77 777 777,777 777 786 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 77 777 777,777 777 786 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
77 777 777,777 777 786 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 77 777 777.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 77 777 777 : 2 = 38 888 888 + 1;
  • 38 888 888 : 2 = 19 444 444 + 0;
  • 19 444 444 : 2 = 9 722 222 + 0;
  • 9 722 222 : 2 = 4 861 111 + 0;
  • 4 861 111 : 2 = 2 430 555 + 1;
  • 2 430 555 : 2 = 1 215 277 + 1;
  • 1 215 277 : 2 = 607 638 + 1;
  • 607 638 : 2 = 303 819 + 0;
  • 303 819 : 2 = 151 909 + 1;
  • 151 909 : 2 = 75 954 + 1;
  • 75 954 : 2 = 37 977 + 0;
  • 37 977 : 2 = 18 988 + 1;
  • 18 988 : 2 = 9 494 + 0;
  • 9 494 : 2 = 4 747 + 0;
  • 4 747 : 2 = 2 373 + 1;
  • 2 373 : 2 = 1 186 + 1;
  • 1 186 : 2 = 593 + 0;
  • 593 : 2 = 296 + 1;
  • 296 : 2 = 148 + 0;
  • 148 : 2 = 74 + 0;
  • 74 : 2 = 37 + 0;
  • 37 : 2 = 18 + 1;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

77 777 777(10) =

100 1010 0010 1100 1011 0111 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,777 777 786 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,777 777 786 1 × 2 = 1 + 0,555 555 572 2;
  • 2) 0,555 555 572 2 × 2 = 1 + 0,111 111 144 4;
  • 3) 0,111 111 144 4 × 2 = 0 + 0,222 222 288 8;
  • 4) 0,222 222 288 8 × 2 = 0 + 0,444 444 577 6;
  • 5) 0,444 444 577 6 × 2 = 0 + 0,888 889 155 2;
  • 6) 0,888 889 155 2 × 2 = 1 + 0,777 778 310 4;
  • 7) 0,777 778 310 4 × 2 = 1 + 0,555 556 620 8;
  • 8) 0,555 556 620 8 × 2 = 1 + 0,111 113 241 6;
  • 9) 0,111 113 241 6 × 2 = 0 + 0,222 226 483 2;
  • 10) 0,222 226 483 2 × 2 = 0 + 0,444 452 966 4;
  • 11) 0,444 452 966 4 × 2 = 0 + 0,888 905 932 8;
  • 12) 0,888 905 932 8 × 2 = 1 + 0,777 811 865 6;
  • 13) 0,777 811 865 6 × 2 = 1 + 0,555 623 731 2;
  • 14) 0,555 623 731 2 × 2 = 1 + 0,111 247 462 4;
  • 15) 0,111 247 462 4 × 2 = 0 + 0,222 494 924 8;
  • 16) 0,222 494 924 8 × 2 = 0 + 0,444 989 849 6;
  • 17) 0,444 989 849 6 × 2 = 0 + 0,889 979 699 2;
  • 18) 0,889 979 699 2 × 2 = 1 + 0,779 959 398 4;
  • 19) 0,779 959 398 4 × 2 = 1 + 0,559 918 796 8;
  • 20) 0,559 918 796 8 × 2 = 1 + 0,119 837 593 6;
  • 21) 0,119 837 593 6 × 2 = 0 + 0,239 675 187 2;
  • 22) 0,239 675 187 2 × 2 = 0 + 0,479 350 374 4;
  • 23) 0,479 350 374 4 × 2 = 0 + 0,958 700 748 8;
  • 24) 0,958 700 748 8 × 2 = 1 + 0,917 401 497 6;
  • 25) 0,917 401 497 6 × 2 = 1 + 0,834 802 995 2;
  • 26) 0,834 802 995 2 × 2 = 1 + 0,669 605 990 4;
  • 27) 0,669 605 990 4 × 2 = 1 + 0,339 211 980 8;
  • 28) 0,339 211 980 8 × 2 = 0 + 0,678 423 961 6;
  • 29) 0,678 423 961 6 × 2 = 1 + 0,356 847 923 2;
  • 30) 0,356 847 923 2 × 2 = 0 + 0,713 695 846 4;
  • 31) 0,713 695 846 4 × 2 = 1 + 0,427 391 692 8;
  • 32) 0,427 391 692 8 × 2 = 0 + 0,854 783 385 6;
  • 33) 0,854 783 385 6 × 2 = 1 + 0,709 566 771 2;
  • 34) 0,709 566 771 2 × 2 = 1 + 0,419 133 542 4;
  • 35) 0,419 133 542 4 × 2 = 0 + 0,838 267 084 8;
  • 36) 0,838 267 084 8 × 2 = 1 + 0,676 534 169 6;
  • 37) 0,676 534 169 6 × 2 = 1 + 0,353 068 339 2;
  • 38) 0,353 068 339 2 × 2 = 0 + 0,706 136 678 4;
  • 39) 0,706 136 678 4 × 2 = 1 + 0,412 273 356 8;
  • 40) 0,412 273 356 8 × 2 = 0 + 0,824 546 713 6;
  • 41) 0,824 546 713 6 × 2 = 1 + 0,649 093 427 2;
  • 42) 0,649 093 427 2 × 2 = 1 + 0,298 186 854 4;
  • 43) 0,298 186 854 4 × 2 = 0 + 0,596 373 708 8;
  • 44) 0,596 373 708 8 × 2 = 1 + 0,192 747 417 6;
  • 45) 0,192 747 417 6 × 2 = 0 + 0,385 494 835 2;
  • 46) 0,385 494 835 2 × 2 = 0 + 0,770 989 670 4;
  • 47) 0,770 989 670 4 × 2 = 1 + 0,541 979 340 8;
  • 48) 0,541 979 340 8 × 2 = 1 + 0,083 958 681 6;
  • 49) 0,083 958 681 6 × 2 = 0 + 0,167 917 363 2;
  • 50) 0,167 917 363 2 × 2 = 0 + 0,335 834 726 4;
  • 51) 0,335 834 726 4 × 2 = 0 + 0,671 669 452 8;
  • 52) 0,671 669 452 8 × 2 = 1 + 0,343 338 905 6;
  • 53) 0,343 338 905 6 × 2 = 0 + 0,686 677 811 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,777 777 786 1(10) =

