0,000 000 000 000 000 000 008 49 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 49(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 49(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 49.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 49 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 016 98;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 016 98 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 033 96;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 033 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 067 92;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 067 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 135 84;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 135 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 271 68;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 271 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 543 36;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 543 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 086 72;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 086 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 173 44;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 173 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 346 88;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 346 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 693 76;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 693 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 387 52;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 387 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 775 04;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 775 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 550 08;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 550 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 100 16;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 100 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 278 200 32;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 278 200 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 556 400 64;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 556 400 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 112 801 28;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 112 801 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 225 602 56;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 225 602 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 451 205 12;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 451 205 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 902 410 24;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 902 410 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 804 820 48;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 804 820 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 609 640 96;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 609 640 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 219 281 92;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 219 281 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 438 563 84;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 438 563 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 284 877 127 68;
  • 26) 0,000 000 000 000 284 877 127 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 569 754 255 36;
  • 27) 0,000 000 000 000 569 754 255 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 139 508 510 72;
  • 28) 0,000 000 000 001 139 508 510 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 279 017 021 44;
  • 29) 0,000 000 000 002 279 017 021 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 558 034 042 88;
  • 30) 0,000 000 000 004 558 034 042 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 116 068 085 76;
  • 31) 0,000 000 000 009 116 068 085 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 232 136 171 52;
  • 32) 0,000 000 000 018 232 136 171 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 464 272 343 04;
  • 33) 0,000 000 000 036 464 272 343 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 072 928 544 686 08;
  • 34) 0,000 000 000 072 928 544 686 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 145 857 089 372 16;
