-0,000 282 005 949 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 005 949(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 005 949(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 005 949| = 0,000 282 005 949


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 005 949.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 005 949 × 2 = 0 + 0,000 564 011 898;
  • 2) 0,000 564 011 898 × 2 = 0 + 0,001 128 023 796;
  • 3) 0,001 128 023 796 × 2 = 0 + 0,002 256 047 592;
  • 4) 0,002 256 047 592 × 2 = 0 + 0,004 512 095 184;
  • 5) 0,004 512 095 184 × 2 = 0 + 0,009 024 190 368;
  • 6) 0,009 024 190 368 × 2 = 0 + 0,018 048 380 736;
  • 7) 0,018 048 380 736 × 2 = 0 + 0,036 096 761 472;
  • 8) 0,036 096 761 472 × 2 = 0 + 0,072 193 522 944;
  • 9) 0,072 193 522 944 × 2 = 0 + 0,144 387 045 888;
  • 10) 0,144 387 045 888 × 2 = 0 + 0,288 774 091 776;
  • 11) 0,288 774 091 776 × 2 = 0 + 0,577 548 183 552;
  • 12) 0,577 548 183 552 × 2 = 1 + 0,155 096 367 104;
  • 13) 0,155 096 367 104 × 2 = 0 + 0,310 192 734 208;
  • 14) 0,310 192 734 208 × 2 = 0 + 0,620 385 468 416;
  • 15) 0,620 385 468 416 × 2 = 1 + 0,240 770 936 832;
  • 16) 0,240 770 936 832 × 2 = 0 + 0,481 541 873 664;
  • 17) 0,481 541 873 664 × 2 = 0 + 0,963 083 747 328;
  • 18) 0,963 083 747 328 × 2 = 1 + 0,926 167 494 656;
  • 19) 0,926 167 494 656 × 2 = 1 + 0,852 334 989 312;
  • 20) 0,852 334 989 312 × 2 = 1 + 0,704 669 978 624;
  • 21) 0,704 669 978 624 × 2 = 1 + 0,409 339 957 248;
  • 22) 0,409 339 957 248 × 2 = 0 + 0,818 679 914 496;
  • 23) 0,818 679 914 496 × 2 = 1 + 0,637 359 828 992;
  • 24) 0,637 359 828 992 × 2 = 1 + 0,274 719 657 984;
  • 25) 0,274 719 657 984 × 2 = 0 + 0,549 439 315 968;
  • 26) 0,549 439 315 968 × 2 = 1 + 0,098 878 631 936;
  • 27) 0,098 878 631 936 × 2 = 0 + 0,197 757 263 872;
  • 28) 0,197 757 263 872 × 2 = 0 + 0,395 514 527 744;
  • 29) 0,395 514 527 744 × 2 = 0 + 0,791 029 055 488;
  • 30) 0,791 029 055 488 × 2 = 1 + 0,582 058 110 976;
  • 31) 0,582 058 110 976 × 2 = 1 + 0,164 116 221 952;
  • 32) 0,164 116 221 952 × 2 = 0 + 0,328 232 443 904;
  • 33) 0,328 232 443 904 × 2 = 0 + 0,656 464 887 808;
  • 34) 0,656 464 887 808 × 2 = 1 + 0,312 929 775 616;
  • 35) 0,312 929 775 616 × 2 = 0 + 0,625 859 551 232;
  • 36) 0,625 859 551 232 × 2 = 1 + 0,251 719 102 464;
  • 37) 0,251 719 102 464 × 2 = 0 + 0,503 438 204 928;
  • 38) 0,503 438 204 928 × 2 = 1 + 0,006 876 409 856;
  • 39) 0,006 876 409 856 × 2 = 0 + 0,013 752 819 712;
  • 40) 0,013 752 819 712 × 2 = 0 + 0,027 505 639 424;
  • 41) 0,027 505 639 424 × 2 = 0 + 0,055 011 278 848;
  • 42) 0,055 011 278 848 × 2 = 0 + 0,110 022 557 696;
  • 43) 0,110 022 557 696 × 2 = 0 + 0,220 045 115 392;
  • 44) 0,220 045 115 392 × 2 = 0 + 0,440 090 230 784;
  • 45) 0,440 090 230 784 × 2 = 0 + 0,880 180 461 568;
  • 46) 0,880 180 461 568 × 2 = 1 + 0,760 360 923 136;
  • 47) 0,760 360 923 136 × 2 = 1 + 0,520 721 846 272;
  • 48) 0,520 721 846 272 × 2 = 1 + 0,041 443 692 544;
  • 49) 0,041 443 692 544 × 2 = 0 + 0,082 887 385 088;
  • 50) 0,082 887 385 088 × 2 = 0 + 0,165 774 770 176;
  • 51) 0,165 774 770 176 × 2 = 0 + 0,331 549 540 352;
  • 52) 0,331 549 540 352 × 2 = 0 + 0,663 099 080 704;
  • 53) 0,663 099 080 704 × 2 = 1 + 0,326 198 161 408;
  • 54) 0,326 198 161 408 × 2 = 0 + 0,652 396 322 816;
  • 55) 0,652 396 322 816 × 2 = 1 + 0,304 792 645 632;
  • 56) 0,304 792 645 632 × 2 = 0 + 0,609 585 291 264;
  • 57) 0,609 585 291 264 × 2 = 1 + 0,219 170 582 528;
  • 58) 0,219 170 582 528 × 2 = 0 + 0,438 341 165 056;
  • 59) 0,438 341 165 056 × 2 = 0 + 0,876 682 330 112;
  • 60) 0,876 682 330 112 × 2 = 1 + 0,753 364 660 224;
  • 61) 0,753 364 660 224 × 2 = 1 + 0,506 729 320 448;
  • 62) 0,506 729 320 448 × 2 = 1 + 0,013 458 640 896;
  • 63) 0,013 458 640 896 × 2 = 0 + 0,026 917 281 792;
  • 64) 0,026 917 281 792 × 2 = 0 + 0,053 834 563 584;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 005 949(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 005 949(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 005 949(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100 =

0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100


Numărul zecimal -0,000 282 005 949 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0100 0110 0101 0100 0000 0111 0000 1010 1001 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 005 849 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100