Din zecimal în binar pe 64 biți IEEE 754: Transformă numărul 8 800,883 411 961 509 410 6 în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din sistem zecimal (baza zece)

Numărul 8 800,883 411 961 509 410 6(10) convertit și scris în binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 8 800.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 8 800 : 2 = 4 400 + 0;
  • 4 400 : 2 = 2 200 + 0;
  • 2 200 : 2 = 1 100 + 0;
  • 1 100 : 2 = 550 + 0;
  • 550 : 2 = 275 + 0;
  • 275 : 2 = 137 + 1;
  • 137 : 2 = 68 + 1;
  • 68 : 2 = 34 + 0;
  • 34 : 2 = 17 + 0;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

8 800(10) =

10 0010 0110 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,883 411 961 509 410 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,883 411 961 509 410 6 × 2 = 1 + 0,766 823 923 018 821 2;
  • 2) 0,766 823 923 018 821 2 × 2 = 1 + 0,533 647 846 037 642 4;
  • 3) 0,533 647 846 037 642 4 × 2 = 1 + 0,067 295 692 075 284 8;
  • 4) 0,067 295 692 075 284 8 × 2 = 0 + 0,134 591 384 150 569 6;
  • 5) 0,134 591 384 150 569 6 × 2 = 0 + 0,269 182 768 301 139 2;
  • 6) 0,269 182 768 301 139 2 × 2 = 0 + 0,538 365 536 602 278 4;
  • 7) 0,538 365 536 602 278 4 × 2 = 1 + 0,076 731 073 204 556 8;
  • 8) 0,076 731 073 204 556 8 × 2 = 0 + 0,153 462 146 409 113 6;
  • 9) 0,153 462 146 409 113 6 × 2 = 0 + 0,306 924 292 818 227 2;
  • 10) 0,306 924 292 818 227 2 × 2 = 0 + 0,613 848 585 636 454 4;
  • 11) 0,613 848 585 636 454 4 × 2 = 1 + 0,227 697 171 272 908 8;
  • 12) 0,227 697 171 272 908 8 × 2 = 0 + 0,455 394 342 545 817 6;
  • 13) 0,455 394 342 545 817 6 × 2 = 0 + 0,910 788 685 091 635 2;
  • 14) 0,910 788 685 091 635 2 × 2 = 1 + 0,821 577 370 183 270 4;
  • 15) 0,821 577 370 183 270 4 × 2 = 1 + 0,643 154 740 366 540 8;
  • 16) 0,643 154 740 366 540 8 × 2 = 1 + 0,286 309 480 733 081 6;
  • 17) 0,286 309 480 733 081 6 × 2 = 0 + 0,572 618 961 466 163 2;
  • 18) 0,572 618 961 466 163 2 × 2 = 1 + 0,145 237 922 932 326 4;
  • 19) 0,145 237 922 932 326 4 × 2 = 0 + 0,290 475 845 864 652 8;
  • 20) 0,290 475 845 864 652 8 × 2 = 0 + 0,580 951 691 729 305 6;
  • 21) 0,580 951 691 729 305 6 × 2 = 1 + 0,161 903 383 458 611 2;
  • 22) 0,161 903 383 458 611 2 × 2 = 0 + 0,323 806 766 917 222 4;
  • 23) 0,323 806 766 917 222 4 × 2 = 0 + 0,647 613 533 834 444 8;
  • 24) 0,647 613 533 834 444 8 × 2 = 1 + 0,295 227 067 668 889 6;
  • 25) 0,295 227 067 668 889 6 × 2 = 0 + 0,590 454 135 337 779 2;
  • 26) 0,590 454 135 337 779 2 × 2 = 1 + 0,180 908 270 675 558 4;
  • 27) 0,180 908 270 675 558 4 × 2 = 0 + 0,361 816 541 351 116 8;
  • 28) 0,361 816 541 351 116 8 × 2 = 0 + 0,723 633 082 702 233 6;
  • 29) 0,723 633 082 702 233 6 × 2 = 1 + 0,447 266 165 404 467 2;
  • 30) 0,447 266 165 404 467 2 × 2 = 0 + 0,894 532 330 808 934 4;
  • 31) 0,894 532 330 808 934 4 × 2 = 1 + 0,789 064 661 617 868 8;
  • 32) 0,789 064 661 617 868 8 × 2 = 1 + 0,578 129 323 235 737 6;
  • 33) 0,578 129 323 235 737 6 × 2 = 1 + 0,156 258 646 471 475 2;
  • 34) 0,156 258 646 471 475 2 × 2 = 0 + 0,312 517 292 942 950 4;
  • 35) 0,312 517 292 942 950 4 × 2 = 0 + 0,625 034 585 885 900 8;
  • 36) 0,625 034 585 885 900 8 × 2 = 1 + 0,250 069 171 771 801 6;
  • 37) 0,250 069 171 771 801 6 × 2 = 0 + 0,500 138 343 543 603 2;
  • 38) 0,500 138 343 543 603 2 × 2 = 1 + 0,000 276 687 087 206 4;
  • 39) 0,000 276 687 087 206 4 × 2 = 0 + 0,000 553 374 174 412 8;
  • 40) 0,000 553 374 174 412 8 × 2 = 0 + 0,001 106 748 348 825 6;
  • 41) 0,001 106 748 348 825 6 × 2 = 0 + 0,002 213 496 697 651 2;
  • 42) 0,002 213 496 697 651 2 × 2 = 0 + 0,004 426 993 395 302 4;
  • 43) 0,004 426 993 395 302 4 × 2 = 0 + 0,008 853 986 790 604 8;
  • 44) 0,008 853 986 790 604 8 × 2 = 0 + 0,017 707 973 581 209 6;
  • 45) 0,017 707 973 581 209 6 × 2 = 0 + 0,035 415 947 162 419 2;
  • 46) 0,035 415 947 162 419 2 × 2 = 0 + 0,070 831 894 324 838 4;
  • 47) 0,070 831 894 324 838 4 × 2 = 0 + 0,141 663 788 649 676 8;
  • 48) 0,141 663 788 649 676 8 × 2 = 0 + 0,283 327 577 299 353 6;
  • 49) 0,283 327 577 299 353 6 × 2 = 0 + 0,566 655 154 598 707 2;
  • 50) 0,566 655 154 598 707 2 × 2 = 1 + 0,133 310 309 197 414 4;
  • 51) 0,133 310 309 197 414 4 × 2 = 0 + 0,266 620 618 394 828 8;
  • 52) 0,266 620 618 394 828 8 × 2 = 0 + 0,533 241 236 789 657 6;
  • 53) 0,533 241 236 789 657 6 × 2 = 1 + 0,066 482 473 579 315 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,883 411 961 509 410 6(10) =

