Convertește 9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 35 în binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754, din număr zecimal în baza 10

9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 35(10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 biți pentru mantisă) = ?

1. Întâi convertește în binar (baza 2) partea întreagă: 9 876 543 210 009 876.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Ținem minte fiecare rest al împărțirilor.

Stop când obținem un cât egal cu zero.

  • împărțire = cât + rest;
  • 9 876 543 210 009 876 : 2 = 4 938 271 605 004 938 + 0;
  • 4 938 271 605 004 938 : 2 = 2 469 135 802 502 469 + 0;
  • 2 469 135 802 502 469 : 2 = 1 234 567 901 251 234 + 1;
  • 1 234 567 901 251 234 : 2 = 617 283 950 625 617 + 0;
  • 617 283 950 625 617 : 2 = 308 641 975 312 808 + 1;
  • 308 641 975 312 808 : 2 = 154 320 987 656 404 + 0;
  • 154 320 987 656 404 : 2 = 77 160 493 828 202 + 0;
  • 77 160 493 828 202 : 2 = 38 580 246 914 101 + 0;
  • 38 580 246 914 101 : 2 = 19 290 123 457 050 + 1;
  • 19 290 123 457 050 : 2 = 9 645 061 728 525 + 0;
  • 9 645 061 728 525 : 2 = 4 822 530 864 262 + 1;
  • 4 822 530 864 262 : 2 = 2 411 265 432 131 + 0;
  • 2 411 265 432 131 : 2 = 1 205 632 716 065 + 1;
  • 1 205 632 716 065 : 2 = 602 816 358 032 + 1;
  • 602 816 358 032 : 2 = 301 408 179 016 + 0;
  • 301 408 179 016 : 2 = 150 704 089 508 + 0;
  • 150 704 089 508 : 2 = 75 352 044 754 + 0;
  • 75 352 044 754 : 2 = 37 676 022 377 + 0;
  • 37 676 022 377 : 2 = 18 838 011 188 + 1;
  • 18 838 011 188 : 2 = 9 419 005 594 + 0;
  • 9 419 005 594 : 2 = 4 709 502 797 + 0;
  • 4 709 502 797 : 2 = 2 354 751 398 + 1;
  • 2 354 751 398 : 2 = 1 177 375 699 + 0;
  • 1 177 375 699 : 2 = 588 687 849 + 1;
  • 588 687 849 : 2 = 294 343 924 + 1;
  • 294 343 924 : 2 = 147 171 962 + 0;
  • 147 171 962 : 2 = 73 585 981 + 0;
  • 73 585 981 : 2 = 36 792 990 + 1;
  • 36 792 990 : 2 = 18 396 495 + 0;
  • 18 396 495 : 2 = 9 198 247 + 1;
  • 9 198 247 : 2 = 4 599 123 + 1;
  • 4 599 123 : 2 = 2 299 561 + 1;
  • 2 299 561 : 2 = 1 149 780 + 1;
  • 1 149 780 : 2 = 574 890 + 0;
  • 574 890 : 2 = 287 445 + 0;
  • 287 445 : 2 = 143 722 + 1;
  • 143 722 : 2 = 71 861 + 0;
  • 71 861 : 2 = 35 930 + 1;
  • 35 930 : 2 = 17 965 + 0;
  • 17 965 : 2 = 8 982 + 1;
  • 8 982 : 2 = 4 491 + 0;
  • 4 491 : 2 = 2 245 + 1;
  • 2 245 : 2 = 1 122 + 1;
  • 1 122 : 2 = 561 + 0;
  • 561 : 2 = 280 + 1;
  • 280 : 2 = 140 + 0;
  • 140 : 2 = 70 + 0;
  • 70 : 2 = 35 + 0;
  • 35 : 2 = 17 + 1;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

9 876 543 210 009 876(10) =


10 0011 0001 0110 1010 1001 1110 1001 1010 0100 0011 0101 0001 0100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,009 234 567 810 987 234 567 098 35.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.


Ține minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.


