98 773 896,874 583 651 234 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 98 773 896,874 583 651 234(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
98 773 896,874 583 651 234(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 98 773 896.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 98 773 896 : 2 = 49 386 948 + 0;
  • 49 386 948 : 2 = 24 693 474 + 0;
  • 24 693 474 : 2 = 12 346 737 + 0;
  • 12 346 737 : 2 = 6 173 368 + 1;
  • 6 173 368 : 2 = 3 086 684 + 0;
  • 3 086 684 : 2 = 1 543 342 + 0;
  • 1 543 342 : 2 = 771 671 + 0;
  • 771 671 : 2 = 385 835 + 1;
  • 385 835 : 2 = 192 917 + 1;
  • 192 917 : 2 = 96 458 + 1;
  • 96 458 : 2 = 48 229 + 0;
  • 48 229 : 2 = 24 114 + 1;
  • 24 114 : 2 = 12 057 + 0;
  • 12 057 : 2 = 6 028 + 1;
  • 6 028 : 2 = 3 014 + 0;
  • 3 014 : 2 = 1 507 + 0;
  • 1 507 : 2 = 753 + 1;
  • 753 : 2 = 376 + 1;
  • 376 : 2 = 188 + 0;
  • 188 : 2 = 94 + 0;
  • 94 : 2 = 47 + 0;
  • 47 : 2 = 23 + 1;
  • 23 : 2 = 11 + 1;
  • 11 : 2 = 5 + 1;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

98 773 896(10) =

101 1110 0011 0010 1011 1000 1000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,874 583 651 234.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,874 583 651 234 × 2 = 1 + 0,749 167 302 468;
  • 2) 0,749 167 302 468 × 2 = 1 + 0,498 334 604 936;
  • 3) 0,498 334 604 936 × 2 = 0 + 0,996 669 209 872;
  • 4) 0,996 669 209 872 × 2 = 1 + 0,993 338 419 744;
  • 5) 0,993 338 419 744 × 2 = 1 + 0,986 676 839 488;
  • 6) 0,986 676 839 488 × 2 = 1 + 0,973 353 678 976;
  • 7) 0,973 353 678 976 × 2 = 1 + 0,946 707 357 952;
  • 8) 0,946 707 357 952 × 2 = 1 + 0,893 414 715 904;
  • 9) 0,893 414 715 904 × 2 = 1 + 0,786 829 431 808;
  • 10) 0,786 829 431 808 × 2 = 1 + 0,573 658 863 616;
  • 11) 0,573 658 863 616 × 2 = 1 + 0,147 317 727 232;
  • 12) 0,147 317 727 232 × 2 = 0 + 0,294 635 454 464;
  • 13) 0,294 635 454 464 × 2 = 0 + 0,589 270 908 928;
  • 14) 0,589 270 908 928 × 2 = 1 + 0,178 541 817 856;
  • 15) 0,178 541 817 856 × 2 = 0 + 0,357 083 635 712;
  • 16) 0,357 083 635 712 × 2 = 0 + 0,714 167 271 424;
  • 17) 0,714 167 271 424 × 2 = 1 + 0,428 334 542 848;
  • 18) 0,428 334 542 848 × 2 = 0 + 0,856 669 085 696;
  • 19) 0,856 669 085 696 × 2 = 1 + 0,713 338 171 392;
  • 20) 0,713 338 171 392 × 2 = 1 + 0,426 676 342 784;
  • 21) 0,426 676 342 784 × 2 = 0 + 0,853 352 685 568;
  • 22) 0,853 352 685 568 × 2 = 1 + 0,706 705 371 136;
  • 23) 0,706 705 371 136 × 2 = 1 + 0,413 410 742 272;
  • 24) 0,413 410 742 272 × 2 = 0 + 0,826 821 484 544;
  • 25) 0,826 821 484 544 × 2 = 1 + 0,653 642 969 088;
  • 26) 0,653 642 969 088 × 2 = 1 + 0,307 285 938 176;
  • 27) 0,307 285 938 176 × 2 = 0 + 0,614 571 876 352;
  • 28) 0,614 571 876 352 × 2 = 1 + 0,229 143 752 704;
  • 29) 0,229 143 752 704 × 2 = 0 + 0,458 287 505 408;
  • 30) 0,458 287 505 408 × 2 = 0 + 0,916 575 010 816;
  • 31) 0,916 575 010 816 × 2 = 1 + 0,833 150 021 632;
  • 32) 0,833 150 021 632 × 2 = 1 + 0,666 300 043 264;
  • 33) 0,666 300 043 264 × 2 = 1 + 0,332 600 086 528;
  • 34) 0,332 600 086 528 × 2 = 0 + 0,665 200 173 056;
  • 35) 0,665 200 173 056 × 2 = 1 + 0,330 400 346 112;
  • 36) 0,330 400 346 112 × 2 = 0 + 0,660 800 692 224;
  • 37) 0,660 800 692 224 × 2 = 1 + 0,321 601 384 448;
  • 38) 0,321 601 384 448 × 2 = 0 + 0,643 202 768 896;
  • 39) 0,643 202 768 896 × 2 = 1 + 0,286 405 537 792;
  • 40) 0,286 405 537 792 × 2 = 0 + 0,572 811 075 584;
  • 41) 0,572 811 075 584 × 2 = 1 + 0,145 622 151 168;
  • 42) 0,145 622 151 168 × 2 = 0 + 0,291 244 302 336;
  • 43) 0,291 244 302 336 × 2 = 0 + 0,582 488 604 672;
  • 44) 0,582 488 604 672 × 2 = 1 + 0,164 977 209 344;
  • 45) 0,164 977 209 344 × 2 = 0 + 0,329 954 418 688;
  • 46) 0,329 954 418 688 × 2 = 0 + 0,659 908 837 376;
  • 47) 0,659 908 837 376 × 2 = 1 + 0,319 817 674 752;
  • 48) 0,319 817 674 752 × 2 = 0 + 0,639 635 349 504;
  • 49) 0,639 635 349 504 × 2 = 1 + 0,279 270 699 008;
  • 50) 0,279 270 699 008 × 2 = 0 + 0,558 541 398 016;
  • 51) 0,558 541 398 016 × 2 = 1 + 0,117 082 796 032;
  • 52) 0,117 082 796 032 × 2 = 0 + 0,234 165 592 064;
  • 53) 0,234 165 592 064 × 2 = 0 + 0,468 331 184 128;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,874 583 651 234(10) =