0,1110 0010 0010 0111 0100 1001 0100 1011 1001 0100 0000 0000 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

8 800,883 411 961 509 410 6(10) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1001 0100 1011 1001 0100 0000 0000 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


8 800,883 411 961 509 410 6(10) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1001 0100 1011 1001 0100 0000 0000 0100 1(2) =

10 0010 0110 0000,1110 0010 0010 0111 0100 1001 0100 1011 1001 0100 0000 0000 0100 1(2) × 20 =

1,0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 1010 0101 1100 1010 0000 0000 0010 01(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 1010 0101 1100 1010 0000 0000 0010 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 1010 0101 1100 1010 00 0000 0000 1001 =

0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 1010 0101 1100 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 1010 0101 1100 1010


Numărul zecimal în baza zece 8 800,883 411 961 509 410 6 convertit și scris în binar în representarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 0001 0011 0000 0111 0001 0001 0011 1010 0100 1010 0101 1100 1010

» Numărul zecimal în baza zece 8 800,883 411 961 509 402 convertit și scris ca binar în reprezentarea pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Nou: Toate calculele efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2025 [Aprilie]: Numere zecimale transformate și scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule lunare efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

» [EN] This operation in English: Convert 8 800,883 411 961 509 410 6 to 64 Bit Double Precision IEEE 754 Binary Floating Point Standard Representation, From a Base 10 Decimal Number

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100