Numărul zecimal 54 646 464 651 621 364 547 convertit din baza zece în binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Cum să convertești numărul zecimal 54 646 464 651 621 364 547(10)
în
binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754
(1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 biți pentru mantisă)

1. Împarte numărul în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât egal cu zero:

  • împărțire = cât + rest;
  • 54 646 464 651 621 364 547 : 2 = 27 323 232 325 810 682 273 + 1;
  • 27 323 232 325 810 682 273 : 2 = 13 661 616 162 905 341 136 + 1;
  • 13 661 616 162 905 341 136 : 2 = 6 830 808 081 452 670 568 + 0;
  • 6 830 808 081 452 670 568 : 2 = 3 415 404 040 726 335 284 + 0;
  • 3 415 404 040 726 335 284 : 2 = 1 707 702 020 363 167 642 + 0;
  • 1 707 702 020 363 167 642 : 2 = 853 851 010 181 583 821 + 0;
  • 853 851 010 181 583 821 : 2 = 426 925 505 090 791 910 + 1;
  • 426 925 505 090 791 910 : 2 = 213 462 752 545 395 955 + 0;
  • 213 462 752 545 395 955 : 2 = 106 731 376 272 697 977 + 1;
  • 106 731 376 272 697 977 : 2 = 53 365 688 136 348 988 + 1;
  • 53 365 688 136 348 988 : 2 = 26 682 844 068 174 494 + 0;
  • 26 682 844 068 174 494 : 2 = 13 341 422 034 087 247 + 0;
  • 13 341 422 034 087 247 : 2 = 6 670 711 017 043 623 + 1;
  • 6 670 711 017 043 623 : 2 = 3 335 355 508 521 811 + 1;
  • 3 335 355 508 521 811 : 2 = 1 667 677 754 260 905 + 1;
  • 1 667 677 754 260 905 : 2 = 833 838 877 130 452 + 1;
  • 833 838 877 130 452 : 2 = 416 919 438 565 226 + 0;
  • 416 919 438 565 226 : 2 = 208 459 719 282 613 + 0;
  • 208 459 719 282 613 : 2 = 104 229 859 641 306 + 1;
  • 104 229 859 641 306 : 2 = 52 114 929 820 653 + 0;
  • 52 114 929 820 653 : 2 = 26 057 464 910 326 + 1;
  • 26 057 464 910 326 : 2 = 13 028 732 455 163 + 0;
  • 13 028 732 455 163 : 2 = 6 514 366 227 581 + 1;
  • 6 514 366 227 581 : 2 = 3 257 183 113 790 + 1;
  • 3 257 183 113 790 : 2 = 1 628 591 556 895 + 0;
  • 1 628 591 556 895 : 2 = 814 295 778 447 + 1;
  • 814 295 778 447 : 2 = 407 147 889 223 + 1;
  • 407 147 889 223 : 2 = 203 573 944 611 + 1;
  • 203 573 944 611 : 2 = 101 786 972 305 + 1;
  • 101 786 972 305 : 2 = 50 893 486 152 + 1;
  • 50 893 486 152 : 2 = 25 446 743 076 + 0;
  • 25 446 743 076 : 2 = 12 723 371 538 + 0;
  • 12 723 371 538 : 2 = 6 361 685 769 + 0;
  • 6 361 685 769 : 2 = 3 180 842 884 + 1;
  • 3 180 842 884 : 2 = 1 590 421 442 + 0;
  • 1 590 421 442 : 2 = 795 210 721 + 0;
  • 795 210 721 : 2 = 397 605 360 + 1;
  • 397 605 360 : 2 = 198 802 680 + 0;
  • 198 802 680 : 2 = 99 401 340 + 0;
  • 99 401 340 : 2 = 49 700 670 + 0;
  • 49 700 670 : 2 = 24 850 335 + 0;
  • 24 850 335 : 2 = 12 425 167 + 1;
  • 12 425 167 : 2 = 6 212 583 + 1;
  • 6 212 583 : 2 = 3 106 291 + 1;
  • 3 106 291 : 2 = 1 553 145 + 1;
  • 1 553 145 : 2 = 776 572 + 1;
  • 776 572 : 2 = 388 286 + 0;
  • 388 286 : 2 = 194 143 + 0;
  • 194 143 : 2 = 97 071 + 1;
  • 97 071 : 2 = 48 535 + 1;
  • 48 535 : 2 = 24 267 + 1;
  • 24 267 : 2 = 12 133 + 1;
  • 12 133 : 2 = 6 066 + 1;
  • 6 066 : 2 = 3 033 + 0;
  • 3 033 : 2 = 1 516 + 1;
  • 1 516 : 2 = 758 + 0;
  • 758 : 2 = 379 + 0;
  • 379 : 2 = 189 + 1;
  • 189 : 2 = 94 + 1;
  • 94 : 2 = 47 + 0;
  • 47 : 2 = 23 + 1;
  • 23 : 2 = 11 + 1;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

54 646 464 651 621 364 547(10) =


10 1111 0110 0101 1111 0011 1110 0001 0010 0011 1110 1101 0100 1111 0011 0100 0011(2)

3. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 65 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:

54 646 464 651 621 364 547(10) =


10 1111 0110 0101 1111 0011 1110 0001 0010 0011 1110 1101 0100 1111 0011 0100 0011(2) =


