-0,000 282 005 894 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 894(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 894(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 894| = 0,000 282 005 894


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 894.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 894 × 2 = 0 + 0,000 564 011 788;
  • 2) 0,000 564 011 788 × 2 = 0 + 0,001 128 023 576;
  • 3) 0,001 128 023 576 × 2 = 0 + 0,002 256 047 152;
  • 4) 0,002 256 047 152 × 2 = 0 + 0,004 512 094 304;
  • 5) 0,004 512 094 304 × 2 = 0 + 0,009 024 188 608;
  • 6) 0,009 024 188 608 × 2 = 0 + 0,018 048 377 216;
  • 7) 0,018 048 377 216 × 2 = 0 + 0,036 096 754 432;
  • 8) 0,036 096 754 432 × 2 = 0 + 0,072 193 508 864;
  • 9) 0,072 193 508 864 × 2 = 0 + 0,144 387 017 728;
  • 10) 0,144 387 017 728 × 2 = 0 + 0,288 774 035 456;
  • 11) 0,288 774 035 456 × 2 = 0 + 0,577 548 070 912;
  • 12) 0,577 548 070 912 × 2 = 1 + 0,155 096 141 824;
  • 13) 0,155 096 141 824 × 2 = 0 + 0,310 192 283 648;
  • 14) 0,310 192 283 648 × 2 = 0 + 0,620 384 567 296;
  • 15) 0,620 384 567 296 × 2 = 1 + 0,240 769 134 592;
  • 16) 0,240 769 134 592 × 2 = 0 + 0,481 538 269 184;
  • 17) 0,481 538 269 184 × 2 = 0 + 0,963 076 538 368;
  • 18) 0,963 076 538 368 × 2 = 1 + 0,926 153 076 736;
  • 19) 0,926 153 076 736 × 2 = 1 + 0,852 306 153 472;
  • 20) 0,852 306 153 472 × 2 = 1 + 0,704 612 306 944;
  • 21) 0,704 612 306 944 × 2 = 1 + 0,409 224 613 888;
  • 22) 0,409 224 613 888 × 2 = 0 + 0,818 449 227 776;
  • 23) 0,818 449 227 776 × 2 = 1 + 0,636 898 455 552;
  • 24) 0,636 898 455 552 × 2 = 1 + 0,273 796 911 104;
  • 25) 0,273 796 911 104 × 2 = 0 + 0,547 593 822 208;
  • 26) 0,547 593 822 208 × 2 = 1 + 0,095 187 644 416;
  • 27) 0,095 187 644 416 × 2 = 0 + 0,190 375 288 832;
  • 28) 0,190 375 288 832 × 2 = 0 + 0,380 750 577 664;
  • 29) 0,380 750 577 664 × 2 = 0 + 0,761 501 155 328;
  • 30) 0,761 501 155 328 × 2 = 1 + 0,523 002 310 656;
  • 31) 0,523 002 310 656 × 2 = 1 + 0,046 004 621 312;
  • 32) 0,046 004 621 312 × 2 = 0 + 0,092 009 242 624;
  • 33) 0,092 009 242 624 × 2 = 0 + 0,184 018 485 248;
  • 34) 0,184 018 485 248 × 2 = 0 + 0,368 036 970 496;
  • 35) 0,368 036 970 496 × 2 = 0 + 0,736 073 940 992;
  • 36) 0,736 073 940 992 × 2 = 1 + 0,472 147 881 984;
  • 37) 0,472 147 881 984 × 2 = 0 + 0,944 295 763 968;
  • 38) 0,944 295 763 968 × 2 = 1 + 0,888 591 527 936;
  • 39) 0,888 591 527 936 × 2 = 1 + 0,777 183 055 872;
  • 40) 0,777 183 055 872 × 2 = 1 + 0,554 366 111 744;
  • 41) 0,554 366 111 744 × 2 = 1 + 0,108 732 223 488;
  • 42) 0,108 732 223 488 × 2 = 0 + 0,217 464 446 976;
  • 43) 0,217 464 446 976 × 2 = 0 + 0,434 928 893 952;
  • 44) 0,434 928 893 952 × 2 = 0 + 0,869 857 787 904;
  • 45) 0,869 857 787 904 × 2 = 1 + 0,739 715 575 808;
  • 46) 0,739 715 575 808 × 2 = 1 + 0,479 431 151 616;
  • 47) 0,479 431 151 616 × 2 = 0 + 0,958 862 303 232;
  • 48) 0,958 862 303 232 × 2 = 1 + 0,917 724 606 464;
  • 49) 0,917 724 606 464 × 2 = 1 + 0,835 449 212 928;
  • 50) 0,835 449 212 928 × 2 = 1 + 0,670 898 425 856;
  • 51) 0,670 898 425 856 × 2 = 1 + 0,341 796 851 712;
  • 52) 0,341 796 851 712 × 2 = 0 + 0,683 593 703 424;
  • 53) 0,683 593 703 424 × 2 = 1 + 0,367 187 406 848;
  • 54) 0,367 187 406 848 × 2 = 0 + 0,734 374 813 696;
  • 55) 0,734 374 813 696 × 2 = 1 + 0,468 749 627 392;
  • 56) 0,468 749 627 392 × 2 = 0 + 0,937 499 254 784;
  • 57) 0,937 499 254 784 × 2 = 1 + 0,874 998 509 568;
  • 58) 0,874 998 509 568 × 2 = 1 + 0,749 997 019 136;
  • 59) 0,749 997 019 136 × 2 = 1 + 0,499 994 038 272;
  • 60) 0,499 994 038 272 × 2 = 0 + 0,999 988 076 544;
  • 61) 0,999 988 076 544 × 2 = 1 + 0,999 976 153 088;
  • 62) 0,999 976 153 088 × 2 = 1 + 0,999 952 306 176;
  • 63) 0,999 952 306 176 × 2 = 1 + 0,999 904 612 352;
  • 64) 0,999 904 612 352 × 2 = 1 + 0,999 809 224 704;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 894(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 894(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 894(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 894 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0001 0111 1000 1101 1110 1010 1110 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 844 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100