Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 87,549 999 999 999 999 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 87,549 999 999 999 999(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 87.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 87 : 2 = 43 + 1;
  • 43 : 2 = 21 + 1;
  • 21 : 2 = 10 + 1;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

87(10) =

101 0111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,549 999 999 999 999.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,549 999 999 999 999 × 2 = 1 + 0,099 999 999 999 998;
  • 2) 0,099 999 999 999 998 × 2 = 0 + 0,199 999 999 999 996;
  • 3) 0,199 999 999 999 996 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 992;
  • 4) 0,399 999 999 999 992 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 984;
  • 5) 0,799 999 999 999 984 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 968;
  • 6) 0,599 999 999 999 968 × 2 = 1 + 0,199 999 999 999 936;
  • 7) 0,199 999 999 999 936 × 2 = 0 + 0,399 999 999 999 872;
  • 8) 0,399 999 999 999 872 × 2 = 0 + 0,799 999 999 999 744;
  • 9) 0,799 999 999 999 744 × 2 = 1 + 0,599 999 999 999 488;
  • 10) 0,599 999 999 999 488 × 2 = 1 + 0,199 999 999 998 976;
  • 11) 0,199 999 999 998 976 × 2 = 0 + 0,399 999 999 997 952;
  • 12) 0,399 999 999 997 952 × 2 = 0 + 0,799 999 999 995 904;
  • 13) 0,799 999 999 995 904 × 2 = 1 + 0,599 999 999 991 808;
  • 14) 0,599 999 999 991 808 × 2 = 1 + 0,199 999 999 983 616;
  • 15) 0,199 999 999 983 616 × 2 = 0 + 0,399 999 999 967 232;
  • 16) 0,399 999 999 967 232 × 2 = 0 + 0,799 999 999 934 464;
  • 17) 0,799 999 999 934 464 × 2 = 1 + 0,599 999 999 868 928;
  • 18) 0,599 999 999 868 928 × 2 = 1 + 0,199 999 999 737 856;
  • 19) 0,199 999 999 737 856 × 2 = 0 + 0,399 999 999 475 712;
  • 20) 0,399 999 999 475 712 × 2 = 0 + 0,799 999 998 951 424;
  • 21) 0,799 999 998 951 424 × 2 = 1 + 0,599 999 997 902 848;
  • 22) 0,599 999 997 902 848 × 2 = 1 + 0,199 999 995 805 696;
  • 23) 0,199 999 995 805 696 × 2 = 0 + 0,399 999 991 611 392;
  • 24) 0,399 999 991 611 392 × 2 = 0 + 0,799 999 983 222 784;
  • 25) 0,799 999 983 222 784 × 2 = 1 + 0,599 999 966 445 568;
  • 26) 0,599 999 966 445 568 × 2 = 1 + 0,199 999 932 891 136;
  • 27) 0,199 999 932 891 136 × 2 = 0 + 0,399 999 865 782 272;
  • 28) 0,399 999 865 782 272 × 2 = 0 + 0,799 999 731 564 544;
  • 29) 0,799 999 731 564 544 × 2 = 1 + 0,599 999 463 129 088;
  • 30) 0,599 999 463 129 088 × 2 = 1 + 0,199 998 926 258 176;
  • 31) 0,199 998 926 258 176 × 2 = 0 + 0,399 997 852 516 352;
  • 32) 0,399 997 852 516 352 × 2 = 0 + 0,799 995 705 032 704;
  • 33) 0,799 995 705 032 704 × 2 = 1 + 0,599 991 410 065 408;
  • 34) 0,599 991 410 065 408 × 2 = 1 + 0,199 982 820 130 816;
  • 35) 0,199 982 820 130 816 × 2 = 0 + 0,399 965 640 261 632;
  • 36) 0,399 965 640 261 632 × 2 = 0 + 0,799 931 280 523 264;
  • 37) 0,799 931 280 523 264 × 2 = 1 + 0,599 862 561 046 528;
  • 38) 0,599 862 561 046 528 × 2 = 1 + 0,199 725 122 093 056;
  • 39) 0,199 725 122 093 056 × 2 = 0 + 0,399 450 244 186 112;
  • 40) 0,399 450 244 186 112 × 2 = 0 + 0,798 900 488 372 224;
  • 41) 0,798 900 488 372 224 × 2 = 1 + 0,597 800 976 744 448;
  • 42) 0,597 800 976 744 448 × 2 = 1 + 0,195 601 953 488 896;
  • 43) 0,195 601 953 488 896 × 2 = 0 + 0,391 203 906 977 792;
  • 44) 0,391 203 906 977 792 × 2 = 0 + 0,782 407 813 955 584;
  • 45) 0,782 407 813 955 584 × 2 = 1 + 0,564 815 627 911 168;
  • 46) 0,564 815 627 911 168 × 2 = 1 + 0,129 631 255 822 336;
  • 47) 0,129 631 255 822 336 × 2 = 0 + 0,259 262 511 644 672;
  • 48) 0,259 262 511 644 672 × 2 = 0 + 0,518 525 023 289 344;
  • 49) 0,518 525 023 289 344 × 2 = 1 + 0,037 050 046 578 688;
  • 50) 0,037 050 046 578 688 × 2 = 0 + 0,074 100 093 157 376;
  • 51) 0,074 100 093 157 376 × 2 = 0 + 0,148 200 186 314 752;
  • 52) 0,148 200 186 314 752 × 2 = 0 + 0,296 400 372 629 504;
  • 53) 0,296 400 372 629 504 × 2 = 0 + 0,592 800 745 259 008;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,549 999 999 999 999(10) =

0,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

87,549 999 999 999 999(10) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


87,549 999 999 999 999(10) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1000 0(2) =

101 0111,1000 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1000 0(2) × 20 =

1,0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 000(2) × 26


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 6

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0010 000


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

6 + 2(11-1) - 1 =

(6 + 1 023)(10) =

1 029(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 029 : 2 = 514 + 1;
  • 514 : 2 = 257 + 0;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1029(10) =

100 0000 0101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 001 0000 =

0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0101

Mantisă (52 biți) =
0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011


Numărul zecimal în baza zece 87,549 999 999 999 999 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0101 - 0101 1110 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011 0011

» Numărul zecimal în baza zece 87,549 999 999 999 995 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2025 [Aprilie]: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule lunare efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

» [EN] This operation in English: Convert 87,549 999 999 999 999 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100