  • 35) 0,000 000 000 145 857 089 372 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 291 714 178 744 32;
  • 36) 0,000 000 000 291 714 178 744 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 583 428 357 488 64;
  • 37) 0,000 000 000 583 428 357 488 64 × 2 = 0 + 0,000 000 001 166 856 714 977 28;
  • 38) 0,000 000 001 166 856 714 977 28 × 2 = 0 + 0,000 000 002 333 713 429 954 56;
  • 39) 0,000 000 002 333 713 429 954 56 × 2 = 0 + 0,000 000 004 667 426 859 909 12;
  • 40) 0,000 000 004 667 426 859 909 12 × 2 = 0 + 0,000 000 009 334 853 719 818 24;
  • 41) 0,000 000 009 334 853 719 818 24 × 2 = 0 + 0,000 000 018 669 707 439 636 48;
  • 42) 0,000 000 018 669 707 439 636 48 × 2 = 0 + 0,000 000 037 339 414 879 272 96;
  • 43) 0,000 000 037 339 414 879 272 96 × 2 = 0 + 0,000 000 074 678 829 758 545 92;
  • 44) 0,000 000 074 678 829 758 545 92 × 2 = 0 + 0,000 000 149 357 659 517 091 84;
  • 45) 0,000 000 149 357 659 517 091 84 × 2 = 0 + 0,000 000 298 715 319 034 183 68;
  • 46) 0,000 000 298 715 319 034 183 68 × 2 = 0 + 0,000 000 597 430 638 068 367 36;
  • 47) 0,000 000 597 430 638 068 367 36 × 2 = 0 + 0,000 001 194 861 276 136 734 72;
  • 48) 0,000 001 194 861 276 136 734 72 × 2 = 0 + 0,000 002 389 722 552 273 469 44;
  • 49) 0,000 002 389 722 552 273 469 44 × 2 = 0 + 0,000 004 779 445 104 546 938 88;
  • 50) 0,000 004 779 445 104 546 938 88 × 2 = 0 + 0,000 009 558 890 209 093 877 76;
  • 51) 0,000 009 558 890 209 093 877 76 × 2 = 0 + 0,000 019 117 780 418 187 755 52;
  • 52) 0,000 019 117 780 418 187 755 52 × 2 = 0 + 0,000 038 235 560 836 375 511 04;
  • 53) 0,000 038 235 560 836 375 511 04 × 2 = 0 + 0,000 076 471 121 672 751 022 08;
  • 54) 0,000 076 471 121 672 751 022 08 × 2 = 0 + 0,000 152 942 243 345 502 044 16;
  • 55) 0,000 152 942 243 345 502 044 16 × 2 = 0 + 0,000 305 884 486 691 004 088 32;
  • 56) 0,000 305 884 486 691 004 088 32 × 2 = 0 + 0,000 611 768 973 382 008 176 64;
  • 57) 0,000 611 768 973 382 008 176 64 × 2 = 0 + 0,001 223 537 946 764 016 353 28;
  • 58) 0,001 223 537 946 764 016 353 28 × 2 = 0 + 0,002 447 075 893 528 032 706 56;
  • 59) 0,002 447 075 893 528 032 706 56 × 2 = 0 + 0,004 894 151 787 056 065 413 12;
  • 60) 0,004 894 151 787 056 065 413 12 × 2 = 0 + 0,009 788 303 574 112 130 826 24;
  • 61) 0,009 788 303 574 112 130 826 24 × 2 = 0 + 0,019 576 607 148 224 261 652 48;
  • 62) 0,019 576 607 148 224 261 652 48 × 2 = 0 + 0,039 153 214 296 448 523 304 96;
  • 63) 0,039 153 214 296 448 523 304 96 × 2 = 0 + 0,078 306 428 592 897 046 609 92;
  • 64) 0,078 306 428 592 897 046 609 92 × 2 = 0 + 0,156 612 857 185 794 093 219 84;
  • 65) 0,156 612 857 185 794 093 219 84 × 2 = 0 + 0,313 225 714 371 588 186 439 68;
  • 66) 0,313 225 714 371 588 186 439 68 × 2 = 0 + 0,626 451 428 743 176 372 879 36;
  • 67) 0,626 451 428 743 176 372 879 36 × 2 = 1 + 0,252 902 857 486 352 745 758 72;
  • 68) 0,252 902 857 486 352 745 758 72 × 2 = 0 + 0,505 805 714 972 705 491 517 44;
  • 69) 0,505 805 714 972 705 491 517 44 × 2 = 1 + 0,011 611 429 945 410 983 034 88;
  • 70) 0,011 611 429 945 410 983 034 88 × 2 = 0 + 0,023 222 859 890 821 966 069 76;
  • 71) 0,023 222 859 890 821 966 069 76 × 2 = 0 + 0,046 445 719 781 643 932 139 52;
  • 72) 0,046 445 719 781 643 932 139 52 × 2 = 0 + 0,092 891 439 563 287 864 279 04;
  • 73) 0,092 891 439 563 287 864 279 04 × 2 = 0 + 0,185 782 879 126 575 728 558 08;
  • 74) 0,185 782 879 126 575 728 558 08 × 2 = 0 + 0,371 565 758 253 151 457 116 16;
  • 75) 0,371 565 758 253 151 457 116 16 × 2 = 0 + 0,743 131 516 506 302 914 232 32;
  • 76) 0,743 131 516 506 302 914 232 32 × 2 = 1 + 0,486 263 033 012 605 828 464 64;
  • 77) 0,486 263 033 012 605 828 464 64 × 2 = 0 + 0,972 526 066 025 211 656 929 28;
  • 78) 0,972 526 066 025 211 656 929 28 × 2 = 1 + 0,945 052 132 050 423 313 858 56;
  • 79) 0,945 052 132 050 423 313 858 56 × 2 = 1 + 0,890 104 264 100 846 627 717 12;
  • 80) 0,890 104 264 100 846 627 717 12 × 2 = 1 + 0,780 208 528 201 693 255 434 24;
  • 81) 0,780 208 528 201 693 255 434 24 × 2 = 1 + 0,560 417 056 403 386 510 868 48;
  • 82) 0,560 417 056 403 386 510 868 48 × 2 = 1 + 0,120 834 112 806 773 021 736 96;
  • 83) 0,120 834 112 806 773 021 736 96 × 2 = 0 + 0,241 668 225 613 546 043 473 92;
  • 84) 0,241 668 225 613 546 043 473 92 × 2 = 0 + 0,483 336 451 227 092 086 947 84;
  • 85) 0,483 336 451 227 092 086 947 84 × 2 = 0 + 0,966 672 902 454 184 173 895 68;
