0,000 000 000 000 000 000 008 46 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 46(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 46(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 46.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 46 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 92;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 84;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 68;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 36;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 270 72;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 270 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 541 44;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 541 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 082 88;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 082 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 165 76;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 165 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 331 52;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 331 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 663 04;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 663 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 326 08;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 326 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 652 16;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 652 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 304 32;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 304 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 138 608 64;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 138 608 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 277 217 28;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 277 217 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 554 434 56;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 554 434 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 108 869 12;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 108 869 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 217 738 24;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 217 738 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 435 476 48;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 435 476 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 870 952 96;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 870 952 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 741 905 92;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 741 905 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 483 811 84;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 483 811 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 070 967 623 68;
  • 24) 0,000 000 000 000 070 967 623 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 141 935 247 36;
  • 25) 0,000 000 000 000 141 935 247 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 283 870 494 72;
  • 26) 0,000 000 000 000 283 870 494 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 567 740 989 44;
  • 27) 0,000 000 000 000 567 740 989 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 135 481 978 88;
  • 28) 0,000 000 000 001 135 481 978 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 270 963 957 76;
  • 29) 0,000 000 000 002 270 963 957 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 541 927 915 52;
  • 30) 0,000 000 000 004 541 927 915 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 083 855 831 04;
  • 31) 0,000 000 000 009 083 855 831 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 167 711 662 08;
  • 32) 0,000 000 000 018 167 711 662 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 335 423 324 16;
  • 33) 0,000 000 000 036 335 423 324 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 670 846 648 32;
  • 34) 0,000 000 000 072 670 846 648 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 341 693 296 64;
  • 35) 0,000 000 000 145 341 693 296 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 290 683 386 593 28;
  • 36) 0,000 000 000 290 683 386 593 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 581 366 773 186 56;
