Convertește 1,043 188 691 în binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din număr zecimal în baza 10

Cum să convertești numărul zecimal 1,043 188 691(10)
în
binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754
(1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (baza 2) partea întreagă: 1. Împarte numărul în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât egal cu zero:

  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

1(10) =


1(2)

3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,043 188 691. Înmulțește numărul în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:

  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,043 188 691 × 2 = 0 + 0,086 377 382;
  • 2) 0,086 377 382 × 2 = 0 + 0,172 754 764;
  • 3) 0,172 754 764 × 2 = 0 + 0,345 509 528;
  • 4) 0,345 509 528 × 2 = 0 + 0,691 019 056;
  • 5) 0,691 019 056 × 2 = 1 + 0,382 038 112;
  • 6) 0,382 038 112 × 2 = 0 + 0,764 076 224;
  • 7) 0,764 076 224 × 2 = 1 + 0,528 152 448;
  • 8) 0,528 152 448 × 2 = 1 + 0,056 304 896;
  • 9) 0,056 304 896 × 2 = 0 + 0,112 609 792;
  • 10) 0,112 609 792 × 2 = 0 + 0,225 219 584;
  • 11) 0,225 219 584 × 2 = 0 + 0,450 439 168;
  • 12) 0,450 439 168 × 2 = 0 + 0,900 878 336;
  • 13) 0,900 878 336 × 2 = 1 + 0,801 756 672;
  • 14) 0,801 756 672 × 2 = 1 + 0,603 513 344;
  • 15) 0,603 513 344 × 2 = 1 + 0,207 026 688;
  • 16) 0,207 026 688 × 2 = 0 + 0,414 053 376;
  • 17) 0,414 053 376 × 2 = 0 + 0,828 106 752;
  • 18) 0,828 106 752 × 2 = 1 + 0,656 213 504;
  • 19) 0,656 213 504 × 2 = 1 + 0,312 427 008;
  • 20) 0,312 427 008 × 2 = 0 + 0,624 854 016;
  • 21) 0,624 854 016 × 2 = 1 + 0,249 708 032;
  • 22) 0,249 708 032 × 2 = 0 + 0,499 416 064;
  • 23) 0,499 416 064 × 2 = 0 + 0,998 832 128;
  • 24) 0,998 832 128 × 2 = 1 + 0,997 664 256;
  • 25) 0,997 664 256 × 2 = 1 + 0,995 328 512;
  • 26) 0,995 328 512 × 2 = 1 + 0,990 657 024;
  • 27) 0,990 657 024 × 2 = 1 + 0,981 314 048;
  • 28) 0,981 314 048 × 2 = 1 + 0,962 628 096;
  • 29) 0,962 628 096 × 2 = 1 + 0,925 256 192;
  • 30) 0,925 256 192 × 2 = 1 + 0,850 512 384;
  • 31) 0,850 512 384 × 2 = 1 + 0,701 024 768;
  • 32) 0,701 024 768 × 2 = 1 + 0,402 049 536;
  • 33) 0,402 049 536 × 2 = 0 + 0,804 099 072;
  • 34) 0,804 099 072 × 2 = 1 + 0,608 198 144;
  • 35) 0,608 198 144 × 2 = 1 + 0,216 396 288;
  • 36) 0,216 396 288 × 2 = 0 + 0,432 792 576;
  • 37) 0,432 792 576 × 2 = 0 + 0,865 585 152;
  • 38) 0,865 585 152 × 2 = 1 + 0,731 170 304;
  • 39) 0,731 170 304 × 2 = 1 + 0,462 340 608;
  • 40) 0,462 340 608 × 2 = 0 + 0,924 681 216;
  • 41) 0,924 681 216 × 2 = 1 + 0,849 362 432;
  • 42) 0,849 362 432 × 2 = 1 + 0,698 724 864;
  • 43) 0,698 724 864 × 2 = 1 + 0,397 449 728;
  • 44) 0,397 449 728 × 2 = 0 + 0,794 899 456;
  • 45) 0,794 899 456 × 2 = 1 + 0,589 798 912;
  • 46) 0,589 798 912 × 2 = 1 + 0,179 597 824;
  • 47) 0,179 597 824 × 2 = 0 + 0,359 195 648;
  • 48) 0,359 195 648 × 2 = 0 + 0,718 391 296;
  • 49) 0,718 391 296 × 2 = 1 + 0,436 782 592;
  • 50) 0,436 782 592 × 2 = 0 + 0,873 565 184;
  • 51) 0,873 565 184 × 2 = 1 + 0,747 130 368;
  • 52) 0,747 130 368 × 2 = 1 + 0,494 260 736;
  • 53) 0,494 260 736 × 2 = 0 + 0,988 521 472;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierdem precizie...)

