Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 1 001 000 101 011 111 101 101 100 100 884 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 1 001 000 101 011 111 101 101 100 100 884(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 001 000 101 011 111 101 101 100 100 884 : 2 = 500 500 050 505 555 550 550 550 050 442 + 0;
  • 500 500 050 505 555 550 550 550 050 442 : 2 = 250 250 025 252 777 775 275 275 025 221 + 0;
  • 250 250 025 252 777 775 275 275 025 221 : 2 = 125 125 012 626 388 887 637 637 512 610 + 1;
  • 125 125 012 626 388 887 637 637 512 610 : 2 = 62 562 506 313 194 443 818 818 756 305 + 0;
  • 62 562 506 313 194 443 818 818 756 305 : 2 = 31 281 253 156 597 221 909 409 378 152 + 1;
  • 31 281 253 156 597 221 909 409 378 152 : 2 = 15 640 626 578 298 610 954 704 689 076 + 0;
  • 15 640 626 578 298 610 954 704 689 076 : 2 = 7 820 313 289 149 305 477 352 344 538 + 0;
  • 7 820 313 289 149 305 477 352 344 538 : 2 = 3 910 156 644 574 652 738 676 172 269 + 0;
  • 3 910 156 644 574 652 738 676 172 269 : 2 = 1 955 078 322 287 326 369 338 086 134 + 1;
  • 1 955 078 322 287 326 369 338 086 134 : 2 = 977 539 161 143 663 184 669 043 067 + 0;
  • 977 539 161 143 663 184 669 043 067 : 2 = 488 769 580 571 831 592 334 521 533 + 1;
  • 488 769 580 571 831 592 334 521 533 : 2 = 244 384 790 285 915 796 167 260 766 + 1;
  • 244 384 790 285 915 796 167 260 766 : 2 = 122 192 395 142 957 898 083 630 383 + 0;
  • 122 192 395 142 957 898 083 630 383 : 2 = 61 096 197 571 478 949 041 815 191 + 1;
  • 61 096 197 571 478 949 041 815 191 : 2 = 30 548 098 785 739 474 520 907 595 + 1;
  • 30 548 098 785 739 474 520 907 595 : 2 = 15 274 049 392 869 737 260 453 797 + 1;
  • 15 274 049 392 869 737 260 453 797 : 2 = 7 637 024 696 434 868 630 226 898 + 1;
  • 7 637 024 696 434 868 630 226 898 : 2 = 3 818 512 348 217 434 315 113 449 + 0;
  • 3 818 512 348 217 434 315 113 449 : 2 = 1 909 256 174 108 717 157 556 724 + 1;
  • 1 909 256 174 108 717 157 556 724 : 2 = 954 628 087 054 358 578 778 362 + 0;
  • 954 628 087 054 358 578 778 362 : 2 = 477 314 043 527 179 289 389 181 + 0;
  • 477 314 043 527 179 289 389 181 : 2 = 238 657 021 763 589 644 694 590 + 1;
  • 238 657 021 763 589 644 694 590 : 2 = 119 328 510 881 794 822 347 295 + 0;
  • 119 328 510 881 794 822 347 295 : 2 = 59 664 255 440 897 411 173 647 + 1;
  • 59 664 255 440 897 411 173 647 : 2 = 29 832 127 720 448 705 586 823 + 1;
  • 29 832 127 720 448 705 586 823 : 2 = 14 916 063 860 224 352 793 411 + 1;
  • 14 916 063 860 224 352 793 411 : 2 = 7 458 031 930 112 176 396 705 + 1;
  • 7 458 031 930 112 176 396 705 : 2 = 3 729 015 965 056 088 198 352 + 1;
  • 3 729 015 965 056 088 198 352 : 2 = 1 864 507 982 528 044 099 176 + 0;
  • 1 864 507 982 528 044 099 176 : 2 = 932 253 991 264 022 049 588 + 0;
  • 932 253 991 264 022 049 588 : 2 = 466 126 995 632 011 024 794 + 0;
  • 466 126 995 632 011 024 794 : 2 = 233 063 497 816 005 512 397 + 0;
  • 233 063 497 816 005 512 397 : 2 = 116 531 748 908 002 756 198 + 1;
  • 116 531 748 908 002 756 198 : 2 = 58 265 874 454 001 378 099 + 0;
  • 58 265 874 454 001 378 099 : 2 = 29 132 937 227 000 689 049 + 1;
  • 29 132 937 227 000 689 049 : 2 = 14 566 468 613 500 344 524 + 1;
  • 14 566 468 613 500 344 524 : 2 = 7 283 234 306 750 172 262 + 0;
  • 7 283 234 306 750 172 262 : 2 = 3 641 617 153 375 086 131 + 0;
  • 3 641 617 153 375 086 131 : 2 = 1 820 808 576 687 543 065 + 1;
  • 1 820 808 576 687 543 065 : 2 = 910 404 288 343 771 532 + 1;
  • 910 404 288 343 771 532 : 2 = 455 202 144 171 885 766 + 0;
  • 455 202 144 171 885 766 : 2 = 227 601 072 085 942 883 + 0;
  • 227 601 072 085 942 883 : 2 = 113 800 536 042 971 441 + 1;
  • 113 800 536 042 971 441 : 2 = 56 900 268 021 485 720 + 1;
  • 56 900 268 021 485 720 : 2 = 28 450 134 010 742 860 + 0;
  • 28 450 134 010 742 860 : 2 = 14 225 067 005 371 430 + 0;
  • 14 225 067 005 371 430 : 2 = 7 112 533 502 685 715 + 0;
  • 7 112 533 502 685 715 : 2 = 3 556 266 751 342 857 + 1;
  • 3 556 266 751 342 857 : 2 = 1 778 133 375 671 428 + 1;
  • 1 778 133 375 671 428 : 2 = 889 066 687 835 714 + 0;
  • 889 066 687 835 714 : 2 = 444 533 343 917 857 + 0;
  • 444 533 343 917 857 : 2 = 222 266 671 958 928 + 1;
  • 222 266 671 958 928 : 2 = 111 133 335 979 464 + 0;
  • 111 133 335 979 464 : 2 = 55 566 667 989 732 + 0;
  • 55 566 667 989 732 : 2 = 27 783 333 994 866 + 0;
  • 27 783 333 994 866 : 2 = 13 891 666 997 433 + 0;
  • 13 891 666 997 433 : 2 = 6 945 833 498 716 + 1;
  • 6 945 833 498 716 : 2 = 3 472 916 749 358 + 0;
  • 3 472 916 749 358 : 2 = 1 736 458 374 679 + 0;
  • 1 736 458 374 679 : 2 = 868 229 187 339 + 1;
  • 868 229 187 339 : 2 = 434 114 593 669 + 1;
  • 434 114 593 669 : 2 = 217 057 296 834 + 1;
  • 217 057 296 834 : 2 = 108 528 648 417 + 0;
  • 108 528 648 417 : 2 = 54 264 324 208 + 1;
  • 54 264 324 208 : 2 = 27 132 162 104 + 0;
  • 27 132 162 104 : 2 = 13 566 081 052 + 0;
  • 13 566 081 052 : 2 = 6 783 040 526 + 0;
  • 6 783 040 526 : 2 = 3 391 520 263 + 0;
  • 3 391 520 263 : 2 = 1 695 760 131 + 1;
  • 1 695 760 131 : 2 = 847 880 065 + 1;
  • 847 880 065 : 2 = 423 940 032 + 1;
  • 423 940 032 : 2 = 211 970 016 + 0;
  • 211 970 016 : 2 = 105 985 008 + 0;
  • 105 985 008 : 2 = 52 992 504 + 0;
  • 52 992 504 : 2 = 26 496 252 + 0;
  • 26 496 252 : 2 = 13 248 126 + 0;
  • 13 248 126 : 2 = 6 624 063 + 0;
  • 6 624 063 : 2 = 3 312 031 + 1;
  • 3 312 031 : 2 = 1 656 015 + 1;
  • 1 656 015 : 2 = 828 007 + 1;
  • 828 007 : 2 = 414 003 + 1;
  • 414 003 : 2 = 207 001 + 1;
  • 207 001 : 2 = 103 500 + 1;
  • 103 500 : 2 = 51 750 + 0;
  • 51 750 : 2 = 25 875 + 0;
  • 25 875 : 2 = 12 937 + 1;
  • 12 937 : 2 = 6 468 + 1;
  • 6 468 : 2 = 3 234 + 0;
  • 3 234 : 2 = 1 617 + 0;
  • 1 617 : 2 = 808 + 1;
  • 808 : 2 = 404 + 0;
  • 404 : 2 = 202 + 0;
  • 202 : 2 = 101 + 0;
  • 101 : 2 = 50 + 1;
  • 50 : 2 = 25 + 0;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea numărului pozitiv în baza 2.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