  • 37) 0,000 000 000 581 366 773 186 56 × 2 = 0 + 0,000 000 001 162 733 546 373 12;
  • 38) 0,000 000 001 162 733 546 373 12 × 2 = 0 + 0,000 000 002 325 467 092 746 24;
  • 39) 0,000 000 002 325 467 092 746 24 × 2 = 0 + 0,000 000 004 650 934 185 492 48;
  • 40) 0,000 000 004 650 934 185 492 48 × 2 = 0 + 0,000 000 009 301 868 370 984 96;
  • 41) 0,000 000 009 301 868 370 984 96 × 2 = 0 + 0,000 000 018 603 736 741 969 92;
  • 42) 0,000 000 018 603 736 741 969 92 × 2 = 0 + 0,000 000 037 207 473 483 939 84;
  • 43) 0,000 000 037 207 473 483 939 84 × 2 = 0 + 0,000 000 074 414 946 967 879 68;
  • 44) 0,000 000 074 414 946 967 879 68 × 2 = 0 + 0,000 000 148 829 893 935 759 36;
  • 45) 0,000 000 148 829 893 935 759 36 × 2 = 0 + 0,000 000 297 659 787 871 518 72;
  • 46) 0,000 000 297 659 787 871 518 72 × 2 = 0 + 0,000 000 595 319 575 743 037 44;
  • 47) 0,000 000 595 319 575 743 037 44 × 2 = 0 + 0,000 001 190 639 151 486 074 88;
  • 48) 0,000 001 190 639 151 486 074 88 × 2 = 0 + 0,000 002 381 278 302 972 149 76;
  • 49) 0,000 002 381 278 302 972 149 76 × 2 = 0 + 0,000 004 762 556 605 944 299 52;
  • 50) 0,000 004 762 556 605 944 299 52 × 2 = 0 + 0,000 009 525 113 211 888 599 04;
  • 51) 0,000 009 525 113 211 888 599 04 × 2 = 0 + 0,000 019 050 226 423 777 198 08;
  • 52) 0,000 019 050 226 423 777 198 08 × 2 = 0 + 0,000 038 100 452 847 554 396 16;
  • 53) 0,000 038 100 452 847 554 396 16 × 2 = 0 + 0,000 076 200 905 695 108 792 32;
  • 54) 0,000 076 200 905 695 108 792 32 × 2 = 0 + 0,000 152 401 811 390 217 584 64;
  • 55) 0,000 152 401 811 390 217 584 64 × 2 = 0 + 0,000 304 803 622 780 435 169 28;
  • 56) 0,000 304 803 622 780 435 169 28 × 2 = 0 + 0,000 609 607 245 560 870 338 56;
  • 57) 0,000 609 607 245 560 870 338 56 × 2 = 0 + 0,001 219 214 491 121 740 677 12;
  • 58) 0,001 219 214 491 121 740 677 12 × 2 = 0 + 0,002 438 428 982 243 481 354 24;
  • 59) 0,002 438 428 982 243 481 354 24 × 2 = 0 + 0,004 876 857 964 486 962 708 48;
  • 60) 0,004 876 857 964 486 962 708 48 × 2 = 0 + 0,009 753 715 928 973 925 416 96;
  • 61) 0,009 753 715 928 973 925 416 96 × 2 = 0 + 0,019 507 431 857 947 850 833 92;
  • 62) 0,019 507 431 857 947 850 833 92 × 2 = 0 + 0,039 014 863 715 895 701 667 84;
  • 63) 0,039 014 863 715 895 701 667 84 × 2 = 0 + 0,078 029 727 431 791 403 335 68;
  • 64) 0,078 029 727 431 791 403 335 68 × 2 = 0 + 0,156 059 454 863 582 806 671 36;
  • 65) 0,156 059 454 863 582 806 671 36 × 2 = 0 + 0,312 118 909 727 165 613 342 72;
  • 66) 0,312 118 909 727 165 613 342 72 × 2 = 0 + 0,624 237 819 454 331 226 685 44;
  • 67) 0,624 237 819 454 331 226 685 44 × 2 = 1 + 0,248 475 638 908 662 453 370 88;
  • 68) 0,248 475 638 908 662 453 370 88 × 2 = 0 + 0,496 951 277 817 324 906 741 76;
  • 69) 0,496 951 277 817 324 906 741 76 × 2 = 0 + 0,993 902 555 634 649 813 483 52;
  • 70) 0,993 902 555 634 649 813 483 52 × 2 = 1 + 0,987 805 111 269 299 626 967 04;
  • 71) 0,987 805 111 269 299 626 967 04 × 2 = 1 + 0,975 610 222 538 599 253 934 08;
  • 72) 0,975 610 222 538 599 253 934 08 × 2 = 1 + 0,951 220 445 077 198 507 868 16;
  • 73) 0,951 220 445 077 198 507 868 16 × 2 = 1 + 0,902 440 890 154 397 015 736 32;
  • 74) 0,902 440 890 154 397 015 736 32 × 2 = 1 + 0,804 881 780 308 794 031 472 64;
  • 75) 0,804 881 780 308 794 031 472 64 × 2 = 1 + 0,609 763 560 617 588 062 945 28;
  • 76) 0,609 763 560 617 588 062 945 28 × 2 = 1 + 0,219 527 121 235 176 125 890 56;
  • 77) 0,219 527 121 235 176 125 890 56 × 2 = 0 + 0,439 054 242 470 352 251 781 12;
  • 78) 0,439 054 242 470 352 251 781 12 × 2 = 0 + 0,878 108 484 940 704 503 562 24;
  • 79) 0,878 108 484 940 704 503 562 24 × 2 = 1 + 0,756 216 969 881 409 007 124 48;
  • 80) 0,756 216 969 881 409 007 124 48 × 2 = 1 + 0,512 433 939 762 818 014 248 96;
  • 81) 0,512 433 939 762 818 014 248 96 × 2 = 1 + 0,024 867 879 525 636 028 497 92;
  • 82) 0,024 867 879 525 636 028 497 92 × 2 = 0 + 0,049 735 759 051 272 056 995 84;
  • 83) 0,049 735 759 051 272 056 995 84 × 2 = 0 + 0,099 471 518 102 544 113 991 68;
  • 84) 0,099 471 518 102 544 113 991 68 × 2 = 0 + 0,198 943 036 205 088 227 983 36;
  • 85) 0,198 943 036 205 088 227 983 36 × 2 = 0 + 0,397 886 072 410 176 455 966 72;
  • 86) 0,397 886 072 410 176 455 966 72 × 2 = 0 + 0,795 772 144 820 352 911 933 44;