0,1101 1111 1110 0100 1011 0110 1101 0011 1010 1010 1001 0010 1010 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

98 773 896,874 583 651 234(10) =

101 1110 0011 0010 1011 1000 1000,1101 1111 1110 0100 1011 0110 1101 0011 1010 1010 1001 0010 1010 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 26 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


98 773 896,874 583 651 234(10) =

101 1110 0011 0010 1011 1000 1000,1101 1111 1110 0100 1011 0110 1101 0011 1010 1010 1001 0010 1010 0(2) =

101 1110 0011 0010 1011 1000 1000,1101 1111 1110 0100 1011 0110 1101 0011 1010 1010 1001 0010 1010 0(2) × 20 =

1,0111 1000 1100 1010 1110 0010 0011 0111 1111 1001 0010 1101 1011 0100 1110 1010 1010 0100 1010 100(2) × 226


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 26

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 1000 1100 1010 1110 0010 0011 0111 1111 1001 0010 1101 1011 0100 1110 1010 1010 0100 1010 100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

26 + 2(11-1) - 1 =

(26 + 1 023)(10) =

1 049(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 049 : 2 = 524 + 1;
  • 524 : 2 = 262 + 0;
  • 262 : 2 = 131 + 0;
  • 131 : 2 = 65 + 1;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1049(10) =

100 0001 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 1000 1100 1010 1110 0010 0011 0111 1111 1001 0010 1101 1011 010 0111 0101 0101 0010 0101 0100 =

0111 1000 1100 1010 1110 0010 0011 0111 1111 1001 0010 1101 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 1001

Mantisă (52 biți) =
0111 1000 1100 1010 1110 0010 0011 0111 1111 1001 0010 1101 1011


Numărul zecimal 98 773 896,874 583 651 234 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 1001 - 0111 1000 1100 1010 1110 0010 0011 0111 1111 1001 0010 1101 1011

» Scriere 98 773 896,874 583 651 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100