-0,000 282 005 916 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 916 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 916 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 916 4| = 0,000 282 005 916 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 916 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 916 4 × 2 = 0 + 0,000 564 011 832 8;
  • 2) 0,000 564 011 832 8 × 2 = 0 + 0,001 128 023 665 6;
  • 3) 0,001 128 023 665 6 × 2 = 0 + 0,002 256 047 331 2;
  • 4) 0,002 256 047 331 2 × 2 = 0 + 0,004 512 094 662 4;
  • 5) 0,004 512 094 662 4 × 2 = 0 + 0,009 024 189 324 8;
  • 6) 0,009 024 189 324 8 × 2 = 0 + 0,018 048 378 649 6;
  • 7) 0,018 048 378 649 6 × 2 = 0 + 0,036 096 757 299 2;
  • 8) 0,036 096 757 299 2 × 2 = 0 + 0,072 193 514 598 4;
  • 9) 0,072 193 514 598 4 × 2 = 0 + 0,144 387 029 196 8;
  • 10) 0,144 387 029 196 8 × 2 = 0 + 0,288 774 058 393 6;
  • 11) 0,288 774 058 393 6 × 2 = 0 + 0,577 548 116 787 2;
  • 12) 0,577 548 116 787 2 × 2 = 1 + 0,155 096 233 574 4;
  • 13) 0,155 096 233 574 4 × 2 = 0 + 0,310 192 467 148 8;
  • 14) 0,310 192 467 148 8 × 2 = 0 + 0,620 384 934 297 6;
  • 15) 0,620 384 934 297 6 × 2 = 1 + 0,240 769 868 595 2;
  • 16) 0,240 769 868 595 2 × 2 = 0 + 0,481 539 737 190 4;
  • 17) 0,481 539 737 190 4 × 2 = 0 + 0,963 079 474 380 8;
  • 18) 0,963 079 474 380 8 × 2 = 1 + 0,926 158 948 761 6;
  • 19) 0,926 158 948 761 6 × 2 = 1 + 0,852 317 897 523 2;
  • 20) 0,852 317 897 523 2 × 2 = 1 + 0,704 635 795 046 4;
  • 21) 0,704 635 795 046 4 × 2 = 1 + 0,409 271 590 092 8;
  • 22) 0,409 271 590 092 8 × 2 = 0 + 0,818 543 180 185 6;
  • 23) 0,818 543 180 185 6 × 2 = 1 + 0,637 086 360 371 2;
  • 24) 0,637 086 360 371 2 × 2 = 1 + 0,274 172 720 742 4;
  • 25) 0,274 172 720 742 4 × 2 = 0 + 0,548 345 441 484 8;
  • 26) 0,548 345 441 484 8 × 2 = 1 + 0,096 690 882 969 6;
  • 27) 0,096 690 882 969 6 × 2 = 0 + 0,193 381 765 939 2;
  • 28) 0,193 381 765 939 2 × 2 = 0 + 0,386 763 531 878 4;
  • 29) 0,386 763 531 878 4 × 2 = 0 + 0,773 527 063 756 8;
  • 30) 0,773 527 063 756 8 × 2 = 1 + 0,547 054 127 513 6;
  • 31) 0,547 054 127 513 6 × 2 = 1 + 0,094 108 255 027 2;
  • 32) 0,094 108 255 027 2 × 2 = 0 + 0,188 216 510 054 4;
  • 33) 0,188 216 510 054 4 × 2 = 0 + 0,376 433 020 108 8;
  • 34) 0,376 433 020 108 8 × 2 = 0 + 0,752 866 040 217 6;
  • 35) 0,752 866 040 217 6 × 2 = 1 + 0,505 732 080 435 2;
  • 36) 0,505 732 080 435 2 × 2 = 1 + 0,011 464 160 870 4;
  • 37) 0,011 464 160 870 4 × 2 = 0 + 0,022 928 321 740 8;
  • 38) 0,022 928 321 740 8 × 2 = 0 + 0,045 856 643 481 6;
  • 39) 0,045 856 643 481 6 × 2 = 0 + 0,091 713 286 963 2;
  • 40) 0,091 713 286 963 2 × 2 = 0 + 0,183 426 573 926 4;
  • 41) 0,183 426 573 926 4 × 2 = 0 + 0,366 853 147 852 8;
  • 42) 0,366 853 147 852 8 × 2 = 0 + 0,733 706 295 705 6;
  • 43) 0,733 706 295 705 6 × 2 = 1 + 0,467 412 591 411 2;
  • 44) 0,467 412 591 411 2 × 2 = 0 + 0,934 825 182 822 4;
  • 45) 0,934 825 182 822 4 × 2 = 1 + 0,869 650 365 644 8;
  • 46) 0,869 650 365 644 8 × 2 = 1 + 0,739 300 731 289 6;
  • 47) 0,739 300 731 289 6 × 2 = 1 + 0,478 601 462 579 2;
  • 48) 0,478 601 462 579 2 × 2 = 0 + 0,957 202 925 158 4;
  • 49) 0,957 202 925 158 4 × 2 = 1 + 0,914 405 850 316 8;
  • 50) 0,914 405 850 316 8 × 2 = 1 + 0,828 811 700 633 6;
  • 51) 0,828 811 700 633 6 × 2 = 1 + 0,657 623 401 267 2;
  • 52) 0,657 623 401 267 2 × 2 = 1 + 0,315 246 802 534 4;
  • 53) 0,315 246 802 534 4 × 2 = 0 + 0,630 493 605 068 8;
  • 54) 0,630 493 605 068 8 × 2 = 1 + 0,260 987 210 137 6;
  • 55) 0,260 987 210 137 6 × 2 = 0 + 0,521 974 420 275 2;
  • 56) 0,521 974 420 275 2 × 2 = 1 + 0,043 948 840 550 4;
  • 57) 0,043 948 840 550 4 × 2 = 0 + 0,087 897 681 100 8;
  • 58) 0,087 897 681 100 8 × 2 = 0 + 0,175 795 362 201 6;
  • 59) 0,175 795 362 201 6 × 2 = 0 + 0,351 590 724 403 2;
  • 60) 0,351 590 724 403 2 × 2 = 0 + 0,703 181 448 806 4;
  • 61) 0,703 181 448 806 4 × 2 = 1 + 0,406 362 897 612 8;
  • 62) 0,406 362 897 612 8 × 2 = 0 + 0,812 725 795 225 6;
  • 63) 0,812 725 795 225 6 × 2 = 1 + 0,625 451 590 451 2;
  • 64) 0,625 451 590 451 2 × 2 = 1 + 0,250 903 180 902 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 916 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 916 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 916 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 916 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0011 0000 0010 1110 1111 0101 0000 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 909 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100