0,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1010 1101 1010 1101 0011 0001 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

77 777 777,777 777 786 1(10) =

100 1010 0010 1100 1011 0111 0001,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1010 1101 1010 1101 0011 0001 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 26 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


77 777 777,777 777 786 1(10) =

100 1010 0010 1100 1011 0111 0001,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1010 1101 1010 1101 0011 0001 0(2) =

100 1010 0010 1100 1011 0111 0001,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1010 1101 1010 1101 0011 0001 0(2) × 20 =

1,0010 1000 1011 0010 1101 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 1010 1011 0110 1011 0100 1100 010(2) × 226


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 26

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1000 1011 0010 1101 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 1010 1011 0110 1011 0100 1100 010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

26 + 2(11-1) - 1 =

(26 + 1 023)(10) =

1 049(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 049 : 2 = 524 + 1;
  • 524 : 2 = 262 + 0;
  • 262 : 2 = 131 + 0;
  • 131 : 2 = 65 + 1;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1049(10) =

100 0001 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1000 1011 0010 1101 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 101 0101 1011 0101 1010 0110 0010 =

0010 1000 1011 0010 1101 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 1001

Mantisă (52 biți) =
0010 1000 1011 0010 1101 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111


Numărul zecimal 77 777 777,777 777 786 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 1001 - 0010 1000 1011 0010 1101 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111

Distribuie

» Scriere 77 777 777,777 777 776 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100