Stop când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,009 234 567 810 987 234 567 098 35 × 2 = 0 + 0,018 469 135 621 974 469 134 196 7;
  • 2) 0,018 469 135 621 974 469 134 196 7 × 2 = 0 + 0,036 938 271 243 948 938 268 393 4;
  • 3) 0,036 938 271 243 948 938 268 393 4 × 2 = 0 + 0,073 876 542 487 897 876 536 786 8;
  • 4) 0,073 876 542 487 897 876 536 786 8 × 2 = 0 + 0,147 753 084 975 795 753 073 573 6;
  • 5) 0,147 753 084 975 795 753 073 573 6 × 2 = 0 + 0,295 506 169 951 591 506 147 147 2;
  • 6) 0,295 506 169 951 591 506 147 147 2 × 2 = 0 + 0,591 012 339 903 183 012 294 294 4;
  • 7) 0,591 012 339 903 183 012 294 294 4 × 2 = 1 + 0,182 024 679 806 366 024 588 588 8;
  • 8) 0,182 024 679 806 366 024 588 588 8 × 2 = 0 + 0,364 049 359 612 732 049 177 177 6;
  • 9) 0,364 049 359 612 732 049 177 177 6 × 2 = 0 + 0,728 098 719 225 464 098 354 355 2;
  • 10) 0,728 098 719 225 464 098 354 355 2 × 2 = 1 + 0,456 197 438 450 928 196 708 710 4;
  • 11) 0,456 197 438 450 928 196 708 710 4 × 2 = 0 + 0,912 394 876 901 856 393 417 420 8;
  • 12) 0,912 394 876 901 856 393 417 420 8 × 2 = 1 + 0,824 789 753 803 712 786 834 841 6;
  • 13) 0,824 789 753 803 712 786 834 841 6 × 2 = 1 + 0,649 579 507 607 425 573 669 683 2;
  • 14) 0,649 579 507 607 425 573 669 683 2 × 2 = 1 + 0,299 159 015 214 851 147 339 366 4;
  • 15) 0,299 159 015 214 851 147 339 366 4 × 2 = 0 + 0,598 318 030 429 702 294 678 732 8;
  • 16) 0,598 318 030 429 702 294 678 732 8 × 2 = 1 + 0,196 636 060 859 404 589 357 465 6;
  • 17) 0,196 636 060 859 404 589 357 465 6 × 2 = 0 + 0,393 272 121 718 809 178 714 931 2;
  • 18) 0,393 272 121 718 809 178 714 931 2 × 2 = 0 + 0,786 544 243 437 618 357 429 862 4;
  • 19) 0,786 544 243 437 618 357 429 862 4 × 2 = 1 + 0,573 088 486 875 236 714 859 724 8;
  • 20) 0,573 088 486 875 236 714 859 724 8 × 2 = 1 + 0,146 176 973 750 473 429 719 449 6;
  • 21) 0,146 176 973 750 473 429 719 449 6 × 2 = 0 + 0,292 353 947 500 946 859 438 899 2;
  • 22) 0,292 353 947 500 946 859 438 899 2 × 2 = 0 + 0,584 707 895 001 893 718 877 798 4;
  • 23) 0,584 707 895 001 893 718 877 798 4 × 2 = 1 + 0,169 415 790 003 787 437 755 596 8;
  • 24) 0,169 415 790 003 787 437 755 596 8 × 2 = 0 + 0,338 831 580 007 574 875 511 193 6;
  • 25) 0,338 831 580 007 574 875 511 193 6 × 2 = 0 + 0,677 663 160 015 149 751 022 387 2;
  • 26) 0,677 663 160 015 149 751 022 387 2 × 2 = 1 + 0,355 326 320 030 299 502 044 774 4;
  • 27) 0,355 326 320 030 299 502 044 774 4 × 2 = 0 + 0,710 652 640 060 599 004 089 548 8;
