Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =


10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.


Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.


Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54 × 2 = 1 + 0,436 563 656 918 090 470 720 574 942 705 324 995 514 494 187 399 919 149 933 937 08;
  • 2) 0,436 563 656 918 090 470 720 574 942 705 324 995 514 494 187 399 919 149 933 937 08 × 2 = 0 + 0,873 127 313 836 180 941 441 149 885 410 649 991 028 988 374 799 838 299 867 874 16;
  • 3) 0,873 127 313 836 180 941 441 149 885 410 649 991 028 988 374 799 838 299 867 874 16 × 2 = 1 + 0,746 254 627 672 361 882 882 299 770 821 299 982 057 976 749 599 676 599 735 748 32;
  • 4) 0,746 254 627 672 361 882 882 299 770 821 299 982 057 976 749 599 676 599 735 748 32 × 2 = 1 + 0,492 509 255 344 723 765 764 599 541 642 599 964 115 953 499 199 353 199 471 496 64;
  • 5) 0,492 509 255 344 723 765 764 599 541 642 599 964 115 953 499 199 353 199 471 496 64 × 2 = 0 + 0,985 018 510 689 447 531 529 199 083 285 199 928 231 906 998 398 706 398 942 993 28;
  • 6) 0,985 018 510 689 447 531 529 199 083 285 199 928 231 906 998 398 706 398 942 993 28 × 2 = 1 + 0,970 037 021 378 895 063 058 398 166 570 399 856 463 813 996 797 412 797 885 986 56;
  • 7) 0,970 037 021 378 895 063 058 398 166 570 399 856 463 813 996 797 412 797 885 986 56 × 2 = 1 + 0,940 074 042 757 790 126 116 796 333 140 799 712 927 627 993 594 825 595 771 973 12;
  • 8) 0,940 074 042 757 790 126 116 796 333 140 799 712 927 627 993 594 825 595 771 973 12 × 2 = 1 + 0,880 148 085 515 580 252 233 592 666 281 599 425 855 255 987 189 651 191 543 946 24;
  • 9) 0,880 148 085 515 580 252 233 592 666 281 599 425 855 255 987 189 651 191 543 946 24 × 2 = 1 + 0,760 296 171 031 160 504 467 185 332 563 198 851 710 511 974 379 302 383 087 892 48;
  • 10) 0,760 296 171 031 160 504 467 185 332 563 198 851 710 511 974 379 302 383 087 892 48 × 2 = 1 + 0,520 592 342 062 321 008 934 370 665 126 397 703 421 023 948 758 604 766 175 784 96;
  • 11) 0,520 592 342 062 321 008 934 370 665 126 397 703 421 023 948 758 604 766 175 784 96 × 2 = 1 + 0,041 184 684 124 642 017 868 741 330 252 795 406 842 047 897 517 209 532 351 569 92;
  • 12) 0,041 184 684 124 642 017 868 741 330 252 795 406 842 047 897 517 209 532 351 569 92 × 2 = 0 + 0,082 369 368 249 284 035 737 482 660 505 590 813 684 095 795 034 419 064 703 139 84;
  • 13) 0,082 369 368 249 284 035 737 482 660 505 590 813 684 095 795 034 419 064 703 139 84 × 2 = 0 + 0,164 738 736 498 568 071 474 965 321 011 181 627 368 191 590 068 838 129 406 279 68;
  • 14) 0,164 738 736 498 568 071 474 965 321 011 181 627 368 191 590 068 838 129 406 279 68 × 2 = 0 + 0,329 477 472 997 136 142 949 930 642 022 363 254 736 383 180 137 676 258 812 559 36;
  • 15) 0,329 477 472 997 136 142 949 930 642 022 363 254 736 383 180 137 676 258 812 559 36 × 2 = 0 + 0,658 954 945 994 272 285 899 861 284 044 726 509 472 766 360 275 352 517 625 118 72;
  • 16) 0,658 954 945 994 272 285 899 861 284 044 726 509 472 766 360 275 352 517 625 118 72 × 2 = 1 + 0,317 909 891 988 544 571 799 722 568 089 453 018 945 532 720 550 705 035 250 237 44;
  • 17) 0,317 909 891 988 544 571 799 722 568 089 453 018 945 532 720 550 705 035 250 237 44 × 2 = 0 + 0,635 819 783 977 089 143 599 445 136 178 906 037 891 065 441 101 410 070 500 474 88;
  • 18) 0,635 819 783 977 089 143 599 445 136 178 906 037 891 065 441 101 410 070 500 474 88 × 2 = 1 + 0,271 639 567 954 178 287 198 890 272 357 812 075 782 130 882 202 820 141 000 949 76;
  • 19) 0,271 639 567 954 178 287 198 890 272 357 812 075 782 130 882 202 820 141 000 949 76 × 2 = 0 + 0,543 279 135 908 356 574 397 780 544 715 624 151 564 261 764 405 640 282 001 899 52;
