8;
  • 26) 0,888 248 799 022 284 8 × 2 = 1 + 0,776 497 598 044 569 6;
  • 27) 0,776 497 598 044 569 6 × 2 = 1 + 0,552 995 196 089 139 2;
  • 28) 0,552 995 196 089 139 2 × 2 = 1 + 0,105 990 392 178 278 4;
  • 29) 0,105 990 392 178 278 4 × 2 = 0 + 0,211 980 784 356 556 8;
  • 30) 0,211 980 784 356 556 8 × 2 = 0 + 0,423 961 568 713 113 6;
  • 31) 0,423 961 568 713 113 6 × 2 = 0 + 0,847 923 137 426 227 2;
  • 32) 0,847 923 137 426 227 2 × 2 = 1 + 0,695 846 274 852 454 4;
  • 33) 0,695 846 274 852 454 4 × 2 = 1 + 0,391 692 549 704 908 8;
  • 34) 0,391 692 549 704 908 8 × 2 = 0 + 0,783 385 099 409 817 6;
  • 35) 0,783 385 099 409 817 6 × 2 = 1 + 0,566 770 198 819 635 2;
  • 36) 0,566 770 198 819 635 2 × 2 = 1 + 0,133 540 397 639 270 4;
  • 37) 0,133 540 397 639 270 4 × 2 = 0 + 0,267 080 795 278 540 8;
  • 38) 0,267 080 795 278 540 8 × 2 = 0 + 0,534 161 590 557 081 6;
  • 39) 0,534 161 590 557 081 6 × 2 = 1 + 0,068 323 181 114 163 2;
  • 40) 0,068 323 181 114 163 2 × 2 = 0 + 0,136 646 362 228 326 4;
  • 41) 0,136 646 362 228 326 4 × 2 = 0 + 0,273 292 724 456 652 8;
  • 42) 0,273 292 724 456 652 8 × 2 = 0 + 0,546 585 448 913 305 6;
  • 43) 0,546 585 448 913 305 6 × 2 = 1 + 0,093 170 897 826 611 2;
  • 44) 0,093 170 897 826 611 2 × 2 = 0 + 0,186 341 795 653 222 4;
  • 45) 0,186 341 795 653 222 4 × 2 = 0 + 0,372 683 591 306 444 8;
  • 46) 0,372 683 591 306 444 8 × 2 = 0 + 0,745 367 182 612 889 6;
  • 47) 0,745 367 182 612 889 6 × 2 = 1 + 0,490 734 365 225 779 2;
  • 48) 0,490 734 365 225 779 2 × 2 = 0 + 0,981 468 730 451 558 4;
  • 49) 0,981 468 730 451 558 4 × 2 = 1 + 0,962 937 460 903 116 8;
  • 50) 0,962 937 460 903 116 8 × 2 = 1 + 0,925 874 921 806 233 6;
  • 51) 0,925 874 921 806 233 6 × 2 = 1 + 0,851 749 843 612 467 2;
  • 52) 0,851 749 843 612 467 2 × 2 = 1 + 0,703 499 687 224 934 4;
  • 53) 0,703 499 687 224 934 4 × 2 = 1 + 0,406 999 374 449 868 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 957 081 325 316 4(10) =

0,1111 1111 1111 1101 0010 1111 1111 0001 1011 0010 0010 0010 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,999 957 081 325 316 4(10) =

0,1111 1111 1111 1101 0010 1111 1111 0001 1011 0010 0010 0010 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,999 957 081 325 316 4(10) =

0,1111 1111 1111 1101 0010 1111 1111 0001 1011 0010 0010 0010 1111 1(2) =

0,1111 1111 1111 1101 0010 1111 1111 0001 1011 0010 0010 0010 1111 1(2) × 20 =

1,1111 1111 1111 1010 0101 1111 1110 0011 0110 0100 0100 0101 1111(2) × 2-1


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -1

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1111 1010 0101 1111 1110 0011 0110 0100 0100 0101 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-1 + 2(11-1) - 1 =

(-1 + 1 023)(10) =

1 022(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 022 : 2 = 511 + 0;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1022(10) =

011 1111 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1111 1010 0101 1111 1110 0011 0110 0100 0100 0101 1111 =

1111 1111 1111 1010 0101 1111 1110 0011 0110 0100 0100 0101 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1110

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1111 1010 0101 1111 1110 0011 0110 0100 0100 0101 1111


Numărul zecimal 0,999 957 081 325 316 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1110 - 1111 1111 1111 1010 0101 1111 1110 0011 0110 0100 0100 0101 1111

Distribuie

» Scriere 0,999 957 081 325 314 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 01, 2026 [Ianuarie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Ianuarie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100