Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 32 913,337 166 009 107 022 5 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 32 913,337 166 009 107 022 5(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 32 913.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 32 913 : 2 = 16 456 + 1;
  • 16 456 : 2 = 8 228 + 0;
  • 8 228 : 2 = 4 114 + 0;
  • 4 114 : 2 = 2 057 + 0;
  • 2 057 : 2 = 1 028 + 1;
  • 1 028 : 2 = 514 + 0;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

32 913(10) =

1000 0000 1001 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,337 166 009 107 022 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,337 166 009 107 022 5 × 2 = 0 + 0,674 332 018 214 045;
  • 2) 0,674 332 018 214 045 × 2 = 1 + 0,348 664 036 428 09;
  • 3) 0,348 664 036 428 09 × 2 = 0 + 0,697 328 072 856 18;
  • 4) 0,697 328 072 856 18 × 2 = 1 + 0,394 656 145 712 36;
  • 5) 0,394 656 145 712 36 × 2 = 0 + 0,789 312 291 424 72;
  • 6) 0,789 312 291 424 72 × 2 = 1 + 0,578 624 582 849 44;
  • 7) 0,578 624 582 849 44 × 2 = 1 + 0,157 249 165 698 88;
  • 8) 0,157 249 165 698 88 × 2 = 0 + 0,314 498 331 397 76;
  • 9) 0,314 498 331 397 76 × 2 = 0 + 0,628 996 662 795 52;
  • 10) 0,628 996 662 795 52 × 2 = 1 + 0,257 993 325 591 04;
  • 11) 0,257 993 325 591 04 × 2 = 0 + 0,515 986 651 182 08;
  • 12) 0,515 986 651 182 08 × 2 = 1 + 0,031 973 302 364 16;
  • 13) 0,031 973 302 364 16 × 2 = 0 + 0,063 946 604 728 32;
  • 14) 0,063 946 604 728 32 × 2 = 0 + 0,127 893 209 456 64;
  • 15) 0,127 893 209 456 64 × 2 = 0 + 0,255 786 418 913 28;
  • 16) 0,255 786 418 913 28 × 2 = 0 + 0,511 572 837 826 56;
  • 17) 0,511 572 837 826 56 × 2 = 1 + 0,023 145 675 653 12;
  • 18) 0,023 145 675 653 12 × 2 = 0 + 0,046 291 351 306 24;
  • 19) 0,046 291 351 306 24 × 2 = 0 + 0,092 582 702 612 48;
  • 20) 0,092 582 702 612 48 × 2 = 0 + 0,185 165 405 224 96;
  • 21) 0,185 165 405 224 96 × 2 = 0 + 0,370 330 810 449 92;
  • 22) 0,370 330 810 449 92 × 2 = 0 + 0,740 661 620 899 84;
  • 23) 0,740 661 620 899 84 × 2 = 1 + 0,481 323 241 799 68;
  • 24) 0,481 323 241 799 68 × 2 = 0 + 0,962 646 483 599 36;
  • 25) 0,962 646 483 599 36 × 2 = 1 + 0,925 292 967 198 72;
  • 26) 0,925 292 967 198 72 × 2 = 1 + 0,850 585 934 397 44;
  • 27) 0,850 585 934 397 44 × 2 = 1 + 0,701 171 868 794 88;
  • 28) 0,701 171 868 794 88 × 2 = 1 + 0,402 343 737 589 76;
  • 29) 0,402 343 737 589 76 × 2 = 0 + 0,804 687 475 179 52;
  • 30) 0,804 687 475 179 52 × 2 = 1 + 0,609 374 950 359 04;
  • 31) 0,609 374 950 359 04 × 2 = 1 + 0,218 749 900 718 08;
  • 32) 0,218 749 900 718 08 × 2 = 0 + 0,437 499 801 436 16;
  • 33) 0,437 499 801 436 16 × 2 = 0 + 0,874 999 602 872 32;
  • 34) 0,874 999 602 872 32 × 2 = 1 + 0,749 999 205 744 64;
  • 35) 0,749 999 205 744 64 × 2 = 1 + 0,499 998 411 489 28;
  • 36) 0,499 998 411 489 28 × 2 = 0 + 0,999 996 822 978 56;
  • 37) 0,999 996 822 978 56 × 2 = 1 + 0,999 993 645 957 12;
  • 38) 0,999 993 645 957 12 × 2 = 1 + 0,999 987 291 914 24;
  • 39) 0,999 987 291 914 24 × 2 = 1 + 0,999 974 583 828 48;
  • 40) 0,999 974 583 828 48 × 2 = 1 + 0,999 949 167 656 96;
  • 41) 0,999 949 167 656 96 × 2 = 1 + 0,999 898 335 313 92;
  • 42) 0,999 898 335 313 92 × 2 = 1 + 0,999 796 670 627 84;
  • 43) 0,999 796 670 627 84 × 2 = 1 + 0,999 593 341 255 68;
  • 44) 0,999 593 341 255 68 × 2 = 1 + 0,999 186 682 511 36;
  • 45) 0,999 186 682 511 36 × 2 = 1 + 0,998 373 365 022 72;
  • 46) 0,998 373 365 022 72 × 2 = 1 + 0,996 746 730 045 44;
  • 47) 0,996 746 730 045 44 × 2 = 1 + 0,993 493 460 090 88;
  • 48) 0,993 493 460 090 88 × 2 = 1 + 0,986 986 920 181 76;
  • 49) 0,986 986 920 181 76 × 2 = 1 + 0,973 973 840 363 52;
  • 50) 0,973 973 840 363 52 × 2 = 1 + 0,947 947 680 727 04;
  • 51) 0,947 947 680 727 04 × 2 = 1 + 0,895 895 361 454 08;
  • 52) 0,895 895 361 454 08 × 2 = 1 + 0,791 790 722 908 16;
  • 53) 0,791 790 722 908 16 × 2 = 1 + 0,583 581 445 816 32;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,337 166 009 107 022 5(10) =

