-0,000 035 666 97 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 97(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 97(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 97| = 0,000 035 666 97


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 97.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 97 × 2 = 0 + 0,000 071 333 94;
  • 2) 0,000 071 333 94 × 2 = 0 + 0,000 142 667 88;
  • 3) 0,000 142 667 88 × 2 = 0 + 0,000 285 335 76;
  • 4) 0,000 285 335 76 × 2 = 0 + 0,000 570 671 52;
  • 5) 0,000 570 671 52 × 2 = 0 + 0,001 141 343 04;
  • 6) 0,001 141 343 04 × 2 = 0 + 0,002 282 686 08;
  • 7) 0,002 282 686 08 × 2 = 0 + 0,004 565 372 16;
  • 8) 0,004 565 372 16 × 2 = 0 + 0,009 130 744 32;
  • 9) 0,009 130 744 32 × 2 = 0 + 0,018 261 488 64;
  • 10) 0,018 261 488 64 × 2 = 0 + 0,036 522 977 28;
  • 11) 0,036 522 977 28 × 2 = 0 + 0,073 045 954 56;
  • 12) 0,073 045 954 56 × 2 = 0 + 0,146 091 909 12;
  • 13) 0,146 091 909 12 × 2 = 0 + 0,292 183 818 24;
  • 14) 0,292 183 818 24 × 2 = 0 + 0,584 367 636 48;
  • 15) 0,584 367 636 48 × 2 = 1 + 0,168 735 272 96;
  • 16) 0,168 735 272 96 × 2 = 0 + 0,337 470 545 92;
  • 17) 0,337 470 545 92 × 2 = 0 + 0,674 941 091 84;
  • 18) 0,674 941 091 84 × 2 = 1 + 0,349 882 183 68;
  • 19) 0,349 882 183 68 × 2 = 0 + 0,699 764 367 36;
  • 20) 0,699 764 367 36 × 2 = 1 + 0,399 528 734 72;
  • 21) 0,399 528 734 72 × 2 = 0 + 0,799 057 469 44;
  • 22) 0,799 057 469 44 × 2 = 1 + 0,598 114 938 88;
  • 23) 0,598 114 938 88 × 2 = 1 + 0,196 229 877 76;
  • 24) 0,196 229 877 76 × 2 = 0 + 0,392 459 755 52;
  • 25) 0,392 459 755 52 × 2 = 0 + 0,784 919 511 04;
  • 26) 0,784 919 511 04 × 2 = 1 + 0,569 839 022 08;
  • 27) 0,569 839 022 08 × 2 = 1 + 0,139 678 044 16;
  • 28) 0,139 678 044 16 × 2 = 0 + 0,279 356 088 32;
  • 29) 0,279 356 088 32 × 2 = 0 + 0,558 712 176 64;
  • 30) 0,558 712 176 64 × 2 = 1 + 0,117 424 353 28;
  • 31) 0,117 424 353 28 × 2 = 0 + 0,234 848 706 56;
  • 32) 0,234 848 706 56 × 2 = 0 + 0,469 697 413 12;
  • 33) 0,469 697 413 12 × 2 = 0 + 0,939 394 826 24;
  • 34) 0,939 394 826 24 × 2 = 1 + 0,878 789 652 48;
  • 35) 0,878 789 652 48 × 2 = 1 + 0,757 579 304 96;
  • 36) 0,757 579 304 96 × 2 = 1 + 0,515 158 609 92;
  • 37) 0,515 158 609 92 × 2 = 1 + 0,030 317 219 84;
  • 38) 0,030 317 219 84 × 2 = 0 + 0,060 634 439 68;
  • 39) 0,060 634 439 68 × 2 = 0 + 0,121 268 879 36;
  • 40) 0,121 268 879 36 × 2 = 0 + 0,242 537 758 72;
  • 41) 0,242 537 758 72 × 2 = 0 + 0,485 075 517 44;
  • 42) 0,485 075 517 44 × 2 = 0 + 0,970 151 034 88;
  • 43) 0,970 151 034 88 × 2 = 1 + 0,940 302 069 76;
  • 44) 0,940 302 069 76 × 2 = 1 + 0,880 604 139 52;
  • 45) 0,880 604 139 52 × 2 = 1 + 0,761 208 279 04;
  • 46) 0,761 208 279 04 × 2 = 1 + 0,522 416 558 08;
  • 47) 0,522 416 558 08 × 2 = 1 + 0,044 833 116 16;
  • 48) 0,044 833 116 16 × 2 = 0 + 0,089 666 232 32;
  • 49) 0,089 666 232 32 × 2 = 0 + 0,179 332 464 64;
  • 50) 0,179 332 464 64 × 2 = 0 + 0,358 664 929 28;
  • 51) 0,358 664 929 28 × 2 = 0 + 0,717 329 858 56;
  • 52) 0,717 329 858 56 × 2 = 1 + 0,434 659 717 12;
  • 53) 0,434 659 717 12 × 2 = 0 + 0,869 319 434 24;
  • 54) 0,869 319 434 24 × 2 = 1 + 0,738 638 868 48;
  • 55) 0,738 638 868 48 × 2 = 1 + 0,477 277 736 96;
  • 56) 0,477 277 736 96 × 2 = 0 + 0,954 555 473 92;
  • 57) 0,954 555 473 92 × 2 = 1 + 0,909 110 947 84;
  • 58) 0,909 110 947 84 × 2 = 1 + 0,818 221 895 68;
  • 59) 0,818 221 895 68 × 2 = 1 + 0,636 443 791 36;
  • 60) 0,636 443 791 36 × 2 = 1 + 0,272 887 582 72;
  • 61) 0,272 887 582 72 × 2 = 0 + 0,545 775 165 44;
  • 62) 0,545 775 165 44 × 2 = 1 + 0,091 550 330 88;
  • 63) 0,091 550 330 88 × 2 = 0 + 0,183 100 661 76;
  • 64) 0,183 100 661 76 × 2 = 0 + 0,366 201 323 52;
  • 65) 0,366 201 323 52 × 2 = 0 + 0,732 402 647 04;
  • 66) 0,732 402 647 04 × 2 = 1 + 0,464 805 294 08;
  • 67) 0,464 805 294 08 × 2 = 0 + 0,929 610 588 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 97(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1000 0011 1110 0001 0110 1111 0100 010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 97(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1000 0011 1110 0001 0110 1111 0100 010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 97(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1000 0011 1110 0001 0110 1111 0100 010(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1000 0011 1110 0001 0110 1111 0100 010(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0011 1100 0001 1111 0000 1011 0111 1010 0010(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0011 1100 0001 1111 0000 1011 0111 1010 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0011 1100 0001 1111 0000 1011 0111 1010 0010 =

0010 1011 0011 0010 0011 1100 0001 1111 0000 1011 0111 1010 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0011 1100 0001 1111 0000 1011 0111 1010 0010


Numărul zecimal -0,000 035 666 97 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0011 1100 0001 1111 0000 1011 0111 1010 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100