1,123 412 341 234 123 412 341 235 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,123 412 341 234 123 412 341 235 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,123 412 341 234 123 412 341 235 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 412 341 234 123 412 341 235 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 412 341 234 123 412 341 235 8 × 2 = 0 + 0,246 824 682 468 246 824 682 471 6;
  • 2) 0,246 824 682 468 246 824 682 471 6 × 2 = 0 + 0,493 649 364 936 493 649 364 943 2;
  • 3) 0,493 649 364 936 493 649 364 943 2 × 2 = 0 + 0,987 298 729 872 987 298 729 886 4;
  • 4) 0,987 298 729 872 987 298 729 886 4 × 2 = 1 + 0,974 597 459 745 974 597 459 772 8;
  • 5) 0,974 597 459 745 974 597 459 772 8 × 2 = 1 + 0,949 194 919 491 949 194 919 545 6;
  • 6) 0,949 194 919 491 949 194 919 545 6 × 2 = 1 + 0,898 389 838 983 898 389 839 091 2;
  • 7) 0,898 389 838 983 898 389 839 091 2 × 2 = 1 + 0,796 779 677 967 796 779 678 182 4;
  • 8) 0,796 779 677 967 796 779 678 182 4 × 2 = 1 + 0,593 559 355 935 593 559 356 364 8;
  • 9) 0,593 559 355 935 593 559 356 364 8 × 2 = 1 + 0,187 118 711 871 187 118 712 729 6;
  • 10) 0,187 118 711 871 187 118 712 729 6 × 2 = 0 + 0,374 237 423 742 374 237 425 459 2;
  • 11) 0,374 237 423 742 374 237 425 459 2 × 2 = 0 + 0,748 474 847 484 748 474 850 918 4;
  • 12) 0,748 474 847 484 748 474 850 918 4 × 2 = 1 + 0,496 949 694 969 496 949 701 836 8;
  • 13) 0,496 949 694 969 496 949 701 836 8 × 2 = 0 + 0,993 899 389 938 993 899 403 673 6;
  • 14) 0,993 899 389 938 993 899 403 673 6 × 2 = 1 + 0,987 798 779 877 987 798 807 347 2;
  • 15) 0,987 798 779 877 987 798 807 347 2 × 2 = 1 + 0,975 597 559 755 975 597 614 694 4;
  • 16) 0,975 597 559 755 975 597 614 694 4 × 2 = 1 + 0,951 195 119 511 951 195 229 388 8;
  • 17) 0,951 195 119 511 951 195 229 388 8 × 2 = 1 + 0,902 390 239 023 902 390 458 777 6;
  • 18) 0,902 390 239 023 902 390 458 777 6 × 2 = 1 + 0,804 780 478 047 804 780 917 555 2;
  • 19) 0,804 780 478 047 804 780 917 555 2 × 2 = 1 + 0,609 560 956 095 609 561 835 110 4;
  • 20) 0,609 560 956 095 609 561 835 110 4 × 2 = 1 + 0,219 121 912 191 219 123 670 220 8;
  • 21) 0,219 121 912 191 219 123 670 220 8 × 2 = 0 + 0,438 243 824 382 438 247 340 441 6;
  • 22) 0,438 243 824 382 438 247 340 441 6 × 2 = 0 + 0,876 487 648 764 876 494 680 883 2;
  • 23) 0,876 487 648 764 876 494 680 883 2 × 2 = 1 + 0,752 975 297 529 752 989 361 766 4;
  • 24) 0,752 975 297 529 752 989 361 766 4 × 2 = 1 + 0,505 950 595 059 505 978 723 532 8;
  • 25) 0,505 950 595 059 505 978 723 532 8 × 2 = 1 + 0,011 901 190 119 011 957 447 065 6;
  • 26) 0,011 901 190 119 011 957 447 065 6 × 2 = 0 + 0,023 802 380 238 023 914 894 131 2;
  • 27) 0,023 802 380 238 023 914 894 131 2 × 2 = 0 + 0,047 604 760 476 047 829 788 262 4;
  • 28) 0,047 604 760 476 047 829 788 262 4 × 2 = 0 + 0,095 209 520 952 095 659 576 524 8;
  • 29) 0,095 209 520 952 095 659 576 524 8 × 2 = 0 + 0,190 419 041 904 191 319 153 049 6;
  • 30) 0,190 419 041 904 191 319 153 049 6 × 2 = 0 + 0,380 838 083 808 382 638 306 099 2;
