-0,000 282 005 914 32 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 32(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 32(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 32| = 0,000 282 005 914 32


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 32.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 32 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 64;
  • 2) 0,000 564 011 828 64 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 28;
  • 3) 0,001 128 023 657 28 × 2 = 0 + 0,002 256 047 314 56;
  • 4) 0,002 256 047 314 56 × 2 = 0 + 0,004 512 094 629 12;
  • 5) 0,004 512 094 629 12 × 2 = 0 + 0,009 024 189 258 24;
  • 6) 0,009 024 189 258 24 × 2 = 0 + 0,018 048 378 516 48;
  • 7) 0,018 048 378 516 48 × 2 = 0 + 0,036 096 757 032 96;
  • 8) 0,036 096 757 032 96 × 2 = 0 + 0,072 193 514 065 92;
  • 9) 0,072 193 514 065 92 × 2 = 0 + 0,144 387 028 131 84;
  • 10) 0,144 387 028 131 84 × 2 = 0 + 0,288 774 056 263 68;
  • 11) 0,288 774 056 263 68 × 2 = 0 + 0,577 548 112 527 36;
  • 12) 0,577 548 112 527 36 × 2 = 1 + 0,155 096 225 054 72;
  • 13) 0,155 096 225 054 72 × 2 = 0 + 0,310 192 450 109 44;
  • 14) 0,310 192 450 109 44 × 2 = 0 + 0,620 384 900 218 88;
  • 15) 0,620 384 900 218 88 × 2 = 1 + 0,240 769 800 437 76;
  • 16) 0,240 769 800 437 76 × 2 = 0 + 0,481 539 600 875 52;
  • 17) 0,481 539 600 875 52 × 2 = 0 + 0,963 079 201 751 04;
  • 18) 0,963 079 201 751 04 × 2 = 1 + 0,926 158 403 502 08;
  • 19) 0,926 158 403 502 08 × 2 = 1 + 0,852 316 807 004 16;
  • 20) 0,852 316 807 004 16 × 2 = 1 + 0,704 633 614 008 32;
  • 21) 0,704 633 614 008 32 × 2 = 1 + 0,409 267 228 016 64;
  • 22) 0,409 267 228 016 64 × 2 = 0 + 0,818 534 456 033 28;
  • 23) 0,818 534 456 033 28 × 2 = 1 + 0,637 068 912 066 56;
  • 24) 0,637 068 912 066 56 × 2 = 1 + 0,274 137 824 133 12;
  • 25) 0,274 137 824 133 12 × 2 = 0 + 0,548 275 648 266 24;
  • 26) 0,548 275 648 266 24 × 2 = 1 + 0,096 551 296 532 48;
  • 27) 0,096 551 296 532 48 × 2 = 0 + 0,193 102 593 064 96;
  • 28) 0,193 102 593 064 96 × 2 = 0 + 0,386 205 186 129 92;
  • 29) 0,386 205 186 129 92 × 2 = 0 + 0,772 410 372 259 84;
  • 30) 0,772 410 372 259 84 × 2 = 1 + 0,544 820 744 519 68;
  • 31) 0,544 820 744 519 68 × 2 = 1 + 0,089 641 489 039 36;
  • 32) 0,089 641 489 039 36 × 2 = 0 + 0,179 282 978 078 72;
  • 33) 0,179 282 978 078 72 × 2 = 0 + 0,358 565 956 157 44;
  • 34) 0,358 565 956 157 44 × 2 = 0 + 0,717 131 912 314 88;
  • 35) 0,717 131 912 314 88 × 2 = 1 + 0,434 263 824 629 76;
  • 36) 0,434 263 824 629 76 × 2 = 0 + 0,868 527 649 259 52;
  • 37) 0,868 527 649 259 52 × 2 = 1 + 0,737 055 298 519 04;
  • 38) 0,737 055 298 519 04 × 2 = 1 + 0,474 110 597 038 08;
  • 39) 0,474 110 597 038 08 × 2 = 0 + 0,948 221 194 076 16;
  • 40) 0,948 221 194 076 16 × 2 = 1 + 0,896 442 388 152 32;
  • 41) 0,896 442 388 152 32 × 2 = 1 + 0,792 884 776 304 64;
  • 42) 0,792 884 776 304 64 × 2 = 1 + 0,585 769 552 609 28;
  • 43) 0,585 769 552 609 28 × 2 = 1 + 0,171 539 105 218 56;
  • 44) 0,171 539 105 218 56 × 2 = 0 + 0,343 078 210 437 12;
  • 45) 0,343 078 210 437 12 × 2 = 0 + 0,686 156 420 874 24;
  • 46) 0,686 156 420 874 24 × 2 = 1 + 0,372 312 841 748 48;
  • 47) 0,372 312 841 748 48 × 2 = 0 + 0,744 625 683 496 96;
  • 48) 0,744 625 683 496 96 × 2 = 1 + 0,489 251 366 993 92;
  • 49) 0,489 251 366 993 92 × 2 = 0 + 0,978 502 733 987 84;
  • 50) 0,978 502 733 987 84 × 2 = 1 + 0,957 005 467 975 68;
  • 51) 0,957 005 467 975 68 × 2 = 1 + 0,914 010 935 951 36;
  • 52) 0,914 010 935 951 36 × 2 = 1 + 0,828 021 871 902 72;
  • 53) 0,828 021 871 902 72 × 2 = 1 + 0,656 043 743 805 44;
  • 54) 0,656 043 743 805 44 × 2 = 1 + 0,312 087 487 610 88;
  • 55) 0,312 087 487 610 88 × 2 = 0 + 0,624 174 975 221 76;
  • 56) 0,624 174 975 221 76 × 2 = 1 + 0,248 349 950 443 52;
  • 57) 0,248 349 950 443 52 × 2 = 0 + 0,496 699 900 887 04;
  • 58) 0,496 699 900 887 04 × 2 = 0 + 0,993 399 801 774 08;
  • 59) 0,993 399 801 774 08 × 2 = 1 + 0,986 799 603 548 16;
  • 60) 0,986 799 603 548 16 × 2 = 1 + 0,973 599 207 096 32;
  • 61) 0,973 599 207 096 32 × 2 = 1 + 0,947 198 414 192 64;
  • 62) 0,947 198 414 192 64 × 2 = 1 + 0,894 396 828 385 28;
  • 63) 0,894 396 828 385 28 × 2 = 1 + 0,788 793 656 770 56;
  • 64) 0,788 793 656 770 56 × 2 = 1 + 0,577 587 313 541 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 32 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1110 0101 0111 1101 0011 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 914 14 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100