0,000 000 000 000 000 000 008 523 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 523(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 523(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 523.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 523 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 046;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 046 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 092;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 092 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 184;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 184 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 368;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 368 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 272 736;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 272 736 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 545 472;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 545 472 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 090 944;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 090 944 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 181 888;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 181 888 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 363 776;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 363 776 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 727 552;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 727 552 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 455 104;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 455 104 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 910 208;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 910 208 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 820 416;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 820 416 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 640 832;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 640 832 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 281 664;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 281 664 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 558 563 328;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 558 563 328 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 117 126 656;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 117 126 656 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 234 253 312;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 234 253 312 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 468 506 624;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 468 506 624 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 937 013 248;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 937 013 248 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 874 026 496;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 874 026 496 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 748 052 992;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 748 052 992 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 496 105 984;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 496 105 984 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 142 992 211 968;
  • 25) 0,000 000 000 000 142 992 211 968 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 285 984 423 936;
  • 26) 0,000 000 000 000 285 984 423 936 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 571 968 847 872;
  • 27) 0,000 000 000 000 571 968 847 872 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 143 937 695 744;
  • 28) 0,000 000 000 001 143 937 695 744 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 287 875 391 488;
  • 29) 0,000 000 000 002 287 875 391 488 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 575 750 782 976;
  • 30) 0,000 000 000 004 575 750 782 976 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 151 501 565 952;
  • 31) 0,000 000 000 009 151 501 565 952 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 303 003 131 904;
  • 32) 0,000 000 000 018 303 003 131 904 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 606 006 263 808;
