-0,016 738 891 601 562 496 529 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,016 738 891 601 562 496 529 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,016 738 891 601 562 496 529 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,016 738 891 601 562 496 529 5| = 0,016 738 891 601 562 496 529 5


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,016 738 891 601 562 496 529 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,016 738 891 601 562 496 529 5 × 2 = 0 + 0,033 477 783 203 124 993 059;
  • 2) 0,033 477 783 203 124 993 059 × 2 = 0 + 0,066 955 566 406 249 986 118;
  • 3) 0,066 955 566 406 249 986 118 × 2 = 0 + 0,133 911 132 812 499 972 236;
  • 4) 0,133 911 132 812 499 972 236 × 2 = 0 + 0,267 822 265 624 999 944 472;
  • 5) 0,267 822 265 624 999 944 472 × 2 = 0 + 0,535 644 531 249 999 888 944;
  • 6) 0,535 644 531 249 999 888 944 × 2 = 1 + 0,071 289 062 499 999 777 888;
  • 7) 0,071 289 062 499 999 777 888 × 2 = 0 + 0,142 578 124 999 999 555 776;
  • 8) 0,142 578 124 999 999 555 776 × 2 = 0 + 0,285 156 249 999 999 111 552;
  • 9) 0,285 156 249 999 999 111 552 × 2 = 0 + 0,570 312 499 999 998 223 104;
  • 10) 0,570 312 499 999 998 223 104 × 2 = 1 + 0,140 624 999 999 996 446 208;
  • 11) 0,140 624 999 999 996 446 208 × 2 = 0 + 0,281 249 999 999 992 892 416;
  • 12) 0,281 249 999 999 992 892 416 × 2 = 0 + 0,562 499 999 999 985 784 832;
  • 13) 0,562 499 999 999 985 784 832 × 2 = 1 + 0,124 999 999 999 971 569 664;
  • 14) 0,124 999 999 999 971 569 664 × 2 = 0 + 0,249 999 999 999 943 139 328;
  • 15) 0,249 999 999 999 943 139 328 × 2 = 0 + 0,499 999 999 999 886 278 656;
  • 16) 0,499 999 999 999 886 278 656 × 2 = 0 + 0,999 999 999 999 772 557 312;
  • 17) 0,999 999 999 999 772 557 312 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 545 114 624;
  • 18) 0,999 999 999 999 545 114 624 × 2 = 1 + 0,999 999 999 999 090 229 248;
  • 19) 0,999 999 999 999 090 229 248 × 2 = 1 + 0,999 999 999 998 180 458 496;
  • 20) 0,999 999 999 998 180 458 496 × 2 = 1 + 0,999 999 999 996 360 916 992;
  • 21) 0,999 999 999 996 360 916 992 × 2 = 1 + 0,999 999 999 992 721 833 984;
  • 22) 0,999 999 999 992 721 833 984 × 2 = 1 + 0,999 999 999 985 443 667 968;
  • 23) 0,999 999 999 985 443 667 968 × 2 = 1 + 0,999 999 999 970 887 335 936;
  • 24) 0,999 999 999 970 887 335 936 × 2 = 1 + 0,999 999 999 941 774 671 872;
  • 25) 0,999 999 999 941 774 671 872 × 2 = 1 + 0,999 999 999 883 549 343 744;
  • 26) 0,999 999 999 883 549 343 744 × 2 = 1 + 0,999 999 999 767 098 687 488;
  • 27) 0,999 999 999 767 098 687 488 × 2 = 1 + 0,999 999 999 534 197 374 976;
  • 28) 0,999 999 999 534 197 374 976 × 2 = 1 + 0,999 999 999 068 394 749 952;
  • 29) 0,999 999 999 068 394 749 952 × 2 = 1 + 0,999 999 998 136 789 499 904;
  • 30) 0,999 999 998 136 789 499 904 × 2 = 1 + 0,999 999 996 273 578 999 808;
  • 31) 0,999 999 996 273 578 999 808 × 2 = 1 + 0,999 999 992 547 157 999 616;
  • 32) 0,999 999 992 547 157 999 616 × 2 = 1 + 0,999 999 985 094 315 999 232;
  • 33) 0,999 999 985 094 315 999 232 × 2 = 1 + 0,999 999 970 188 631 998 464;
  • 34) 0,999 999 970 188 631 998 464 × 2 = 1 + 0,999 999 940 377 263 996 928;
  • 35) 0,999 999 940 377 263 996 928 × 2 = 1 + 0,999 999 880 754 527 993 856;
