2 048,098 120 957 47 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2 048,098 120 957 47(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2 048,098 120 957 47(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2 048.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 048 : 2 = 1 024 + 0;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2 048(10) =

1000 0000 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,098 120 957 47.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,098 120 957 47 × 2 = 0 + 0,196 241 914 94;
  • 2) 0,196 241 914 94 × 2 = 0 + 0,392 483 829 88;
  • 3) 0,392 483 829 88 × 2 = 0 + 0,784 967 659 76;
  • 4) 0,784 967 659 76 × 2 = 1 + 0,569 935 319 52;
  • 5) 0,569 935 319 52 × 2 = 1 + 0,139 870 639 04;
  • 6) 0,139 870 639 04 × 2 = 0 + 0,279 741 278 08;
  • 7) 0,279 741 278 08 × 2 = 0 + 0,559 482 556 16;
  • 8) 0,559 482 556 16 × 2 = 1 + 0,118 965 112 32;
  • 9) 0,118 965 112 32 × 2 = 0 + 0,237 930 224 64;
  • 10) 0,237 930 224 64 × 2 = 0 + 0,475 860 449 28;
  • 11) 0,475 860 449 28 × 2 = 0 + 0,951 720 898 56;
  • 12) 0,951 720 898 56 × 2 = 1 + 0,903 441 797 12;
  • 13) 0,903 441 797 12 × 2 = 1 + 0,806 883 594 24;
  • 14) 0,806 883 594 24 × 2 = 1 + 0,613 767 188 48;
  • 15) 0,613 767 188 48 × 2 = 1 + 0,227 534 376 96;
  • 16) 0,227 534 376 96 × 2 = 0 + 0,455 068 753 92;
  • 17) 0,455 068 753 92 × 2 = 0 + 0,910 137 507 84;
  • 18) 0,910 137 507 84 × 2 = 1 + 0,820 275 015 68;
  • 19) 0,820 275 015 68 × 2 = 1 + 0,640 550 031 36;
  • 20) 0,640 550 031 36 × 2 = 1 + 0,281 100 062 72;
  • 21) 0,281 100 062 72 × 2 = 0 + 0,562 200 125 44;
  • 22) 0,562 200 125 44 × 2 = 1 + 0,124 400 250 88;
  • 23) 0,124 400 250 88 × 2 = 0 + 0,248 800 501 76;
  • 24) 0,248 800 501 76 × 2 = 0 + 0,497 601 003 52;
  • 25) 0,497 601 003 52 × 2 = 0 + 0,995 202 007 04;
  • 26) 0,995 202 007 04 × 2 = 1 + 0,990 404 014 08;
  • 27) 0,990 404 014 08 × 2 = 1 + 0,980 808 028 16;
  • 28) 0,980 808 028 16 × 2 = 1 + 0,961 616 056 32;
  • 29) 0,961 616 056 32 × 2 = 1 + 0,923 232 112 64;
  • 30) 0,923 232 112 64 × 2 = 1 + 0,846 464 225 28;
  • 31) 0,846 464 225 28 × 2 = 1 + 0,692 928 450 56;
  • 32) 0,692 928 450 56 × 2 = 1 + 0,385 856 901 12;
  • 33) 0,385 856 901 12 × 2 = 0 + 0,771 713 802 24;
  • 34) 0,771 713 802 24 × 2 = 1 + 0,543 427 604 48;
  • 35) 0,543 427 604 48 × 2 = 1 + 0,086 855 208 96;
  • 36) 0,086 855 208 96 × 2 = 0 + 0,173 710 417 92;
  • 37) 0,173 710 417 92 × 2 = 0 + 0,347 420 835 84;
  • 38) 0,347 420 835 84 × 2 = 0 + 0,694 841 671 68;
  • 39) 0,694 841 671 68 × 2 = 1 + 0,389 683 343 36;
  • 40) 0,389 683 343 36 × 2 = 0 + 0,779 366 686 72;
  • 41) 0,779 366 686 72 × 2 = 1 + 0,558 733 373 44;
  • 42) 0,558 733 373 44 × 2 = 1 + 0,117 466 746 88;
  • 43) 0,117 466 746 88 × 2 = 0 + 0,234 933 493 76;
  • 44) 0,234 933 493 76 × 2 = 0 + 0,469 866 987 52;
  • 45) 0,469 866 987 52 × 2 = 0 + 0,939 733 975 04;
  • 46) 0,939 733 975 04 × 2 = 1 + 0,879 467 950 08;
  • 47) 0,879 467 950 08 × 2 = 1 + 0,758 935 900 16;
  • 48) 0,758 935 900 16 × 2 = 1 + 0,517 871 800 32;
  • 49) 0,517 871 800 32 × 2 = 1 + 0,035 743 600 64;
  • 50) 0,035 743 600 64 × 2 = 0 + 0,071 487 201 28;
  • 51) 0,071 487 201 28 × 2 = 0 + 0,142 974 402 56;
  • 52) 0,142 974 402 56 × 2 = 0 + 0,285 948 805 12;
  • 53) 0,285 948 805 12 × 2 = 0 + 0,571 897 610 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,098 120 957 47(10) =

0,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1111 0110 0010 1100 0111 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2 048,098 120 957 47(10) =

1000 0000 0000,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1111 0110 0010 1100 0111 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2 048,098 120 957 47(10) =

1000 0000 0000,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1111 0110 0010 1100 0111 1000 0(2) =

1000 0000 0000,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1111 0110 0010 1100 0111 1000 0(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 1110 1100 0101 1000 1111 0000(2) × 211


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 11

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 1110 1100 0101 1000 1111 0000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

11 + 2(11-1) - 1 =

(11 + 1 023)(10) =

1 034(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 034 : 2 = 517 + 0;
  • 517 : 2 = 258 + 1;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1034(10) =

100 0000 1010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 1110 1100 0101 1000 1111 0000 =

0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 1110 1100 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1010

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 1110 1100 0101


Numărul zecimal 2 048,098 120 957 47 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1010 - 0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 1110 1100 0101

Distribuie

» Scriere 2 048,098 120 956 52 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100