-0,000 008 88 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 008 88(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 008 88(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 008 88| = 0,000 008 88


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 008 88.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 008 88 × 2 = 0 + 0,000 017 76;
  • 2) 0,000 017 76 × 2 = 0 + 0,000 035 52;
  • 3) 0,000 035 52 × 2 = 0 + 0,000 071 04;
  • 4) 0,000 071 04 × 2 = 0 + 0,000 142 08;
  • 5) 0,000 142 08 × 2 = 0 + 0,000 284 16;
  • 6) 0,000 284 16 × 2 = 0 + 0,000 568 32;
  • 7) 0,000 568 32 × 2 = 0 + 0,001 136 64;
  • 8) 0,001 136 64 × 2 = 0 + 0,002 273 28;
  • 9) 0,002 273 28 × 2 = 0 + 0,004 546 56;
  • 10) 0,004 546 56 × 2 = 0 + 0,009 093 12;
  • 11) 0,009 093 12 × 2 = 0 + 0,018 186 24;
  • 12) 0,018 186 24 × 2 = 0 + 0,036 372 48;
  • 13) 0,036 372 48 × 2 = 0 + 0,072 744 96;
  • 14) 0,072 744 96 × 2 = 0 + 0,145 489 92;
  • 15) 0,145 489 92 × 2 = 0 + 0,290 979 84;
  • 16) 0,290 979 84 × 2 = 0 + 0,581 959 68;
  • 17) 0,581 959 68 × 2 = 1 + 0,163 919 36;
  • 18) 0,163 919 36 × 2 = 0 + 0,327 838 72;
  • 19) 0,327 838 72 × 2 = 0 + 0,655 677 44;
  • 20) 0,655 677 44 × 2 = 1 + 0,311 354 88;
  • 21) 0,311 354 88 × 2 = 0 + 0,622 709 76;
  • 22) 0,622 709 76 × 2 = 1 + 0,245 419 52;
  • 23) 0,245 419 52 × 2 = 0 + 0,490 839 04;
  • 24) 0,490 839 04 × 2 = 0 + 0,981 678 08;
  • 25) 0,981 678 08 × 2 = 1 + 0,963 356 16;
  • 26) 0,963 356 16 × 2 = 1 + 0,926 712 32;
  • 27) 0,926 712 32 × 2 = 1 + 0,853 424 64;
  • 28) 0,853 424 64 × 2 = 1 + 0,706 849 28;
  • 29) 0,706 849 28 × 2 = 1 + 0,413 698 56;
  • 30) 0,413 698 56 × 2 = 0 + 0,827 397 12;
  • 31) 0,827 397 12 × 2 = 1 + 0,654 794 24;
  • 32) 0,654 794 24 × 2 = 1 + 0,309 588 48;
  • 33) 0,309 588 48 × 2 = 0 + 0,619 176 96;
  • 34) 0,619 176 96 × 2 = 1 + 0,238 353 92;
  • 35) 0,238 353 92 × 2 = 0 + 0,476 707 84;
  • 36) 0,476 707 84 × 2 = 0 + 0,953 415 68;
  • 37) 0,953 415 68 × 2 = 1 + 0,906 831 36;
  • 38) 0,906 831 36 × 2 = 1 + 0,813 662 72;
  • 39) 0,813 662 72 × 2 = 1 + 0,627 325 44;
  • 40) 0,627 325 44 × 2 = 1 + 0,254 650 88;
  • 41) 0,254 650 88 × 2 = 0 + 0,509 301 76;
  • 42) 0,509 301 76 × 2 = 1 + 0,018 603 52;
  • 43) 0,018 603 52 × 2 = 0 + 0,037 207 04;
  • 44) 0,037 207 04 × 2 = 0 + 0,074 414 08;
  • 45) 0,074 414 08 × 2 = 0 + 0,148 828 16;
  • 46) 0,148 828 16 × 2 = 0 + 0,297 656 32;
  • 47) 0,297 656 32 × 2 = 0 + 0,595 312 64;
  • 48) 0,595 312 64 × 2 = 1 + 0,190 625 28;
  • 49) 0,190 625 28 × 2 = 0 + 0,381 250 56;
  • 50) 0,381 250 56 × 2 = 0 + 0,762 501 12;
  • 51) 0,762 501 12 × 2 = 1 + 0,525 002 24;
  • 52) 0,525 002 24 × 2 = 1 + 0,050 004 48;
  • 53) 0,050 004 48 × 2 = 0 + 0,100 008 96;
  • 54) 0,100 008 96 × 2 = 0 + 0,200 017 92;
  • 55) 0,200 017 92 × 2 = 0 + 0,400 035 84;
  • 56) 0,400 035 84 × 2 = 0 + 0,800 071 68;
  • 57) 0,800 071 68 × 2 = 1 + 0,600 143 36;
  • 58) 0,600 143 36 × 2 = 1 + 0,200 286 72;
  • 59) 0,200 286 72 × 2 = 0 + 0,400 573 44;
  • 60) 0,400 573 44 × 2 = 0 + 0,801 146 88;
  • 61) 0,801 146 88 × 2 = 1 + 0,602 293 76;
  • 62) 0,602 293 76 × 2 = 1 + 0,204 587 52;
  • 63) 0,204 587 52 × 2 = 0 + 0,409 175 04;
  • 64) 0,409 175 04 × 2 = 0 + 0,818 350 08;
  • 65) 0,818 350 08 × 2 = 1 + 0,636 700 16;
  • 66) 0,636 700 16 × 2 = 1 + 0,273 400 32;
  • 67) 0,273 400 32 × 2 = 0 + 0,546 800 64;
  • 68) 0,546 800 64 × 2 = 1 + 0,093 601 28;
  • 69) 0,093 601 28 × 2 = 0 + 0,187 202 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 008 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 0100 1111 1011 0100 1111 0100 0001 0011 0000 1100 1100 1101 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 008 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 0100 1111 1011 0100 1111 0100 0001 0011 0000 1100 1100 1101 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 008 88(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 0100 1111 1011 0100 1111 0100 0001 0011 0000 1100 1100 1101 0(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 0100 1111 1011 0100 1111 0100 0001 0011 0000 1100 1100 1101 0(2) × 20 =

1,0010 1001 1111 0110 1001 1110 1000 0010 0110 0001 1001 1001 1010(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1001 1111 0110 1001 1110 1000 0010 0110 0001 1001 1001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1001 1111 0110 1001 1110 1000 0010 0110 0001 1001 1001 1010 =

0010 1001 1111 0110 1001 1110 1000 0010 0110 0001 1001 1001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0010 1001 1111 0110 1001 1110 1000 0010 0110 0001 1001 1001 1010


Numărul zecimal -0,000 008 88 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0010 1001 1111 0110 1001 1110 1000 0010 0110 0001 1001 1001 1010

» Scriere -0,000 009 78 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100