1 001 000 101 011 111 101 101 100 100 884(10) =


1100 1010 0010 0110 0111 1110 0000 0111 0000 1011 1001 0000 1001 1000 1100 1100 1101 0000 1111 1010 0101 1110 1101 0001 0100(2)


3. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 99 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


1 001 000 101 011 111 101 101 100 100 884(10) =


1100 1010 0010 0110 0111 1110 0000 0111 0000 1011 1001 0000 1001 1000 1100 1100 1101 0000 1111 1010 0101 1110 1101 0001 0100(2) =


1100 1010 0010 0110 0111 1110 0000 0111 0000 1011 1001 0000 1001 1000 1100 1100 1101 0000 1111 1010 0101 1110 1101 0001 0100(2) × 20 =


1,1001 0100 0100 1100 1111 1100 0000 1110 0001 0111 0010 0001 0011 0001 1001 1001 1010 0001 1111 0100 1011 1101 1010 0010 100(2) × 299


4. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): 99


Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0100 0100 1100 1111 1100 0000 1110 0001 0111 0010 0001 0011 0001 1001 1001 1010 0001 1111 0100 1011 1101 1010 0010 100


5. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


99 + 2(11-1) - 1 =


(99 + 1 023)(10) =


1 122(10)


6. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 122 : 2 = 561 + 0;
  • 561 : 2 = 280 + 1;
  • 280 : 2 = 140 + 0;
  • 140 : 2 = 70 + 0;
  • 70 : 2 = 35 + 0;
  • 35 : 2 = 17 + 1;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

7. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =


1122(10) =


100 0110 0010(2)


8. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.


b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =


1. 1001 0100 0100 1100 1111 1100 0000 1110 0001 0111 0010 0001 0011 000 1100 1100 1101 0000 1111 1010 0101 1110 1101 0001 0100 =


1001 0100 0100 1100 1111 1100 0000 1110 0001 0111 0010 0001 0011


9. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
100 0110 0010


Mantisă (52 biți) =
1001 0100 0100 1100 1111 1100 0000 1110 0001 0111 0010 0001 0011


Numărul zecimal în baza zece 1 001 000 101 011 111 101 101 100 100 884 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0110 0010 - 1001 0100 0100 1100 1111 1100 0000 1110 0001 0111 0010 0001 0011

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100