-0,000 282 005 889 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 889(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 889(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 889| = 0,000 282 005 889


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 889.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 889 × 2 = 0 + 0,000 564 011 778;
  • 2) 0,000 564 011 778 × 2 = 0 + 0,001 128 023 556;
  • 3) 0,001 128 023 556 × 2 = 0 + 0,002 256 047 112;
  • 4) 0,002 256 047 112 × 2 = 0 + 0,004 512 094 224;
  • 5) 0,004 512 094 224 × 2 = 0 + 0,009 024 188 448;
  • 6) 0,009 024 188 448 × 2 = 0 + 0,018 048 376 896;
  • 7) 0,018 048 376 896 × 2 = 0 + 0,036 096 753 792;
  • 8) 0,036 096 753 792 × 2 = 0 + 0,072 193 507 584;
  • 9) 0,072 193 507 584 × 2 = 0 + 0,144 387 015 168;
  • 10) 0,144 387 015 168 × 2 = 0 + 0,288 774 030 336;
  • 11) 0,288 774 030 336 × 2 = 0 + 0,577 548 060 672;
  • 12) 0,577 548 060 672 × 2 = 1 + 0,155 096 121 344;
  • 13) 0,155 096 121 344 × 2 = 0 + 0,310 192 242 688;
  • 14) 0,310 192 242 688 × 2 = 0 + 0,620 384 485 376;
  • 15) 0,620 384 485 376 × 2 = 1 + 0,240 768 970 752;
  • 16) 0,240 768 970 752 × 2 = 0 + 0,481 537 941 504;
  • 17) 0,481 537 941 504 × 2 = 0 + 0,963 075 883 008;
  • 18) 0,963 075 883 008 × 2 = 1 + 0,926 151 766 016;
  • 19) 0,926 151 766 016 × 2 = 1 + 0,852 303 532 032;
  • 20) 0,852 303 532 032 × 2 = 1 + 0,704 607 064 064;
  • 21) 0,704 607 064 064 × 2 = 1 + 0,409 214 128 128;
  • 22) 0,409 214 128 128 × 2 = 0 + 0,818 428 256 256;
  • 23) 0,818 428 256 256 × 2 = 1 + 0,636 856 512 512;
  • 24) 0,636 856 512 512 × 2 = 1 + 0,273 713 025 024;
  • 25) 0,273 713 025 024 × 2 = 0 + 0,547 426 050 048;
  • 26) 0,547 426 050 048 × 2 = 1 + 0,094 852 100 096;
  • 27) 0,094 852 100 096 × 2 = 0 + 0,189 704 200 192;
  • 28) 0,189 704 200 192 × 2 = 0 + 0,379 408 400 384;
  • 29) 0,379 408 400 384 × 2 = 0 + 0,758 816 800 768;
  • 30) 0,758 816 800 768 × 2 = 1 + 0,517 633 601 536;
  • 31) 0,517 633 601 536 × 2 = 1 + 0,035 267 203 072;
  • 32) 0,035 267 203 072 × 2 = 0 + 0,070 534 406 144;
  • 33) 0,070 534 406 144 × 2 = 0 + 0,141 068 812 288;
  • 34) 0,141 068 812 288 × 2 = 0 + 0,282 137 624 576;
  • 35) 0,282 137 624 576 × 2 = 0 + 0,564 275 249 152;
  • 36) 0,564 275 249 152 × 2 = 1 + 0,128 550 498 304;
  • 37) 0,128 550 498 304 × 2 = 0 + 0,257 100 996 608;
  • 38) 0,257 100 996 608 × 2 = 0 + 0,514 201 993 216;
  • 39) 0,514 201 993 216 × 2 = 1 + 0,028 403 986 432;
  • 40) 0,028 403 986 432 × 2 = 0 + 0,056 807 972 864;
  • 41) 0,056 807 972 864 × 2 = 0 + 0,113 615 945 728;
  • 42) 0,113 615 945 728 × 2 = 0 + 0,227 231 891 456;
  • 43) 0,227 231 891 456 × 2 = 0 + 0,454 463 782 912;
  • 44) 0,454 463 782 912 × 2 = 0 + 0,908 927 565 824;
  • 45) 0,908 927 565 824 × 2 = 1 + 0,817 855 131 648;
  • 46) 0,817 855 131 648 × 2 = 1 + 0,635 710 263 296;
  • 47) 0,635 710 263 296 × 2 = 1 + 0,271 420 526 592;
  • 48) 0,271 420 526 592 × 2 = 0 + 0,542 841 053 184;
  • 49) 0,542 841 053 184 × 2 = 1 + 0,085 682 106 368;
  • 50) 0,085 682 106 368 × 2 = 0 + 0,171 364 212 736;
  • 51) 0,171 364 212 736 × 2 = 0 + 0,342 728 425 472;
  • 52) 0,342 728 425 472 × 2 = 0 + 0,685 456 850 944;
  • 53) 0,685 456 850 944 × 2 = 1 + 0,370 913 701 888;
  • 54) 0,370 913 701 888 × 2 = 0 + 0,741 827 403 776;
  • 55) 0,741 827 403 776 × 2 = 1 + 0,483 654 807 552;
  • 56) 0,483 654 807 552 × 2 = 0 + 0,967 309 615 104;
  • 57) 0,967 309 615 104 × 2 = 1 + 0,934 619 230 208;
  • 58) 0,934 619 230 208 × 2 = 1 + 0,869 238 460 416;
  • 59) 0,869 238 460 416 × 2 = 1 + 0,738 476 920 832;
  • 60) 0,738 476 920 832 × 2 = 1 + 0,476 953 841 664;
  • 61) 0,476 953 841 664 × 2 = 0 + 0,953 907 683 328;
  • 62) 0,953 907 683 328 × 2 = 1 + 0,907 815 366 656;
  • 63) 0,907 815 366 656 × 2 = 1 + 0,815 630 733 312;
  • 64) 0,815 630 733 312 × 2 = 1 + 0,631 261 466 624;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 889(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 889(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 889(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111


Numărul zecimal -0,000 282 005 889 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0010 0000 1110 1000 1010 1111 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 858 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100