4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:

0,043 188 691(10) =


0,0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011 0(2)

Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,043 188 691(10) =


1,0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011 0(2)

5. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 0 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:

1,043 188 691(10) =


1,0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011 0(2) =


1,0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011 0(2) × 20

Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn: 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): 0


Mantisă (nenormalizată): 1,0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011 0

6. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind din nou tehnica împărțirii repetate la 2:

Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


0 + 2(11-1) - 1 =


(0 + 1 023)(10) =


1 023(10)


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

Exponent (ajustat) =


1023(10) =


011 1111 1111(2)

7. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna 1 (și la separatorul zecimal, dacă e cazul) apoi ajustează-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...):

Mantisă (normalizată) =


1. 0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011 0 =


0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011

Concluzia:

Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
011 1111 1111


Mantisă (52 biți) =
0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011

Numărul 1,043 188 691 convertit din sistem zecimal (baza 10)
în
binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
0 - 011 1111 1111 - 0000 1011 0000 1110 0110 1001 1111 1111 0110 0110 1110 1100 1011

(64 biți IEEE 754)
  • Semn (1 bit):

    • 0

      63
  • Exponent (11 biți):

    • 0

      62
    • 1

      61
    • 1

      60
    • 1

      59
    • 1

      58
    • 1

      57
    • 1

      56
    • 1

      55
    • 1

      54
    • 1

      53
    • 1

      52
  • Mantisă (52 biți):

    • 0

      51
    • 0

      50
    • 0

      49
    • 0

      48
    • 1

      47
    • 0

      46
    • 1

      45
    • 1

      44
    • 0

      43
    • 0

      42
    • 0

      41
    • 0

      40
    • 1

      39
    • 1

      38
    • 1

      37
    • 0

      36
    • 0

      35
    • 1

      34
    • 1

      33
    • 0

      32
    • 1

      31
    • 0

      30
    • 0

      29
    • 1

      28
    • 1

      27
    • 1

      26
    • 1

      25
    • 1

      24
    • 1

      23
    • 1

      22
    • 1

      21
    • 1

      20
    • 0

      19
    • 1

      18
    • 1

      17
    • 0

      16
    • 0

      15
    • 1

      14
    • 1

      13
    • 0

      12
    • 1

      11
    • 1

      10
    • 1

      9
    • 0

      8
    • 1

      7
    • 1

      6
    • 0

      5
    • 0

      4
    • 1

      3
    • 0

      2
    • 1

      1
    • 1

      0

1,043 188 69 = ? ... 1,043 188 692 = ?


Convertește în binar pe 64 de biți, precizie dublă, virgulă mobilă standard IEEE 754

Un număr în reprezentarea în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 e format din trei elemente: semn (ocupă un bit, este fie 0 pentru numere pozitive, fie 1 pentru numere negative), exponent (ocupă 11 biți), mantisă (52 de biți)

Ultimele numere zecimale convertite din baza zece în sistem binar în reprezentare pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

1,043 188 691 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:52 EET (UTC +2)
3 677 080,252 849 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:52 EET (UTC +2)
123 456 789,123 45 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:51 EET (UTC +2)
200,1 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:51 EET (UTC +2)
1 036 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:51 EET (UTC +2)
16,4 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:50 EET (UTC +2)
-19,25 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:50 EET (UTC +2)
-9 876,513 21 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:50 EET (UTC +2)
-9,5 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:49 EET (UTC +2)
25,714 256 286 621 093 75 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:49 EET (UTC +2)
51 746,5 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:48 EET (UTC +2)
3,4 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:48 EET (UTC +2)
7 709 179 928 849 219 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 07 apr, 00:48 EET (UTC +2)
Toate numerele zecimale convertite din sistem zecimal (baza zece) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:


    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100