10 1111 0110 0101 1111 0011 1110 0001 0010 0011 1110 1101 0100 1111 0011 0100 0011(2) × 20 =


1,0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111 1001 1010 0001 1(2) × 265

Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn: 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): 65


Mantisă (nenormalizată): 1,0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111 1001 1010 0001 1

4. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind din nou tehnica împărțirii repetate la 2:

Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


65 + 2(11-1) - 1 =


(65 + 1 023)(10) =


1 088(10)


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 088 : 2 = 544 + 0;
  • 544 : 2 = 272 + 0;
  • 272 : 2 = 136 + 0;
  • 136 : 2 = 68 + 0;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

Exponent (ajustat) =


1088(10) =


100 0100 0000(2)

5. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna 1 (și la separatorul zecimal, dacă e cazul) apoi ajustează-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...):

Mantisă (normalizată) =


1. 0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111 1 0011 0100 0011 =


0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111

Concluzia:

Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
100 0100 0000


Mantisă (52 biți) =
0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111

Numărul 54 646 464 651 621 364 547, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10)
în
binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:


0 - 100 0100 0000 - 0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111

(64 biți IEEE 754)
  • Semn (1 bit):

    • 0

      63
  • Exponent (11 biți):

    • 1

      62
    • 0

      61
    • 0

      60
    • 0

      59
    • 1

      58
    • 0

      57
    • 0

      56
    • 0

      55
    • 0

      54
    • 0

      53
    • 0

      52
  • Mantisă (52 biți):

    • 0

      51
    • 1

      50
    • 1

      49
    • 1

      48
    • 1

      47
    • 0

      46
    • 1

      45
    • 1

      44
    • 0

      43
    • 0

      42
    • 1

      41
    • 0

      40
    • 1

      39
    • 1

      38
    • 1

      37
    • 1

      36
    • 1

      35
    • 0

      34
    • 0

      33
    • 1

      32
    • 1

      31
    • 1

      30
    • 1

      29
    • 1

      28
    • 0

      27
    • 0

      26
    • 0

      25
    • 0

      24
    • 1

      23
    • 0

      22
    • 0

      21
    • 1

      20
    • 0

      19
    • 0

      18
    • 0

      17
    • 1

      16
    • 1

      15
    • 1

      14
    • 1

      13
    • 1

      12
    • 0

      11
    • 1

      10
    • 1

      9
    • 0

      8
    • 1

      7
    • 0

      6
    • 1

      5
    • 0

      4
    • 0

      3
    • 1

      2
    • 1

      1
    • 1

      0

Convertește numere zecimale din baza zece în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

Un număr în reprezentarea în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 e format din trei elemente: semn (ocupă 1 bit, e fie 0 pentru numere pozitive, fie 1 pentru numere negative), exponent (ocupă 11 biți), mantisă (52 biți)

Ultimele numere zecimale convertite din baza zece în sistem binar în reprezentare pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

54 646 464 651 621 364 547 = 0 - 100 0100 0000 - 0111 1011 0010 1111 1001 1111 0000 1001 0001 1111 0110 1010 0111 24 feb, 07:12 EET (UTC +2)
0,001 23 = 0 - 011 1111 0101 - 0100 0010 0110 1111 1110 0111 0001 1000 1010 1000 0110 1101 0111 24 feb, 07:12 EET (UTC +2)
0,333 333 333 3 = 0 - 011 1111 1101 - 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1100 0010 1011 1011 0101 24 feb, 07:11 EET (UTC +2)
355 = 0 - 100 0000 0111 - 0110 0011 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 24 feb, 07:11 EET (UTC +2)
42 330 = 0 - 100 0000 1110 - 0100 1010 1011 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 24 feb, 07:11 EET (UTC +2)
13 781 290,158 489 992 842 078 208 923 339 843 75 = 0 - 100 0001 0110 - 1010 0100 1001 0010 0101 0100 0101 0001 0010 0101 1001 1001 1011 24 feb, 07:10 EET (UTC +2)
3,000 000 05 = 0 - 100 0000 0000 - 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0110 1011 0101 1111 1100 1010 0110 24 feb, 07:10 EET (UTC +2)
-170,207 = 1 - 100 0000 0110 - 0101 0100 0110 1001 1111 1011 1110 0111 0110 1100 1000 1011 0100 24 feb, 07:09 EET (UTC +2)
-1 200,94 = 1 - 100 0000 1001 - 0010 1100 0011 1100 0010 1000 1111 0101 1100 0010 1000 1111 0101 24 feb, 07:09 EET (UTC +2)
1,5 = 0 - 011 1111 1111 - 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 24 feb, 07:08 EET (UTC +2)
160,207 015 = 0 - 100 0000 0110 - 0100 0000 0110 1001 1111 1101 1101 1110 1011 1101 1001 0000 0001 24 feb, 07:08 EET (UTC +2)
54,23 = 0 - 100 0000 0100 - 1011 0001 1101 0111 0000 1010 0011 1101 0111 0000 1010 0011 1101 24 feb, 07:07 EET (UTC +2)
0,000 000 178 571 428 571 428 571 428 571 428 571 43 = 0 - 011 1110 1000 - 0111 1111 0111 1010 1010 1110 0101 1001 0110 0010 1110 1100 1001 24 feb, 07:06 EET (UTC +2)
Toate numerele zecimale convertite din sistem zecimal (baza zece) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:


    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100