Scriere 1,999 999 999 999 999 777 957 din zecimal în binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 1,999 999 999 999 999 777 957(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
1,999 999 999 999 999 777 957(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 1.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1(10) =

1(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,999 999 999 999 999 777 957.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,999 999 999 999 999 777 957 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 555 914;
  • 2) 0,999 999 999 999 999 555 914 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 999 111 828;
  • 3) 0,999 999 999 999 999 111 828 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 998 223 656;
  • 4) 0,999 999 999 999 998 223 656 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 996 447 312;
  • 5) 0,999 999 999 999 996 447 312 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 992 894 624;
  • 6) 0,999 999 999 999 992 894 624 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 985 789 248;
  • 7) 0,999 999 999 999 985 789 248 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 971 578 496;
  • 8) 0,999 999 999 999 971 578 496 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 943 156 992;
  • 9) 0,999 999 999 999 943 156 992 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 886 313 984;
  • 10) 0,999 999 999 999 886 313 984 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 772 627 968;
  • 11) 0,999 999 999 999 772 627 968 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 545 255 936;
  • 12) 0,999 999 999 999 545 255 936 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 090 511 872;
  • 13) 0,999 999 999 999 090 511 872 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 181 023 744;
  • 14) 0,999 999 999 998 181 023 744 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 362 047 488;
  • 15) 0,999 999 999 996 362 047 488 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 724 094 976;
  • 16) 0,999 999 999 992 724 094 976 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 448 189 952;
  • 17) 0,999 999 999 985 448 189 952 × 2 = 1 + 0,999 999 999 970 896 379 904;
  • 18) 0,999 999 999 970 896 379 904 × 2 = 1 + 0,999 999 999 941 792 759 808;
  • 19) 0,999 999 999 941 792 759 808 × 2 = 1 + 0,999 999 999 883 585 519 616;
  • 20) 0,999 999 999 883 585 519 616 × 2 = 1 + 0,999 999 999 767 171 039 232;
  • 21) 0,999 999 999 767 171 039 232 × 2 = 1 + 0,999 999 999 534 342 078 464;
  • 22) 0,999 999 999 534 342 078 464 × 2 = 1 + 0,999 999 999 068 684 156 928;
  • 23) 0,999 999 999 068 684 156 928 × 2 = 1 + 0,999 999 998 137 368 313 856;
  • 24) 0,999 999 998 137 368 313 856 × 2 = 1 + 0,999 999 996 274 736 627 712;
  • 25) 0,999 999 996 274 736 627 712 × 2 = 1 + 0,999 999 992 549 473 255 424;
  • 26) 0,999 999 992 549 473 255 424 × 2 = 1 + 0,999 999 985 098 946 510 848;
  • 27) 0,999 999 985 098 946 510 848 × 2 = 1 + 0,999 999 970 197 893 021 696;
  • 28) 0,999 999 970 197 893 021 696 × 2 = 1 + 0,999 999 940 395 786 043 392;
  • 29) 0,999 999 940 395 786 043 392 × 2 = 1 + 0,999 999 880 791 572 086 784;
  • 30) 0,999 999 880 791 572 086 784 × 2 = 1 + 0,999 999 761 583 144 173 568;
  • 31) 0,999 999 761 583 144 173 568 × 2 = 1 + 0,999 999 523 166 288 347 136;
  • 32) 0,999 999 523 166 288 347 136 × 2 = 1 + 0,999 999 046 332 576 694 272;
  • 33) 0,999 999 046 332 576 694 272 × 2 = 1 + 0,999 998 092 665 153 388 544;
  • 34) 0,999 998 092 665 153 388 544 × 2 = 1 + 0,999 996 185 330 306 777 088;
  • 35) 0,999 996 185 330 306 777 088 × 2 = 1 + 0,999 992 370 660 613 554 176;
  • 36) 0,999 992 370 660 613 554 176 × 2 = 1 + 0,999 984 741 321 227 108 352;
  • 37) 0,999 984 741 321 227 108 352 × 2 = 1 + 0,999 969 482 642 454 216 704;
  • 38) 0,999 969 482 642 454 216 704 × 2 = 1 + 0,999 938 965 284 908 433 408;
  • 39) 0,999 938 965 284 908 433 408 × 2 = 1 + 0,999 877 930 569 816 866 816;
  • 40) 0,999 877 930 569 816 866 816 × 2 = 1 + 0,999 755 861 139 633 733 632;
  • 41) 0,999 755 861 139 633 733 632 × 2 = 1 + 0,999 511 722 279 267 467 264;
  • 42) 0,999 511 722 279 267 467 264 × 2 = 1 + 0,999 023 444 558 534 934 528;
  • 43) 0,999 023 444 558 534 934 528 × 2 = 1 + 0,998 046 889 117 069 869 056;
  • 44) 0,998 046 889 117 069 869 056 × 2 = 1 + 0,996 093 778 234 139 738 112;
  • 45) 0,996 093 778 234 139 738 112 × 2 = 1 + 0,992 187 556 468 279 476 224;
  • 46) 0,992 187 556 468 279 476 224 × 2 = 1 + 0,984 375 112 936 558 952 448;
  • 47) 0,984 375 112 936 558 952 448 × 2 = 1 + 0,968 750 225 873 117 904 896;
  • 48) 0,968 750 225 873 117 904 896 × 2 = 1 + 0,937 500 451 746 235 809 792;
  • 49) 0,937 500 451 746 235 809 792 × 2 = 1 + 0,875 000 903 492 471 619 584;
  • 50) 0,875 000 903 492 471 619 584 × 2 = 1 + 0,750 001 806 984 943 239 168;
  • 51) 0,750 001 806 984 943 239 168 × 2 = 1 + 0,500 003 613 969 886 478 336;
  • 52) 0,500 003 613 969 886 478 336 × 2 = 1 + 0,000 007 227 939 772 956 672;
  • 53) 0,000 007 227 939 772 956 672 × 2 = 0 + 0,000 014 455 879 545 913 344;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,999 999 999 999 999 777 957(10) =

0,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

1,999 999 999 999 999 777 957(10) =

1,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 0 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1,999 999 999 999 999 777 957(10) =

1,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0(2) =

1,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0(2) × 20


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 0

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

0 + 2(11-1) - 1 =

(0 + 1 023)(10) =

1 023(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1023(10) =

011 1111 1111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0 =

1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1111

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 1,999 999 999 999 999 777 957 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1111 - 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 1,999 999 999 999 999 778 016 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2025 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100