Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 87,549 999 999 999 974 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 87,549 999 999 999 974(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 87.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 87 : 2 = 43 + 1;
  • 43 : 2 = 21 + 1;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

87(10) =

101 0111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,549 999 999 999 974.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,549 999 999 999 974 × 2 = 1 + 0,099 999 999 999 948;
  • 2) 0,099 999 999 999 948 × 2 = 0 + 0,199 999 999 999 896;
  • 3) 0,199 999 999 999 896 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 792;
  • 4) 0,399 999 999 999 792 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 584;
  • 5) 0,799 999 999 999 584 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 168;
  • 6) 0,599 999 999 999 168 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 336;
  • 7) 0,199 999 999 998 336 × 2 = 0 + 0,399 999 999 996 672;
  • 8) 0,399 999 999 996 672 × 2 = 0 + 0,799 999 999 993 344;
  • 9) 0,799 999 999 993 344 × 2 = 1 + 0,599 999 999 986 688;
  • 10) 0,599 999 999 986 688 × 2 = 1 + 0,199 999 999 973 376;
  • 11) 0,199 999 999 973 376 × 2 = 0 + 0,399 999 999 946 752;
  • 12) 0,399 999 999 946 752 × 2 = 0 + 0,799 999 999 893 504;
  • 13) 0,799 999 999 893 504 × 2 = 1 + 0,599 999 999 787 008;
  • 14) 0,599 999 999 787 008 × 2 = 1 + 0,199 999 999 574 016;
  • 15) 0,199 999 999 574 016 × 2 = 0 + 0,399 999 999 148 032;
  • 16) 0,399 999 999 148 032 × 2 = 0 + 0,799 999 998 296 064;
  • 17) 0,799 999 998 296 064 × 2 = 1 + 0,599 999 996 592 128;
  • 18) 0,599 999 996 592 128 × 2 = 1 + 0,199 999 993 184 256;
  • 19) 0,199 999 993 184 256 × 2 = 0 + 0,399 999 986 368 512;
  • 20) 0,399 999 986 368 512 × 2 = 0 + 0,799 999 972 737 024;
  • 21) 0,799 999 972 737 024 × 2 = 1 + 0,599 999 945 474 048;
  • 22) 0,599 999 945 474 048 × 2 = 1 + 0,199 999 890 948 096;
  • 23) 0,199 999 890 948 096 × 2 = 0 + 0,399 999 781 896 192;
  • 24) 0,399 999 781 896 192 × 2 = 0 + 0,799 999 563 792 384;
  • 25) 0,799 999 563 792 384 × 2 = 1 + 0,599 999 127 584 768;
  • 26) 0,599 999 127 584 768 × 2 = 1 + 0,199 998 255 169 536;
  • 27) 0,199 998 255 169 536 × 2 = 0 + 0,399 996 510 339 072;
  • 28) 0,399 996 510 339 072 × 2 = 0 + 0,799 993 020 678 144;
  • 29) 0,799 993 020 678 144 × 2 = 1 + 0,599 986 041 356 288;
  • 30) 0,599 986 041 356 288 × 2 = 1 + 0,199 972 082 712 576;
  • 31) 0,199 972 082 712 576 × 2 = 0 + 0,399 944 165 425 152;
  • 32) 0,399 944 165 425 152 × 2 = 0 + 0,799 888 330 850 304;
  • 33) 0,799 888 330 850 304 × 2 = 1 + 0,599 776 661 700 608;
  • 34) 0,599 776 661 700 608 × 2 = 1 + 0,199 553 323 401 216;
  • 35) 0,199 553 323 401 216 × 2 = 0 + 0,399 106 646 802 432;
  • 36) 0,399 106 646 802 432 × 2 = 0 + 0,798 213 293 604 864;
  • 37) 0,798 213 293 604 864 × 2 = 1 + 0,596 426 587 209 728;
  • 38) 0,596 426 587 209 728 × 2 = 1 + 0,192 853 174 419 456;
  • 39) 0,192 853 174 419 456 × 2 = 0 + 0,385 706 348 838 912;
  • 40) 0,385 706 348 838 912 × 2 = 0 + 0,771 412 697 677 824;
  • 41) 0,771 412 697 677 824 × 2 = 1 + 0,542 825 395 355 648;
  • 42) 0,542 825 395 355 648 × 2 = 1 + 0,085 650 790 711 296;
  • 43) 0,085 650 790 711 296 × 2 = 0 + 0,171 301 581 422 592;
  • 44) 0,171 301 581 422 592 × 2 = 0 + 0,342 603 162 845 184;
  • 45) 0,342 603 162 845 184 × 2 = 0 + 0,685 206 325 690 368;
  • 46) 0,685 206 325 690 368 × 2 = 1 + 0,370 412 651 380 736;
  • 47) 0,370 412 651 380 736 × 2 = 0 + 0,740 825 302 761 472;
  • 48) 0,740 825 302 761 472 × 2 = 1 + 0,481 650 605 522 944;
  • 49) 0,481 650 605 522 944 × 2 = 0 + 0,963 301 211 045 888;
  • 50) 0,963 301 211 045 888 × 2 = 1 + 0,926 602 422 091 776;
  • 51) 0,926 602 422 091 776 × 2 = 1 + 0,853 204 844 183 552;
  • 52) 0,853 204 844 183 552 × 2 = 1 + 0,706 409 688 367 104;
  • 53) 0,706 409 688 367 104 × 2 = 1 + 0,412 819 376 734 208;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,549 999 999 999 974(10) =

0,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0101 0111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

87,549 999 999 999 974(10) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0101 0111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


87,549 999 999 999 974(10) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0101 0111 1(2) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 0101 0111 1(2) × 20 =

1,0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0001 0101 111(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0001 0101 111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0001 010 1111 =

0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0001


Numărul zecimal în baza zece 87,549 999 999 999 974 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0001

» Numărul zecimal în baza zece 87,550 000 000 000 056 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 12, 2024 [Decembrie]: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule lunare efectuate pe parcursul lunii: Decembrie - de vizitatorii noștri

» [EN] This operation in English: Convert 87,549 999 999 999 974 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100