  • 33) 0,000 000 000 036 606 006 263 808 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 212 012 527 616;
  • 34) 0,000 000 000 073 212 012 527 616 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 424 025 055 232;
  • 35) 0,000 000 000 146 424 025 055 232 × 2 = 0 + 0,000 000 000 292 848 050 110 464;
  • 36) 0,000 000 000 292 848 050 110 464 × 2 = 0 + 0,000 000 000 585 696 100 220 928;
  • 37) 0,000 000 000 585 696 100 220 928 × 2 = 0 + 0,000 000 001 171 392 200 441 856;
  • 38) 0,000 000 001 171 392 200 441 856 × 2 = 0 + 0,000 000 002 342 784 400 883 712;
  • 39) 0,000 000 002 342 784 400 883 712 × 2 = 0 + 0,000 000 004 685 568 801 767 424;
  • 40) 0,000 000 004 685 568 801 767 424 × 2 = 0 + 0,000 000 009 371 137 603 534 848;
  • 41) 0,000 000 009 371 137 603 534 848 × 2 = 0 + 0,000 000 018 742 275 207 069 696;
  • 42) 0,000 000 018 742 275 207 069 696 × 2 = 0 + 0,000 000 037 484 550 414 139 392;
  • 43) 0,000 000 037 484 550 414 139 392 × 2 = 0 + 0,000 000 074 969 100 828 278 784;
  • 44) 0,000 000 074 969 100 828 278 784 × 2 = 0 + 0,000 000 149 938 201 656 557 568;
  • 45) 0,000 000 149 938 201 656 557 568 × 2 = 0 + 0,000 000 299 876 403 313 115 136;
  • 46) 0,000 000 299 876 403 313 115 136 × 2 = 0 + 0,000 000 599 752 806 626 230 272;
  • 47) 0,000 000 599 752 806 626 230 272 × 2 = 0 + 0,000 001 199 505 613 252 460 544;
  • 48) 0,000 001 199 505 613 252 460 544 × 2 = 0 + 0,000 002 399 011 226 504 921 088;
  • 49) 0,000 002 399 011 226 504 921 088 × 2 = 0 + 0,000 004 798 022 453 009 842 176;
  • 50) 0,000 004 798 022 453 009 842 176 × 2 = 0 + 0,000 009 596 044 906 019 684 352;
  • 51) 0,000 009 596 044 906 019 684 352 × 2 = 0 + 0,000 019 192 089 812 039 368 704;
  • 52) 0,000 019 192 089 812 039 368 704 × 2 = 0 + 0,000 038 384 179 624 078 737 408;
  • 53) 0,000 038 384 179 624 078 737 408 × 2 = 0 + 0,000 076 768 359 248 157 474 816;
  • 54) 0,000 076 768 359 248 157 474 816 × 2 = 0 + 0,000 153 536 718 496 314 949 632;
  • 55) 0,000 153 536 718 496 314 949 632 × 2 = 0 + 0,000 307 073 436 992 629 899 264;
  • 56) 0,000 307 073 436 992 629 899 264 × 2 = 0 + 0,000 614 146 873 985 259 798 528;
  • 57) 0,000 614 146 873 985 259 798 528 × 2 = 0 + 0,001 228 293 747 970 519 597 056;
  • 58) 0,001 228 293 747 970 519 597 056 × 2 = 0 + 0,002 456 587 495 941 039 194 112;
  • 59) 0,002 456 587 495 941 039 194 112 × 2 = 0 + 0,004 913 174 991 882 078 388 224;
  • 60) 0,004 913 174 991 882 078 388 224 × 2 = 0 + 0,009 826 349 983 764 156 776 448;
  • 61) 0,009 826 349 983 764 156 776 448 × 2 = 0 + 0,019 652 699 967 528 313 552 896;
  • 62) 0,019 652 699 967 528 313 552 896 × 2 = 0 + 0,039 305 399 935 056 627 105 792;
  • 63) 0,039 305 399 935 056 627 105 792 × 2 = 0 + 0,078 610 799 870 113 254 211 584;
  • 64) 0,078 610 799 870 113 254 211 584 × 2 = 0 + 0,157 221 599 740 226 508 423 168;
  • 65) 0,157 221 599 740 226 508 423 168 × 2 = 0 + 0,314 443 199 480 453 016 846 336;
  • 66) 0,314 443 199 480 453 016 846 336 × 2 = 0 + 0,628 886 398 960 906 033 692 672;
  • 67) 0,628 886 398 960 906 033 692 672 × 2 = 1 + 0,257 772 797 921 812 067 385 344;
  • 68) 0,257 772 797 921 812 067 385 344 × 2 = 0 + 0,515 545 595 843 624 134 770 688;
  • 69) 0,515 545 595 843 624 134 770 688 × 2 = 1 + 0,031 091 191 687 248 269 541 376;
  • 70) 0,031 091 191 687 248 269 541 376 × 2 = 0 + 0,062 182 383 374 496 539 082 752;
  • 71) 0,062 182 383 374 496 539 082 752 × 2 = 0 + 0,124 364 766 748 993 078 165 504;
  • 72) 0,124 364 766 748 993 078 165 504 × 2 = 0 + 0,248 729 533 497 986 156 331 008;
  • 73) 0,248 729 533 497 986 156 331 008 × 2 = 0 + 0,497 459 066 995 972 312 662 016;
  • 74) 0,497 459 066 995 972 312 662 016 × 2 = 0 + 0,994 918 133 991 944 625 324 032;
  • 75) 0,994 918 133 991 944 625 324 032 × 2 = 1 + 0,989 836 267 983 889 250 648 064;
  • 76) 0,989 836 267 983 889 250 648 064 × 2 = 1 + 0,979 672 535 967 778 501 296 128;
  • 77) 0,979 672 535 967 778 501 296 128 × 2 = 1 + 0,959 345 071 935 557 002 592 256;
  • 78) 0,959 345 071 935 557 002 592 256 × 2 = 1 + 0,918 690 143 871 114 005 184 512;
  • 79) 0,918 690 143 871 114 005 184 512 × 2 = 1 + 0,837 380 287 742 228 010 369 024;
