-0,000 282 005 914 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 914 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 914 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 914 4| = 0,000 282 005 914 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 914 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 914 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 828 8;
  • 2) 0,000 564 011 828 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 657 6;
  • 3) 0,001 128 023 657 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 315 2;
  • 4) 0,002 256 047 315 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 630 4;
  • 5) 0,004 512 094 630 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 260 8;
  • 6) 0,009 024 189 260 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 521 6;
  • 7) 0,018 048 378 521 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 043 2;
  • 8) 0,036 096 757 043 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 086 4;
  • 9) 0,072 193 514 086 4 × 2 = 0 + 0,144 387 028 172 8;
  • 10) 0,144 387 028 172 8 × 2 = 0 + 0,288 774 056 345 6;
  • 11) 0,288 774 056 345 6 × 2 = 0 + 0,577 548 112 691 2;
  • 12) 0,577 548 112 691 2 × 2 = 1 + 0,155 096 225 382 4;
  • 13) 0,155 096 225 382 4 × 2 = 0 + 0,310 192 450 764 8;
  • 14) 0,310 192 450 764 8 × 2 = 0 + 0,620 384 901 529 6;
  • 15) 0,620 384 901 529 6 × 2 = 1 + 0,240 769 803 059 2;
  • 16) 0,240 769 803 059 2 × 2 = 0 + 0,481 539 606 118 4;
  • 17) 0,481 539 606 118 4 × 2 = 0 + 0,963 079 212 236 8;
  • 18) 0,963 079 212 236 8 × 2 = 1 + 0,926 158 424 473 6;
  • 19) 0,926 158 424 473 6 × 2 = 1 + 0,852 316 848 947 2;
  • 20) 0,852 316 848 947 2 × 2 = 1 + 0,704 633 697 894 4;
  • 21) 0,704 633 697 894 4 × 2 = 1 + 0,409 267 395 788 8;
  • 22) 0,409 267 395 788 8 × 2 = 0 + 0,818 534 791 577 6;
  • 23) 0,818 534 791 577 6 × 2 = 1 + 0,637 069 583 155 2;
  • 24) 0,637 069 583 155 2 × 2 = 1 + 0,274 139 166 310 4;
  • 25) 0,274 139 166 310 4 × 2 = 0 + 0,548 278 332 620 8;
  • 26) 0,548 278 332 620 8 × 2 = 1 + 0,096 556 665 241 6;
  • 27) 0,096 556 665 241 6 × 2 = 0 + 0,193 113 330 483 2;
  • 28) 0,193 113 330 483 2 × 2 = 0 + 0,386 226 660 966 4;
  • 29) 0,386 226 660 966 4 × 2 = 0 + 0,772 453 321 932 8;
  • 30) 0,772 453 321 932 8 × 2 = 1 + 0,544 906 643 865 6;
  • 31) 0,544 906 643 865 6 × 2 = 1 + 0,089 813 287 731 2;
  • 32) 0,089 813 287 731 2 × 2 = 0 + 0,179 626 575 462 4;
  • 33) 0,179 626 575 462 4 × 2 = 0 + 0,359 253 150 924 8;
  • 34) 0,359 253 150 924 8 × 2 = 0 + 0,718 506 301 849 6;
  • 35) 0,718 506 301 849 6 × 2 = 1 + 0,437 012 603 699 2;
  • 36) 0,437 012 603 699 2 × 2 = 0 + 0,874 025 207 398 4;
  • 37) 0,874 025 207 398 4 × 2 = 1 + 0,748 050 414 796 8;
  • 38) 0,748 050 414 796 8 × 2 = 1 + 0,496 100 829 593 6;
  • 39) 0,496 100 829 593 6 × 2 = 0 + 0,992 201 659 187 2;
  • 40) 0,992 201 659 187 2 × 2 = 1 + 0,984 403 318 374 4;
  • 41) 0,984 403 318 374 4 × 2 = 1 + 0,968 806 636 748 8;
  • 42) 0,968 806 636 748 8 × 2 = 1 + 0,937 613 273 497 6;
  • 43) 0,937 613 273 497 6 × 2 = 1 + 0,875 226 546 995 2;
  • 44) 0,875 226 546 995 2 × 2 = 1 + 0,750 453 093 990 4;
  • 45) 0,750 453 093 990 4 × 2 = 1 + 0,500 906 187 980 8;
  • 46) 0,500 906 187 980 8 × 2 = 1 + 0,001 812 375 961 6;
  • 47) 0,001 812 375 961 6 × 2 = 0 + 0,003 624 751 923 2;
  • 48) 0,003 624 751 923 2 × 2 = 0 + 0,007 249 503 846 4;
  • 49) 0,007 249 503 846 4 × 2 = 0 + 0,014 499 007 692 8;
  • 50) 0,014 499 007 692 8 × 2 = 0 + 0,028 998 015 385 6;
  • 51) 0,028 998 015 385 6 × 2 = 0 + 0,057 996 030 771 2;
  • 52) 0,057 996 030 771 2 × 2 = 0 + 0,115 992 061 542 4;
  • 53) 0,115 992 061 542 4 × 2 = 0 + 0,231 984 123 084 8;
  • 54) 0,231 984 123 084 8 × 2 = 0 + 0,463 968 246 169 6;
  • 55) 0,463 968 246 169 6 × 2 = 0 + 0,927 936 492 339 2;
  • 56) 0,927 936 492 339 2 × 2 = 1 + 0,855 872 984 678 4;
  • 57) 0,855 872 984 678 4 × 2 = 1 + 0,711 745 969 356 8;
  • 58) 0,711 745 969 356 8 × 2 = 1 + 0,423 491 938 713 6;
  • 59) 0,423 491 938 713 6 × 2 = 0 + 0,846 983 877 427 2;
  • 60) 0,846 983 877 427 2 × 2 = 1 + 0,693 967 754 854 4;
  • 61) 0,693 967 754 854 4 × 2 = 1 + 0,387 935 509 708 8;
  • 62) 0,387 935 509 708 8 × 2 = 0 + 0,775 871 019 417 6;
  • 63) 0,775 871 019 417 6 × 2 = 1 + 0,551 742 038 835 2;
  • 64) 0,551 742 038 835 2 × 2 = 1 + 0,103 484 077 670 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 914 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 914 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 914 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 914 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0010 1101 1111 1100 0000 0001 1101 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 913 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100