  • 86) 0,966 672 902 454 184 173 895 68 × 2 = 1 + 0,933 345 804 908 368 347 791 36;
  • 87) 0,933 345 804 908 368 347 791 36 × 2 = 1 + 0,866 691 609 816 736 695 582 72;
  • 88) 0,866 691 609 816 736 695 582 72 × 2 = 1 + 0,733 383 219 633 473 391 165 44;
  • 89) 0,733 383 219 633 473 391 165 44 × 2 = 1 + 0,466 766 439 266 946 782 330 88;
  • 90) 0,466 766 439 266 946 782 330 88 × 2 = 0 + 0,933 532 878 533 893 564 661 76;
  • 91) 0,933 532 878 533 893 564 661 76 × 2 = 1 + 0,867 065 757 067 787 129 323 52;
  • 92) 0,867 065 757 067 787 129 323 52 × 2 = 1 + 0,734 131 514 135 574 258 647 04;
  • 93) 0,734 131 514 135 574 258 647 04 × 2 = 1 + 0,468 263 028 271 148 517 294 08;
  • 94) 0,468 263 028 271 148 517 294 08 × 2 = 0 + 0,936 526 056 542 297 034 588 16;
  • 95) 0,936 526 056 542 297 034 588 16 × 2 = 1 + 0,873 052 113 084 594 069 176 32;
  • 96) 0,873 052 113 084 594 069 176 32 × 2 = 1 + 0,746 104 226 169 188 138 352 64;
  • 97) 0,746 104 226 169 188 138 352 64 × 2 = 1 + 0,492 208 452 338 376 276 705 28;
  • 98) 0,492 208 452 338 376 276 705 28 × 2 = 0 + 0,984 416 904 676 752 553 410 56;
  • 99) 0,984 416 904 676 752 553 410 56 × 2 = 1 + 0,968 833 809 353 505 106 821 12;
  • 100) 0,968 833 809 353 505 106 821 12 × 2 = 1 + 0,937 667 618 707 010 213 642 24;
  • 101) 0,937 667 618 707 010 213 642 24 × 2 = 1 + 0,875 335 237 414 020 427 284 48;
  • 102) 0,875 335 237 414 020 427 284 48 × 2 = 1 + 0,750 670 474 828 040 854 568 96;
  • 103) 0,750 670 474 828 040 854 568 96 × 2 = 1 + 0,501 340 949 656 081 709 137 92;
  • 104) 0,501 340 949 656 081 709 137 92 × 2 = 1 + 0,002 681 899 312 163 418 275 84;
  • 105) 0,002 681 899 312 163 418 275 84 × 2 = 0 + 0,005 363 798 624 326 836 551 68;
  • 106) 0,005 363 798 624 326 836 551 68 × 2 = 0 + 0,010 727 597 248 653 673 103 36;
  • 107) 0,010 727 597 248 653 673 103 36 × 2 = 0 + 0,021 455 194 497 307 346 206 72;
  • 108) 0,021 455 194 497 307 346 206 72 × 2 = 0 + 0,042 910 388 994 614 692 413 44;
  • 109) 0,042 910 388 994 614 692 413 44 × 2 = 0 + 0,085 820 777 989 229 384 826 88;
  • 110) 0,085 820 777 989 229 384 826 88 × 2 = 0 + 0,171 641 555 978 458 769 653 76;
  • 111) 0,171 641 555 978 458 769 653 76 × 2 = 0 + 0,343 283 111 956 917 539 307 52;
  • 112) 0,343 283 111 956 917 539 307 52 × 2 = 0 + 0,686 566 223 913 835 078 615 04;
  • 113) 0,686 566 223 913 835 078 615 04 × 2 = 1 + 0,373 132 447 827 670 157 230 08;
  • 114) 0,373 132 447 827 670 157 230 08 × 2 = 0 + 0,746 264 895 655 340 314 460 16;
  • 115) 0,746 264 895 655 340 314 460 16 × 2 = 1 + 0,492 529 791 310 680 628 920 32;
  • 116) 0,492 529 791 310 680 628 920 32 × 2 = 0 + 0,985 059 582 621 361 257 840 64;
  • 117) 0,985 059 582 621 361 257 840 64 × 2 = 1 + 0,970 119 165 242 722 515 681 28;
  • 118) 0,970 119 165 242 722 515 681 28 × 2 = 1 + 0,940 238 330 485 445 031 362 56;
  • 119) 0,940 238 330 485 445 031 362 56 × 2 = 1 + 0,880 476 660 970 890 062 725 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 49(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0111 1100 0111 1011 1011 1011 1111 0000 0000 1010 111(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 49(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0111 1100 0111 1011 1011 1011 1111 0000 0000 1010 111(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 49(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0111 1100 0111 1011 1011 1011 1111 0000 0000 1010 111(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0001 0111 1100 0111 1011 1011 1011 1111 0000 0000 1010 111(2) × 20 =

1,0100 0000 1011 1110 0011 1101 1101 1101 1111 1000 0000 0101 0111(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0000 1011 1110 0011 1101 1101 1101 1111 1000 0000 0101 0111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0000 1011 1110 0011 1101 1101 1101 1111 1000 0000 0101 0111 =

0100 0000 1011 1110 0011 1101 1101 1101 1111 1000 0000 0101 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0000 1011 1110 0011 1101 1101 1101 1111 1000 0000 0101 0111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 49 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0000 1011 1110 0011 1101 1101 1101 1111 1000 0000 0101 0111

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 93 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100