20,333 333 333 333 333 333 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 20,333 333 333 333 333 333 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
20,333 333 333 333 333 333 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 20.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

20(10) =

1 0100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,333 333 333 333 333 333 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,333 333 333 333 333 333 37 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 666 74;
  • 2) 0,666 666 666 666 666 666 74 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 333 48;
  • 3) 0,333 333 333 333 333 333 48 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 666 96;
  • 4) 0,666 666 666 666 666 666 96 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 333 92;
  • 5) 0,333 333 333 333 333 333 92 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 667 84;
  • 6) 0,666 666 666 666 666 667 84 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 335 68;
  • 7) 0,333 333 333 333 333 335 68 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 671 36;
  • 8) 0,666 666 666 666 666 671 36 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 342 72;
  • 9) 0,333 333 333 333 333 342 72 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 685 44;
  • 10) 0,666 666 666 666 666 685 44 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 370 88;
  • 11) 0,333 333 333 333 333 370 88 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 741 76;
  • 12) 0,666 666 666 666 666 741 76 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 483 52;
  • 13) 0,333 333 333 333 333 483 52 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 666 967 04;
  • 14) 0,666 666 666 666 666 967 04 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 333 934 08;
  • 15) 0,333 333 333 333 333 934 08 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 667 868 16;
  • 16) 0,666 666 666 666 667 868 16 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 335 736 32;
  • 17) 0,333 333 333 333 335 736 32 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 671 472 64;
  • 18) 0,666 666 666 666 671 472 64 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 342 945 28;
  • 19) 0,333 333 333 333 342 945 28 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 685 890 56;
  • 20) 0,666 666 666 666 685 890 56 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 371 781 12;
  • 21) 0,333 333 333 333 371 781 12 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 743 562 24;
  • 22) 0,666 666 666 666 743 562 24 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 487 124 48;
  • 23) 0,333 333 333 333 487 124 48 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 974 248 96;
  • 24) 0,666 666 666 666 974 248 96 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 948 497 92;
  • 25) 0,333 333 333 333 948 497 92 × 2 = 0 + 0,666 666 666 667 896 995 84;
  • 26) 0,666 666 666 667 896 995 84 × 2 = 1 + 0,333 333 333 335 793 991 68;
  • 27) 0,333 333 333 335 793 991 68 × 2 = 0 + 0,666 666 666 671 587 983 36;
  • 28) 0,666 666 666 671 587 983 36 × 2 = 1 + 0,333 333 333 343 175 966 72;
  • 29) 0,333 333 333 343 175 966 72 × 2 = 0 + 0,666 666 666 686 351 933 44;
  • 30) 0,666 666 666 686 351 933 44 × 2 = 1 + 0,333 333 333 372 703 866 88;
  • 31) 0,333 333 333 372 703 866 88 × 2 = 0 + 0,666 666 666 745 407 733 76;
  • 32) 0,666 666 666 745 407 733 76 × 2 = 1 + 0,333 333 333 490 815 467 52;
  • 33) 0,333 333 333 490 815 467 52 × 2 = 0 + 0,666 666 666 981 630 935 04;
  • 34) 0,666 666 666 981 630 935 04 × 2 = 1 + 0,333 333 333 963 261 870 08;
  • 35) 0,333 333 333 963 261 870 08 × 2 = 0 + 0,666 666 667 926 523 740 16;
  • 36) 0,666 666 667 926 523 740 16 × 2 = 1 + 0,333 333 335 853 047 480 32;
  • 37) 0,333 333 335 853 047 480 32 × 2 = 0 + 0,666 666 671 706 094 960 64;
  • 38) 0,666 666 671 706 094 960 64 × 2 = 1 + 0,333 333 343 412 189 921 28;
  • 39) 0,333 333 343 412 189 921 28 × 2 = 0 + 0,666 666 686 824 379 842 56;
  • 40) 0,666 666 686 824 379 842 56 × 2 = 1 + 0,333 333 373 648 759 685 12;
  • 41) 0,333 333 373 648 759 685 12 × 2 = 0 + 0,666 666 747 297 519 370 24;
  • 42) 0,666 666 747 297 519 370 24 × 2 = 1 + 0,333 333 494 595 038 740 48;
  • 43) 0,333 333 494 595 038 740 48 × 2 = 0 + 0,666 666 989 190 077 480 96;
  • 44) 0,666 666 989 190 077 480 96 × 2 = 1 + 0,333 333 978 380 154 961 92;
  • 45) 0,333 333 978 380 154 961 92 × 2 = 0 + 0,666 667 956 760 309 923 84;
  • 46) 0,666 667 956 760 309 923 84 × 2 = 1 + 0,333 335 913 520 619 847 68;
  • 47) 0,333 335 913 520 619 847 68 × 2 = 0 + 0,666 671 827 041 239 695 36;
  • 48) 0,666 671 827 041 239 695 36 × 2 = 1 + 0,333 343 654 082 479 390 72;
  • 49) 0,333 343 654 082 479 390 72 × 2 = 0 + 0,666 687 308 164 958 781 44;
  • 50) 0,666 687 308 164 958 781 44 × 2 = 1 + 0,333 374 616 329 917 562 88;
  • 51) 0,333 374 616 329 917 562 88 × 2 = 0 + 0,666 749 232 659 835 125 76;
  • 52) 0,666 749 232 659 835 125 76 × 2 = 1 + 0,333 498 465 319 670 251 52;
  • 53) 0,333 498 465 319 670 251 52 × 2 = 0 + 0,666 996 930 639 340 503 04;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,333 333 333 333 333 333 37(10) =

0,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

20,333 333 333 333 333 333 37(10) =

1 0100,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


20,333 333 333 333 333 333 37(10) =

1 0100,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0(2) =

1 0100,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0(2) × 20 =

1,0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0 1010 =

0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101


Numărul zecimal 20,333 333 333 333 333 333 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101

Distribuie

» Scriere 20,333 333 333 333 333 333 55 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 02, 2026 [Februarie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Februarie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100