  • 87) 0,795 772 144 820 352 911 933 44 × 2 = 1 + 0,591 544 289 640 705 823 866 88;
  • 88) 0,591 544 289 640 705 823 866 88 × 2 = 1 + 0,183 088 579 281 411 647 733 76;
  • 89) 0,183 088 579 281 411 647 733 76 × 2 = 0 + 0,366 177 158 562 823 295 467 52;
  • 90) 0,366 177 158 562 823 295 467 52 × 2 = 0 + 0,732 354 317 125 646 590 935 04;
  • 91) 0,732 354 317 125 646 590 935 04 × 2 = 1 + 0,464 708 634 251 293 181 870 08;
  • 92) 0,464 708 634 251 293 181 870 08 × 2 = 0 + 0,929 417 268 502 586 363 740 16;
  • 93) 0,929 417 268 502 586 363 740 16 × 2 = 1 + 0,858 834 537 005 172 727 480 32;
  • 94) 0,858 834 537 005 172 727 480 32 × 2 = 1 + 0,717 669 074 010 345 454 960 64;
  • 95) 0,717 669 074 010 345 454 960 64 × 2 = 1 + 0,435 338 148 020 690 909 921 28;
  • 96) 0,435 338 148 020 690 909 921 28 × 2 = 0 + 0,870 676 296 041 381 819 842 56;
  • 97) 0,870 676 296 041 381 819 842 56 × 2 = 1 + 0,741 352 592 082 763 639 685 12;
  • 98) 0,741 352 592 082 763 639 685 12 × 2 = 1 + 0,482 705 184 165 527 279 370 24;
  • 99) 0,482 705 184 165 527 279 370 24 × 2 = 0 + 0,965 410 368 331 054 558 740 48;
  • 100) 0,965 410 368 331 054 558 740 48 × 2 = 1 + 0,930 820 736 662 109 117 480 96;
  • 101) 0,930 820 736 662 109 117 480 96 × 2 = 1 + 0,861 641 473 324 218 234 961 92;
  • 102) 0,861 641 473 324 218 234 961 92 × 2 = 1 + 0,723 282 946 648 436 469 923 84;
  • 103) 0,723 282 946 648 436 469 923 84 × 2 = 1 + 0,446 565 893 296 872 939 847 68;
  • 104) 0,446 565 893 296 872 939 847 68 × 2 = 0 + 0,893 131 786 593 745 879 695 36;
  • 105) 0,893 131 786 593 745 879 695 36 × 2 = 1 + 0,786 263 573 187 491 759 390 72;
  • 106) 0,786 263 573 187 491 759 390 72 × 2 = 1 + 0,572 527 146 374 983 518 781 44;
  • 107) 0,572 527 146 374 983 518 781 44 × 2 = 1 + 0,145 054 292 749 967 037 562 88;
  • 108) 0,145 054 292 749 967 037 562 88 × 2 = 0 + 0,290 108 585 499 934 075 125 76;
  • 109) 0,290 108 585 499 934 075 125 76 × 2 = 0 + 0,580 217 170 999 868 150 251 52;
  • 110) 0,580 217 170 999 868 150 251 52 × 2 = 1 + 0,160 434 341 999 736 300 503 04;
  • 111) 0,160 434 341 999 736 300 503 04 × 2 = 0 + 0,320 868 683 999 472 601 006 08;
  • 112) 0,320 868 683 999 472 601 006 08 × 2 = 0 + 0,641 737 367 998 945 202 012 16;
  • 113) 0,641 737 367 998 945 202 012 16 × 2 = 1 + 0,283 474 735 997 890 404 024 32;
  • 114) 0,283 474 735 997 890 404 024 32 × 2 = 0 + 0,566 949 471 995 780 808 048 64;
  • 115) 0,566 949 471 995 780 808 048 64 × 2 = 1 + 0,133 898 943 991 561 616 097 28;
  • 116) 0,133 898 943 991 561 616 097 28 × 2 = 0 + 0,267 797 887 983 123 232 194 56;
  • 117) 0,267 797 887 983 123 232 194 56 × 2 = 0 + 0,535 595 775 966 246 464 389 12;
  • 118) 0,535 595 775 966 246 464 389 12 × 2 = 1 + 0,071 191 551 932 492 928 778 24;
  • 119) 0,071 191 551 932 492 928 778 24 × 2 = 0 + 0,142 383 103 864 985 857 556 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 46(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 0011 1000 0011 0010 1110 1101 1110 1110 0100 1010 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 46(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 0011 1000 0011 0010 1110 1101 1110 1110 0100 1010 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 46(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 0011 1000 0011 0010 1110 1101 1110 1110 0100 1010 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0111 1111 0011 1000 0011 0010 1110 1101 1110 1110 0100 1010 010(2) × 20 =

1,0011 1111 1001 1100 0001 1001 0111 0110 1111 0111 0010 0101 0010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 1111 1001 1100 0001 1001 0111 0110 1111 0111 0010 0101 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 1111 1001 1100 0001 1001 0111 0110 1111 0111 0010 0101 0010 =

0011 1111 1001 1100 0001 1001 0111 0110 1111 0111 0010 0101 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0011 1111 1001 1100 0001 1001 0111 0110 1111 0111 0010 0101 0010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 46 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0011 1111 1001 1100 0001 1001 0111 0110 1111 0111 0010 0101 0010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 11 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100