  • 36) 0,999 999 880 754 527 993 856 × 2 = 1 + 0,999 999 761 509 055 987 712;
  • 37) 0,999 999 761 509 055 987 712 × 2 = 1 + 0,999 999 523 018 111 975 424;
  • 38) 0,999 999 523 018 111 975 424 × 2 = 1 + 0,999 999 046 036 223 950 848;
  • 39) 0,999 999 046 036 223 950 848 × 2 = 1 + 0,999 998 092 072 447 901 696;
  • 40) 0,999 998 092 072 447 901 696 × 2 = 1 + 0,999 996 184 144 895 803 392;
  • 41) 0,999 996 184 144 895 803 392 × 2 = 1 + 0,999 992 368 289 791 606 784;
  • 42) 0,999 992 368 289 791 606 784 × 2 = 1 + 0,999 984 736 579 583 213 568;
  • 43) 0,999 984 736 579 583 213 568 × 2 = 1 + 0,999 969 473 159 166 427 136;
  • 44) 0,999 969 473 159 166 427 136 × 2 = 1 + 0,999 938 946 318 332 854 272;
  • 45) 0,999 938 946 318 332 854 272 × 2 = 1 + 0,999 877 892 636 665 708 544;
  • 46) 0,999 877 892 636 665 708 544 × 2 = 1 + 0,999 755 785 273 331 417 088;
  • 47) 0,999 755 785 273 331 417 088 × 2 = 1 + 0,999 511 570 546 662 834 176;
  • 48) 0,999 511 570 546 662 834 176 × 2 = 1 + 0,999 023 141 093 325 668 352;
  • 49) 0,999 023 141 093 325 668 352 × 2 = 1 + 0,998 046 282 186 651 336 704;
  • 50) 0,998 046 282 186 651 336 704 × 2 = 1 + 0,996 092 564 373 302 673 408;
  • 51) 0,996 092 564 373 302 673 408 × 2 = 1 + 0,992 185 128 746 605 346 816;
  • 52) 0,992 185 128 746 605 346 816 × 2 = 1 + 0,984 370 257 493 210 693 632;
  • 53) 0,984 370 257 493 210 693 632 × 2 = 1 + 0,968 740 514 986 421 387 264;
  • 54) 0,968 740 514 986 421 387 264 × 2 = 1 + 0,937 481 029 972 842 774 528;
  • 55) 0,937 481 029 972 842 774 528 × 2 = 1 + 0,874 962 059 945 685 549 056;
  • 56) 0,874 962 059 945 685 549 056 × 2 = 1 + 0,749 924 119 891 371 098 112;
  • 57) 0,749 924 119 891 371 098 112 × 2 = 1 + 0,499 848 239 782 742 196 224;
  • 58) 0,499 848 239 782 742 196 224 × 2 = 0 + 0,999 696 479 565 484 392 448;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,016 738 891 601 562 496 529 5(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,016 738 891 601 562 496 529 5(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 6 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,016 738 891 601 562 496 529 5(10) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2) =

0,0000 0100 0100 1000 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 10(2) × 20 =

1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110(2) × 2-6


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -6

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-6 + 2(11-1) - 1 =

(-6 + 1 023)(10) =

1 017(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 017 : 2 = 508 + 1;
  • 508 : 2 = 254 + 0;
  • 254 : 2 = 127 + 0;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1017(10) =

011 1111 1001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110 =

0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1001

Mantisă (52 biți) =
0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110


Numărul zecimal -0,016 738 891 601 562 496 529 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 1001 - 0001 0010 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110

Distribuie

» Scriere -0,016 738 891 601 562 496 533 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100