  • 28) 0,710 652 640 060 599 004 089 548 8 × 2 = 1 + 0,421 305 280 121 198 008 179 097 6;
  • 29) 0,421 305 280 121 198 008 179 097 6 × 2 = 0 + 0,842 610 560 242 396 016 358 195 2;
  • 30) 0,842 610 560 242 396 016 358 195 2 × 2 = 1 + 0,685 221 120 484 792 032 716 390 4;
  • 31) 0,685 221 120 484 792 032 716 390 4 × 2 = 1 + 0,370 442 240 969 584 065 432 780 8;
  • 32) 0,370 442 240 969 584 065 432 780 8 × 2 = 0 + 0,740 884 481 939 168 130 865 561 6;
  • 33) 0,740 884 481 939 168 130 865 561 6 × 2 = 1 + 0,481 768 963 878 336 261 731 123 2;
  • 34) 0,481 768 963 878 336 261 731 123 2 × 2 = 0 + 0,963 537 927 756 672 523 462 246 4;
  • 35) 0,963 537 927 756 672 523 462 246 4 × 2 = 1 + 0,927 075 855 513 345 046 924 492 8;
  • 36) 0,927 075 855 513 345 046 924 492 8 × 2 = 1 + 0,854 151 711 026 690 093 848 985 6;
  • 37) 0,854 151 711 026 690 093 848 985 6 × 2 = 1 + 0,708 303 422 053 380 187 697 971 2;
  • 38) 0,708 303 422 053 380 187 697 971 2 × 2 = 1 + 0,416 606 844 106 760 375 395 942 4;
  • 39) 0,416 606 844 106 760 375 395 942 4 × 2 = 0 + 0,833 213 688 213 520 750 791 884 8;
  • 40) 0,833 213 688 213 520 750 791 884 8 × 2 = 1 + 0,666 427 376 427 041 501 583 769 6;
  • 41) 0,666 427 376 427 041 501 583 769 6 × 2 = 1 + 0,332 854 752 854 083 003 167 539 2;
  • 42) 0,332 854 752 854 083 003 167 539 2 × 2 = 0 + 0,665 709 505 708 166 006 335 078 4;
  • 43) 0,665 709 505 708 166 006 335 078 4 × 2 = 1 + 0,331 419 011 416 332 012 670 156 8;
  • 44) 0,331 419 011 416 332 012 670 156 8 × 2 = 0 + 0,662 838 022 832 664 025 340 313 6;
  • 45) 0,662 838 022 832 664 025 340 313 6 × 2 = 1 + 0,325 676 045 665 328 050 680 627 2;
  • 46) 0,325 676 045 665 328 050 680 627 2 × 2 = 0 + 0,651 352 091 330 656 101 361 254 4;
  • 47) 0,651 352 091 330 656 101 361 254 4 × 2 = 1 + 0,302 704 182 661 312 202 722 508 8;
  • 48) 0,302 704 182 661 312 202 722 508 8 × 2 = 0 + 0,605 408 365 322 624 405 445 017 6;
  • 49) 0,605 408 365 322 624 405 445 017 6 × 2 = 1 + 0,210 816 730 645 248 810 890 035 2;
  • 50) 0,210 816 730 645 248 810 890 035 2 × 2 = 0 + 0,421 633 461 290 497 621 780 070 4;
  • 51) 0,421 633 461 290 497 621 780 070 4 × 2 = 0 + 0,843 266 922 580 995 243 560 140 8;
  • 52) 0,843 266 922 580 995 243 560 140 8 × 2 = 1 + 0,686 533 845 161 990 487 120 281 6;
  • 53) 0,686 533 845 161 990 487 120 281 6 × 2 = 1 + 0,373 067 690 323 980 974 240 563 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierdem precizie...)


