Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 123 456 789,123 456 779 8 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 123 456 789,123 456 779 8(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 123 456 789.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 123 456 789 : 2 = 61 728 394 + 1;
  • 61 728 394 : 2 = 30 864 197 + 0;
  • 30 864 197 : 2 = 15 432 098 + 1;
  • 15 432 098 : 2 = 7 716 049 + 0;
  • 7 716 049 : 2 = 3 858 024 + 1;
  • 3 858 024 : 2 = 1 929 012 + 0;
  • 1 929 012 : 2 = 964 506 + 0;
  • 964 506 : 2 = 482 253 + 0;
  • 482 253 : 2 = 241 126 + 1;
  • 241 126 : 2 = 120 563 + 0;
  • 120 563 : 2 = 60 281 + 1;
  • 60 281 : 2 = 30 140 + 1;
  • 30 140 : 2 = 15 070 + 0;
  • 15 070 : 2 = 7 535 + 0;
  • 7 535 : 2 = 3 767 + 1;
  • 3 767 : 2 = 1 883 + 1;
  • 1 883 : 2 = 941 + 1;
  • 941 : 2 = 470 + 1;
  • 470 : 2 = 235 + 0;
  • 235 : 2 = 117 + 1;
  • 117 : 2 = 58 + 1;
  • 58 : 2 = 29 + 0;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

123 456 789(10) =


111 0101 1011 1100 1101 0001 0101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 456 779 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.


Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.


Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 456 779 8 × 2 = 0 + 0,246 913 559 6;
  • 2) 0,246 913 559 6 × 2 = 0 + 0,493 827 119 2;
  • 3) 0,493 827 119 2 × 2 = 0 + 0,987 654 238 4;
  • 4) 0,987 654 238 4 × 2 = 1 + 0,975 308 476 8;
  • 5) 0,975 308 476 8 × 2 = 1 + 0,950 616 953 6;
  • 6) 0,950 616 953 6 × 2 = 1 + 0,901 233 907 2;
  • 7) 0,901 233 907 2 × 2 = 1 + 0,802 467 814 4;
  • 8) 0,802 467 814 4 × 2 = 1 + 0,604 935 628 8;
  • 9) 0,604 935 628 8 × 2 = 1 + 0,209 871 257 6;
  • 10) 0,209 871 257 6 × 2 = 0 + 0,419 742 515 2;
  • 11) 0,419 742 515 2 × 2 = 0 + 0,839 485 030 4;
  • 12) 0,839 485 030 4 × 2 = 1 + 0,678 970 060 8;
  • 13) 0,678 970 060 8 × 2 = 1 + 0,357 940 121 6;
  • 14) 0,357 940 121 6 × 2 = 0 + 0,715 880 243 2;
  • 15) 0,715 880 243 2 × 2 = 1 + 0,431 760 486 4;
  • 16) 0,431 760 486 4 × 2 = 0 + 0,863 520 972 8;
  • 17) 0,863 520 972 8 × 2 = 1 + 0,727 041 945 6;
  • 18) 0,727 041 945 6 × 2 = 1 + 0,454 083 891 2;
  • 19) 0,454 083 891 2 × 2 = 0 + 0,908 167 782 4;
  • 20) 0,908 167 782 4 × 2 = 1 + 0,816 335 564 8;
  • 21) 0,816 335 564 8 × 2 = 1 + 0,632 671 129 6;
  • 22) 0,632 671 129 6 × 2 = 1 + 0,265 342 259 2;
  • 23) 0,265 342 259 2 × 2 = 0 + 0,530 684 518 4;
  • 24) 0,530 684 518 4 × 2 = 1 + 0,061 369 036 8;
  • 25) 0,061 369 036 8 × 2 = 0 + 0,122 738 073 6;
  • 26) 0,122 738 073 6 × 2 = 0 + 0,245 476 147 2;
  • 27) 0,245 476 147 2 × 2 = 0 + 0,490 952 294 4;
  • 28) 0,490 952 294 4 × 2 = 0 + 0,981 904 588 8;
  • 29) 0,981 904 588 8 × 2 = 1 + 0,963 809 177 6;
  • 30) 0,963 809 177 6 × 2 = 1 + 0,927 618 355 2;
  • 31) 0,927 618 355 2 × 2 = 1 + 0,855 236 710 4;
  • 32) 0,855 236 710 4 × 2 = 1 + 0,710 473 420 8;
  • 33) 0,710 473 420 8 × 2 = 1 + 0,420 946 841 6;
  • 34) 0,420 946 841 6 × 2 = 0 + 0,841 893 683 2;
  • 35) 0,841 893 683 2 × 2 = 1 + 0,683 787 366 4;
  • 36) 0,683 787 366 4 × 2 = 1 + 0,367 574 732 8;
  • 37) 0,367 574 732 8 × 2 = 0 + 0,735 149 465 6;
  • 38) 0,735 149 465 6 × 2 = 1 + 0,470 298 931 2;
  • 39) 0,470 298 931 2 × 2 = 0 + 0,940 597 862 4;
  • 40) 0,940 597 862 4 × 2 = 1 + 0,881 195 724 8;
  • 41) 0,881 195 724 8 × 2 = 1 + 0,762 391 449 6;
  • 42) 0,762 391 449 6 × 2 = 1 + 0,524 782 899 2;
  • 43) 0,524 782 899 2 × 2 = 1 + 0,049 565 798 4;
  • 44) 0,049 565 798 4 × 2 = 0 + 0,099 131 596 8;
  • 45) 0,099 131 596 8 × 2 = 0 + 0,198 263 193 6;
  • 46) 0,198 263 193 6 × 2 = 0 + 0,396 526 387 2;
  • 47) 0,396 526 387 2 × 2 = 0 + 0,793 052 774 4;
  • 48) 0,793 052 774 4 × 2 = 1 + 0,586 105 548 8;
  • 49) 0,586 105 548 8 × 2 = 1 + 0,172 211 097 6;
  • 50) 0,172 211 097 6 × 2 = 0 + 0,344 422 195 2;
  • 51) 0,344 422 195 2 × 2 = 0 + 0,688 844 390 4;
  • 52) 0,688 844 390 4 × 2 = 1 + 0,377 688 780 8;
  • 53) 0,377 688 780 8 × 2 = 0 + 0,755 377 561 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 456 779 8(10) =