  • 31) 0,380 838 083 808 382 638 306 099 2 × 2 = 0 + 0,761 676 167 616 765 276 612 198 4;
  • 32) 0,761 676 167 616 765 276 612 198 4 × 2 = 1 + 0,523 352 335 233 530 553 224 396 8;
  • 33) 0,523 352 335 233 530 553 224 396 8 × 2 = 1 + 0,046 704 670 467 061 106 448 793 6;
  • 34) 0,046 704 670 467 061 106 448 793 6 × 2 = 0 + 0,093 409 340 934 122 212 897 587 2;
  • 35) 0,093 409 340 934 122 212 897 587 2 × 2 = 0 + 0,186 818 681 868 244 425 795 174 4;
  • 36) 0,186 818 681 868 244 425 795 174 4 × 2 = 0 + 0,373 637 363 736 488 851 590 348 8;
  • 37) 0,373 637 363 736 488 851 590 348 8 × 2 = 0 + 0,747 274 727 472 977 703 180 697 6;
  • 38) 0,747 274 727 472 977 703 180 697 6 × 2 = 1 + 0,494 549 454 945 955 406 361 395 2;
  • 39) 0,494 549 454 945 955 406 361 395 2 × 2 = 0 + 0,989 098 909 891 910 812 722 790 4;
  • 40) 0,989 098 909 891 910 812 722 790 4 × 2 = 1 + 0,978 197 819 783 821 625 445 580 8;
  • 41) 0,978 197 819 783 821 625 445 580 8 × 2 = 1 + 0,956 395 639 567 643 250 891 161 6;
  • 42) 0,956 395 639 567 643 250 891 161 6 × 2 = 1 + 0,912 791 279 135 286 501 782 323 2;
  • 43) 0,912 791 279 135 286 501 782 323 2 × 2 = 1 + 0,825 582 558 270 573 003 564 646 4;
  • 44) 0,825 582 558 270 573 003 564 646 4 × 2 = 1 + 0,651 165 116 541 146 007 129 292 8;
  • 45) 0,651 165 116 541 146 007 129 292 8 × 2 = 1 + 0,302 330 233 082 292 014 258 585 6;
  • 46) 0,302 330 233 082 292 014 258 585 6 × 2 = 0 + 0,604 660 466 164 584 028 517 171 2;
  • 47) 0,604 660 466 164 584 028 517 171 2 × 2 = 1 + 0,209 320 932 329 168 057 034 342 4;
  • 48) 0,209 320 932 329 168 057 034 342 4 × 2 = 0 + 0,418 641 864 658 336 114 068 684 8;
  • 49) 0,418 641 864 658 336 114 068 684 8 × 2 = 0 + 0,837 283 729 316 672 228 137 369 6;
  • 50) 0,837 283 729 316 672 228 137 369 6 × 2 = 1 + 0,674 567 458 633 344 456 274 739 2;
  • 51) 0,674 567 458 633 344 456 274 739 2 × 2 = 1 + 0,349 134 917 266 688 912 549 478 4;
  • 52) 0,349 134 917 266 688 912 549 478 4 × 2 = 0 + 0,698 269 834 533 377 825 098 956 8;
  • 53) 0,698 269 834 533 377 825 098 956 8 × 2 = 1 + 0,396 539 669 066 755 650 197 913 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 412 341 234 123 412 341 235 8(10) =

0,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,123 412 341 234 123 412 341 235 8(10) =

1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,123 412 341 234 123 412 341 235 8(10) =

1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2) =

1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110 1 =

0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110


Numărul zecimal 1,123 412 341 234 123 412 341 235 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 0001 1111 1001 0111 1111 0011 1000 0001 1000 0101 1111 1010 0110

Distribuie

» Scriere 1,123 412 341 234 123 412 341 242 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 01, 2026 [Ianuarie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Ianuarie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100