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:

0,009 234 567 810 987 234 567 098 35(10) =


0,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 1010 1010 1001 1(2)


5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 35(10) =


10 0011 0001 0110 1010 1001 1110 1001 1010 0100 0011 0101 0001 0100,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 1010 1010 1001 1(2)


6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 53 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:

9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 35(10) =


10 0011 0001 0110 1010 1001 1110 1001 1010 0100 0011 0101 0001 0100,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 1010 1010 1001 1(2) =


10 0011 0001 0110 1010 1001 1110 1001 1010 0100 0011 0101 0001 0100,0000 0010 0101 1101 0011 0010 0101 0110 1011 1101 1010 1010 1001 1(2) × 20 =


1,0001 1000 1011 0101 0100 1111 0100 1101 0010 0001 1010 1000 1010 0000 0001 0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1101 0101 0100 11(2) × 253


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn: 0 (un număr pozitiv)


Exponent (neajustat): 53


Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1000 1011 0101 0100 1111 0100 1101 0010 0001 1010 1000 1010 0000 0001 0010 1110 1001 1001 0010 1011 0101 1110 1101 0101 0100 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:

Exponent (ajustat) =


Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =


53 + 2(11-1) - 1 =


(53 + 1 023)(10) =


1 076(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:

  • împărțire = cât + rest;
  • 1 076 : 2 = 538 + 0;
  • 538 : 2 = 269 + 0;
  • 269 : 2 = 134 + 1;
  • 134 : 2 = 67 + 0;
  • 67 : 2 = 33 + 1;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

Exponent (ajustat) =


1076(10) =


100 0011 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).

Mantisă (normalizată) =


1. 0001 1000 1011 0101 0100 1111 0100 1101 0010 0001 1010 1000 1010 00 0000 0100 1011 1010 0110 0100 1010 1101 0111 1011 0101 0101 0011 =


0001 1000 1011 0101 0100 1111 0100 1101 0010 0001 1010 1000 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)


Exponent (11 biți) =
100 0011 0100


Mantisă (52 biți) =
0001 1000 1011 0101 0100 1111 0100 1101 0010 0001 1010 1000 1010


Numărul 9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 35 convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:
0 - 100 0011 0100 - 0001 1000 1011 0101 0100 1111 0100 1101 0010 0001 1010 1000 1010

(64 biți IEEE 754)
  • Semn (1 bit):

    • 0

      63
  • Exponent (11 biți):

    • 1

      62
    • 0

      61
    • 0

      60
    • 0

      59
    • 0

      58
    • 1

      57
    • 1

      56
    • 0

      55
    • 1

      54
    • 0

      53
    • 0

      52
  • Mantisă (52 biți):

    • 0

      51
    • 0

      50
    • 0

      49
    • 1

      48
    • 1

      47
    • 0

      46
    • 0

      45
    • 0

      44
    • 1

      43
    • 0

      42
    • 1

      41
    • 1

      40
    • 0

      39
    • 1

      38
    • 0

      37
    • 1

      36
    • 0

      35
    • 1

      34
    • 0

      33
    • 0

      32
    • 1

      31
    • 1

      30
    • 1

      29
    • 1

      28
    • 0

      27
    • 1

      26
    • 0

      25
    • 0

      24
    • 1

      23
    • 1

      22
    • 0

      21
    • 1

      20
    • 0

      19
    • 0

      18
    • 1

      17
    • 0

      16
    • 0

      15
    • 0

      14
    • 0

      13
    • 1

      12
    • 1

      11
    • 0

      10
    • 1

      9
    • 0

      8
    • 1

      7
    • 0

      6
    • 0

      5
    • 0

      4
    • 1

      3
    • 0

      2
    • 1

      1
    • 0

      0

Mai multe operații de acest tip:

9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 34 = ? ... 9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 36 = ?


Convertește în binar pe 64 de biți, precizie dublă, virgulă mobilă standard IEEE 754

Un număr în reprezentarea în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 e format din trei elemente: semn (ocupă un bit, este fie 0 pentru numere pozitive, fie 1 pentru numere negative), exponent (ocupă 11 biți), mantisă (52 de biți)

Ultimele numere zecimale convertite din baza zece în sistem binar în reprezentare pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

9 876 543 210 009 876,009 234 567 810 987 234 567 098 35 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
-36,1 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 043 8 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
1 234 584 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 012 345 687 9 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
29 680 811 214 598 670 000 000 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
2,000 000 007 536 7 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 009 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 001 16 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 001 14 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 001 1 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
0,000 000 000 000 000 000 000 013 806 489 în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 = ? 15 apr, 08:55 EET (UTC +2)
Toate numerele zecimale convertite din sistem zecimal (baza zece) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:


    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100