0,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0000 1111 1011 0101 1110 0001 1001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

123 456 789,123 456 779 8(10) =


111 0101 1011 1100 1101 0001 0101,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0000 1111 1011 0101 1110 0001 1001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 26 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


123 456 789,123 456 779 8(10) =


111 0101 1011 1100 1101 0001 0101,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0000 1111 1011 0101 1110 0001 1001 0(2) =


111 0101 1011 1100 1101 0001 0101,0001 1111 1001 1010 1101 1101 0000 1111 1011 0101 1110 0001 1001 0(2) × 20 =


1,1101 0110 1111 0011 0100 0101 0100 0111 1110 0110 1011 0111 0100 0011 1110 1101 0111 1000 0110 010(2) × 226


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): 26


Mantisă (nenormalizată):
1,1101 0110 1111 0011 0100 0101 0100 0111 1110 0110 1011 0111 0100 0011 1110 1101 0111 1000 0110 010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


26 + 2(11-1) - 1 =


(26 + 1 023)(10) =


1 049(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 049 : 2 = 524 + 1;
  • 524 : 2 = 262 + 0;
  • 262 : 2 = 131 + 0;
  • 131 : 2 = 65 + 1;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =


1049(10) =


100 0001 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.


b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =


1. 1101 0110 1111 0011 0100 0101 0100 0111 1110 0110 1011 0111 0100 001 1111 0110 1011 1100 0011 0010 =


1101 0110 1111 0011 0100 0101 0100 0111 1110 0110 1011 0111 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
100 0001 1001


Mantisă (52 biți) =
1101 0110 1111 0011 0100 0101 0100 0111 1110 0110 1011 0111 0100


Numărul zecimal în baza zece 123 456 789,123 456 779 8 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 1001 - 1101 0110 1111 0011 0100 0101 0100 0111 1110 0110 1011 0111 0100

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100