  • 20) 0,543 279 135 908 356 574 397 780 544 715 624 151 564 261 764 405 640 282 001 899 52 × 2 = 1 + 0,086 558 271 816 713 148 795 561 089 431 248 303 128 523 528 811 280 564 003 799 04;
  • 21) 0,086 558 271 816 713 148 795 561 089 431 248 303 128 523 528 811 280 564 003 799 04 × 2 = 0 + 0,173 116 543 633 426 297 591 122 178 862 496 606 257 047 057 622 561 128 007 598 08;
  • 22) 0,173 116 543 633 426 297 591 122 178 862 496 606 257 047 057 622 561 128 007 598 08 × 2 = 0 + 0,346 233 087 266 852 595 182 244 357 724 993 212 514 094 115 245 122 256 015 196 16;
  • 23) 0,346 233 087 266 852 595 182 244 357 724 993 212 514 094 115 245 122 256 015 196 16 × 2 = 0 + 0,692 466 174 533 705 190 364 488 715 449 986 425 028 188 230 490 244 512 030 392 32;
  • 24) 0,692 466 174 533 705 190 364 488 715 449 986 425 028 188 230 490 244 512 030 392 32 × 2 = 1 + 0,384 932 349 067 410 380 728 977 430 899 972 850 056 376 460 980 489 024 060 784 64;
  • 25) 0,384 932 349 067 410 380 728 977 430 899 972 850 056 376 460 980 489 024 060 784 64 × 2 = 0 + 0,769 864 698 134 820 761 457 954 861 799 945 700 112 752 921 960 978 048 121 569 28;
  • 26) 0,769 864 698 134 820 761 457 954 861 799 945 700 112 752 921 960 978 048 121 569 28 × 2 = 1 + 0,539 729 396 269 641 522 915 909 723 599 891 400 225 505 843 921 956 096 243 138 56;
  • 27) 0,539 729 396 269 641 522 915 909 723 599 891 400 225 505 843 921 956 096 243 138 56 × 2 = 1 + 0,079 458 792 539 283 045 831 819 447 199 782 800 451 011 687 843 912 192 486 277 12;
  • 28) 0,079 458 792 539 283 045 831 819 447 199 782 800 451 011 687 843 912 192 486 277 12 × 2 = 0 + 0,158 917 585 078 566 091 663 638 894 399 565 600 902 023 375 687 824 384 972 554 24;
  • 29) 0,158 917 585 078 566 091 663 638 894 399 565 600 902 023 375 687 824 384 972 554 24 × 2 = 0 + 0,317 835 170 157 132 183 327 277 788 799 131 201 804 046 751 375 648 769 945 108 48;
  • 30) 0,317 835 170 157 132 183 327 277 788 799 131 201 804 046 751 375 648 769 945 108 48 × 2 = 0 + 0,635 670 340 314 264 366 654 555 577 598 262 403 608 093 502 751 297 539 890 216 96;
  • 31) 0,635 670 340 314 264 366 654 555 577 598 262 403 608 093 502 751 297 539 890 216 96 × 2 = 1 + 0,271 340 680 628 528 733 309 111 155 196 524 807 216 187 005 502 595 079 780 433 92;
  • 32) 0,271 340 680 628 528 733 309 111 155 196 524 807 216 187 005 502 595 079 780 433 92 × 2 = 0 + 0,542 681 361 257 057 466 618 222 310 393 049 614 432 374 011 005 190 159 560 867 84;
  • 33) 0,542 681 361 257 057 466 618 222 310 393 049 614 432 374 011 005 190 159 560 867 84 × 2 = 1 + 0,085 362 722 514 114 933 236 444 620 786 099 228 864 748 022 010 380 319 121 735 68;
  • 34) 0,085 362 722 514 114 933 236 444 620 786 099 228 864 748 022 010 380 319 121 735 68 × 2 = 0 + 0,170 725 445 028 229 866 472 889 241 572 198 457 729 496 044 020 760 638 243 471 36;
  • 35) 0,170 725 445 028 229 866 472 889 241 572 198 457 729 496 044 020 760 638 243 471 36 × 2 = 0 + 0,341 450 890 056 459 732 945 778 483 144 396 915 458 992 088 041 521 276 486 942 72;
  • 36) 0,341 450 890 056 459 732 945 778 483 144 396 915 458 992 088 041 521 276 486 942 72 × 2 = 0 + 0,682 901 780 112 919 465 891 556 966 288 793 830 917 984 176 083 042 552 973 885 44;
  • 37) 0,682 901 780 112 919 465 891 556 966 288 793 830 917 984 176 083 042 552 973 885 44 × 2 = 1 + 0,365 803 560 225 838 931 783 113 932 577 587 661 835 968 352 166 085 105 947 770 88;
  • 38) 0,365 803 560 225 838 931 783 113 932 577 587 661 835 968 352 166 085 105 947 770 88 × 2 = 0 + 0,731 607 120 451 677 863 566 227 865 155 175 323 671 936 704 332 170 211 895 541 76;
  • 39) 0,731 607 120 451 677 863 566 227 865 155 175 323 671 936 704 332 170 211 895 541 76 × 2 = 1 + 0,463 214 240 903 355 727 132 455 730 310 350 647 343 873 408 664 340 423 791 083 52;