0,0101 0110 0101 0000 1000 0010 1111 0110 0110 1111 1111 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

32 913,337 166 009 107 022 5(10) =

1000 0000 1001 0001,0101 0110 0101 0000 1000 0010 1111 0110 0110 1111 1111 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


32 913,337 166 009 107 022 5(10) =

1000 0000 1001 0001,0101 0110 0101 0000 1000 0010 1111 0110 0110 1111 1111 1111 1111 1(2) =

1000 0000 1001 0001,0101 0110 0101 0000 1000 0010 1111 0110 0110 1111 1111 1111 1111 1(2) × 20 =

1,0000 0001 0010 0010 1010 1100 1010 0001 0000 0101 1110 1100 1101 1111 1111 1111 1111(2) × 215


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 15

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0001 0010 0010 1010 1100 1010 0001 0000 0101 1110 1100 1101 1111 1111 1111 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

15 + 2(11-1) - 1 =

(15 + 1 023)(10) =

1 038(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 038 : 2 = 519 + 0;
  • 519 : 2 = 259 + 1;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1038(10) =

100 0000 1110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0001 0010 0010 1010 1100 1010 0001 0000 0101 1110 1100 1101 1111 1111 1111 1111 =

0000 0001 0010 0010 1010 1100 1010 0001 0000 0101 1110 1100 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0001 0010 0010 1010 1100 1010 0001 0000 0101 1110 1100 1101


Numărul zecimal în baza zece 32 913,337 166 009 107 022 5 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1110 - 0000 0001 0010 0010 1010 1100 1010 0001 0000 0101 1110 1100 1101

» Numărul zecimal în baza zece 32 913,337 166 009 107 013 6 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2025 [Aprilie]: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule lunare efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

» [EN] This operation in English: Convert 32 913,337 166 009 107 022 5 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100