-0,000 282 005 943 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 943(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 943(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 943| = 0,000 282 005 943


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 943.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 943 × 2 = 0 + 0,000 564 011 886;
  • 2) 0,000 564 011 886 × 2 = 0 + 0,001 128 023 772;
  • 3) 0,001 128 023 772 × 2 = 0 + 0,002 256 047 544;
  • 4) 0,002 256 047 544 × 2 = 0 + 0,004 512 095 088;
  • 5) 0,004 512 095 088 × 2 = 0 + 0,009 024 190 176;
  • 6) 0,009 024 190 176 × 2 = 0 + 0,018 048 380 352;
  • 7) 0,018 048 380 352 × 2 = 0 + 0,036 096 760 704;
  • 8) 0,036 096 760 704 × 2 = 0 + 0,072 193 521 408;
  • 9) 0,072 193 521 408 × 2 = 0 + 0,144 387 042 816;
  • 10) 0,144 387 042 816 × 2 = 0 + 0,288 774 085 632;
  • 11) 0,288 774 085 632 × 2 = 0 + 0,577 548 171 264;
  • 12) 0,577 548 171 264 × 2 = 1 + 0,155 096 342 528;
  • 13) 0,155 096 342 528 × 2 = 0 + 0,310 192 685 056;
  • 14) 0,310 192 685 056 × 2 = 0 + 0,620 385 370 112;
  • 15) 0,620 385 370 112 × 2 = 1 + 0,240 770 740 224;
  • 16) 0,240 770 740 224 × 2 = 0 + 0,481 541 480 448;
  • 17) 0,481 541 480 448 × 2 = 0 + 0,963 082 960 896;
  • 18) 0,963 082 960 896 × 2 = 1 + 0,926 165 921 792;
  • 19) 0,926 165 921 792 × 2 = 1 + 0,852 331 843 584;
  • 20) 0,852 331 843 584 × 2 = 1 + 0,704 663 687 168;
  • 21) 0,704 663 687 168 × 2 = 1 + 0,409 327 374 336;
  • 22) 0,409 327 374 336 × 2 = 0 + 0,818 654 748 672;
  • 23) 0,818 654 748 672 × 2 = 1 + 0,637 309 497 344;
  • 24) 0,637 309 497 344 × 2 = 1 + 0,274 618 994 688;
  • 25) 0,274 618 994 688 × 2 = 0 + 0,549 237 989 376;
  • 26) 0,549 237 989 376 × 2 = 1 + 0,098 475 978 752;
  • 27) 0,098 475 978 752 × 2 = 0 + 0,196 951 957 504;
  • 28) 0,196 951 957 504 × 2 = 0 + 0,393 903 915 008;
  • 29) 0,393 903 915 008 × 2 = 0 + 0,787 807 830 016;
  • 30) 0,787 807 830 016 × 2 = 1 + 0,575 615 660 032;
  • 31) 0,575 615 660 032 × 2 = 1 + 0,151 231 320 064;
  • 32) 0,151 231 320 064 × 2 = 0 + 0,302 462 640 128;
  • 33) 0,302 462 640 128 × 2 = 0 + 0,604 925 280 256;
  • 34) 0,604 925 280 256 × 2 = 1 + 0,209 850 560 512;
  • 35) 0,209 850 560 512 × 2 = 0 + 0,419 701 121 024;
  • 36) 0,419 701 121 024 × 2 = 0 + 0,839 402 242 048;
  • 37) 0,839 402 242 048 × 2 = 1 + 0,678 804 484 096;
  • 38) 0,678 804 484 096 × 2 = 1 + 0,357 608 968 192;
  • 39) 0,357 608 968 192 × 2 = 0 + 0,715 217 936 384;
  • 40) 0,715 217 936 384 × 2 = 1 + 0,430 435 872 768;
  • 41) 0,430 435 872 768 × 2 = 0 + 0,860 871 745 536;
  • 42) 0,860 871 745 536 × 2 = 1 + 0,721 743 491 072;
  • 43) 0,721 743 491 072 × 2 = 1 + 0,443 486 982 144;
  • 44) 0,443 486 982 144 × 2 = 0 + 0,886 973 964 288;
  • 45) 0,886 973 964 288 × 2 = 1 + 0,773 947 928 576;
  • 46) 0,773 947 928 576 × 2 = 1 + 0,547 895 857 152;
  • 47) 0,547 895 857 152 × 2 = 1 + 0,095 791 714 304;
  • 48) 0,095 791 714 304 × 2 = 0 + 0,191 583 428 608;
  • 49) 0,191 583 428 608 × 2 = 0 + 0,383 166 857 216;
  • 50) 0,383 166 857 216 × 2 = 0 + 0,766 333 714 432;
  • 51) 0,766 333 714 432 × 2 = 1 + 0,532 667 428 864;
  • 52) 0,532 667 428 864 × 2 = 1 + 0,065 334 857 728;
  • 53) 0,065 334 857 728 × 2 = 0 + 0,130 669 715 456;
  • 54) 0,130 669 715 456 × 2 = 0 + 0,261 339 430 912;
  • 55) 0,261 339 430 912 × 2 = 0 + 0,522 678 861 824;
  • 56) 0,522 678 861 824 × 2 = 1 + 0,045 357 723 648;
  • 57) 0,045 357 723 648 × 2 = 0 + 0,090 715 447 296;
  • 58) 0,090 715 447 296 × 2 = 0 + 0,181 430 894 592;
  • 59) 0,181 430 894 592 × 2 = 0 + 0,362 861 789 184;
  • 60) 0,362 861 789 184 × 2 = 0 + 0,725 723 578 368;
  • 61) 0,725 723 578 368 × 2 = 1 + 0,451 447 156 736;
  • 62) 0,451 447 156 736 × 2 = 0 + 0,902 894 313 472;
  • 63) 0,902 894 313 472 × 2 = 1 + 0,805 788 626 944;
  • 64) 0,805 788 626 944 × 2 = 1 + 0,611 577 253 888;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 943(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 943(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 943(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011 =

0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011


Numărul zecimal -0,000 282 005 943 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0100 1101 0110 1110 0011 0001 0000 1011

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 92 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100