  • 40) 0,463 214 240 903 355 727 132 455 730 310 350 647 343 873 408 664 340 423 791 083 52 × 2 = 0 + 0,926 428 481 806 711 454 264 911 460 620 701 294 687 746 817 328 680 847 582 167 04;
  • 41) 0,926 428 481 806 711 454 264 911 460 620 701 294 687 746 817 328 680 847 582 167 04 × 2 = 1 + 0,852 856 963 613 422 908 529 822 921 241 402 589 375 493 634 657 361 695 164 334 08;
  • 42) 0,852 856 963 613 422 908 529 822 921 241 402 589 375 493 634 657 361 695 164 334 08 × 2 = 1 + 0,705 713 927 226 845 817 059 645 842 482 805 178 750 987 269 314 723 390 328 668 16;
  • 43) 0,705 713 927 226 845 817 059 645 842 482 805 178 750 987 269 314 723 390 328 668 16 × 2 = 1 + 0,411 427 854 453 691 634 119 291 684 965 610 357 501 974 538 629 446 780 657 336 32;
  • 44) 0,411 427 854 453 691 634 119 291 684 965 610 357 501 974 538 629 446 780 657 336 32 × 2 = 0 + 0,822 855 708 907 383 268 238 583 369 931 220 715 003 949 077 258 893 561 314 672 64;
  • 45) 0,822 855 708 907 383 268 238 583 369 931 220 715 003 949 077 258 893 561 314 672 64 × 2 = 1 + 0,645 711 417 814 766 536 477 166 739 862 441 430 007 898 154 517 787 122 629 345 28;
  • 46) 0,645 711 417 814 766 536 477 166 739 862 441 430 007 898 154 517 787 122 629 345 28 × 2 = 1 + 0,291 422 835 629 533 072 954 333 479 724 882 860 015 796 309 035 574 245 258 690 56;
  • 47) 0,291 422 835 629 533 072 954 333 479 724 882 860 015 796 309 035 574 245 258 690 56 × 2 = 0 + 0,582 845 671 259 066 145 908 666 959 449 765 720 031 592 618 071 148 490 517 381 12;
  • 48) 0,582 845 671 259 066 145 908 666 959 449 765 720 031 592 618 071 148 490 517 381 12 × 2 = 1 + 0,165 691 342 518 132 291 817 333 918 899 531 440 063 185 236 142 296 981 034 762 24;
  • 49) 0,165 691 342 518 132 291 817 333 918 899 531 440 063 185 236 142 296 981 034 762 24 × 2 = 0 + 0,331 382 685 036 264 583 634 667 837 799 062 880 126 370 472 284 593 962 069 524 48;
  • 50) 0,331 382 685 036 264 583 634 667 837 799 062 880 126 370 472 284 593 962 069 524 48 × 2 = 0 + 0,662 765 370 072 529 167 269 335 675 598 125 760 252 740 944 569 187 924 139 048 96;
  • 51) 0,662 765 370 072 529 167 269 335 675 598 125 760 252 740 944 569 187 924 139 048 96 × 2 = 1 + 0,325 530 740 145 058 334 538 671 351 196 251 520 505 481 889 138 375 848 278 097 92;
  • 52) 0,325 530 740 145 058 334 538 671 351 196 251 520 505 481 889 138 375 848 278 097 92 × 2 = 0 + 0,651 061 480 290 116 669 077 342 702 392 503 041 010 963 778 276 751 696 556 195 84;
  • 53) 0,651 061 480 290 116 669 077 342 702 392 503 041 010 963 778 276 751 696 556 195 84 × 2 = 1 + 0,302 122 960 580 233 338 154 685 404 785 006 082 021 927 556 553 503 393 112 391 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54(10) =


0,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54(10) =


10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54(10) =


10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) =


10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) × 20 =


1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): 1


Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


1 + 2(11-1) - 1 =


(1 + 1 023)(10) =


1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =


1024(10) =


100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.


b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =


1. 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01 =


0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
100 0000 0000


Mantisă (52 biți) =
0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


Numărul zecimal în baza zece 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 968 54 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100