  • 80) 0,837 380 287 742 228 010 369 024 × 2 = 1 + 0,674 760 575 484 456 020 738 048;
  • 81) 0,674 760 575 484 456 020 738 048 × 2 = 1 + 0,349 521 150 968 912 041 476 096;
  • 82) 0,349 521 150 968 912 041 476 096 × 2 = 0 + 0,699 042 301 937 824 082 952 192;
  • 83) 0,699 042 301 937 824 082 952 192 × 2 = 1 + 0,398 084 603 875 648 165 904 384;
  • 84) 0,398 084 603 875 648 165 904 384 × 2 = 0 + 0,796 169 207 751 296 331 808 768;
  • 85) 0,796 169 207 751 296 331 808 768 × 2 = 1 + 0,592 338 415 502 592 663 617 536;
  • 86) 0,592 338 415 502 592 663 617 536 × 2 = 1 + 0,184 676 831 005 185 327 235 072;
  • 87) 0,184 676 831 005 185 327 235 072 × 2 = 0 + 0,369 353 662 010 370 654 470 144;
  • 88) 0,369 353 662 010 370 654 470 144 × 2 = 0 + 0,738 707 324 020 741 308 940 288;
  • 89) 0,738 707 324 020 741 308 940 288 × 2 = 1 + 0,477 414 648 041 482 617 880 576;
  • 90) 0,477 414 648 041 482 617 880 576 × 2 = 0 + 0,954 829 296 082 965 235 761 152;
  • 91) 0,954 829 296 082 965 235 761 152 × 2 = 1 + 0,909 658 592 165 930 471 522 304;
  • 92) 0,909 658 592 165 930 471 522 304 × 2 = 1 + 0,819 317 184 331 860 943 044 608;
  • 93) 0,819 317 184 331 860 943 044 608 × 2 = 1 + 0,638 634 368 663 721 886 089 216;
  • 94) 0,638 634 368 663 721 886 089 216 × 2 = 1 + 0,277 268 737 327 443 772 178 432;
  • 95) 0,277 268 737 327 443 772 178 432 × 2 = 0 + 0,554 537 474 654 887 544 356 864;
  • 96) 0,554 537 474 654 887 544 356 864 × 2 = 1 + 0,109 074 949 309 775 088 713 728;
  • 97) 0,109 074 949 309 775 088 713 728 × 2 = 0 + 0,218 149 898 619 550 177 427 456;
  • 98) 0,218 149 898 619 550 177 427 456 × 2 = 0 + 0,436 299 797 239 100 354 854 912;
  • 99) 0,436 299 797 239 100 354 854 912 × 2 = 0 + 0,872 599 594 478 200 709 709 824;
  • 100) 0,872 599 594 478 200 709 709 824 × 2 = 1 + 0,745 199 188 956 401 419 419 648;
  • 101) 0,745 199 188 956 401 419 419 648 × 2 = 1 + 0,490 398 377 912 802 838 839 296;
  • 102) 0,490 398 377 912 802 838 839 296 × 2 = 0 + 0,980 796 755 825 605 677 678 592;
  • 103) 0,980 796 755 825 605 677 678 592 × 2 = 1 + 0,961 593 511 651 211 355 357 184;
  • 104) 0,961 593 511 651 211 355 357 184 × 2 = 1 + 0,923 187 023 302 422 710 714 368;
  • 105) 0,923 187 023 302 422 710 714 368 × 2 = 1 + 0,846 374 046 604 845 421 428 736;
  • 106) 0,846 374 046 604 845 421 428 736 × 2 = 1 + 0,692 748 093 209 690 842 857 472;
  • 107) 0,692 748 093 209 690 842 857 472 × 2 = 1 + 0,385 496 186 419 381 685 714 944;
  • 108) 0,385 496 186 419 381 685 714 944 × 2 = 0 + 0,770 992 372 838 763 371 429 888;
  • 109) 0,770 992 372 838 763 371 429 888 × 2 = 1 + 0,541 984 745 677 526 742 859 776;
  • 110) 0,541 984 745 677 526 742 859 776 × 2 = 1 + 0,083 969 491 355 053 485 719 552;
  • 111) 0,083 969 491 355 053 485 719 552 × 2 = 0 + 0,167 938 982 710 106 971 439 104;
  • 112) 0,167 938 982 710 106 971 439 104 × 2 = 0 + 0,335 877 965 420 213 942 878 208;
  • 113) 0,335 877 965 420 213 942 878 208 × 2 = 0 + 0,671 755 930 840 427 885 756 416;
  • 114) 0,671 755 930 840 427 885 756 416 × 2 = 1 + 0,343 511 861 680 855 771 512 832;
  • 115) 0,343 511 861 680 855 771 512 832 × 2 = 0 + 0,687 023 723 361 711 543 025 664;
  • 116) 0,687 023 723 361 711 543 025 664 × 2 = 1 + 0,374 047 446 723 423 086 051 328;
  • 117) 0,374 047 446 723 423 086 051 328 × 2 = 0 + 0,748 094 893 446 846 172 102 656;
  • 118) 0,748 094 893 446 846 172 102 656 × 2 = 1 + 0,496 189 786 893 692 344 205 312;
  • 119) 0,496 189 786 893 692 344 205 312 × 2 = 0 + 0,992 379 573 787 384 688 410 624;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 523(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1111 1010 1100 1011 1101 0001 1011 1110 1100 0101 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 523(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1111 1010 1100 1011 1101 0001 1011 1110 1100 0101 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 523(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1111 1010 1100 1011 1101 0001 1011 1110 1100 0101 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0011 1111 1010 1100 1011 1101 0001 1011 1110 1100 0101 010(2) × 20 =

1,0100 0001 1111 1101 0110 0101 1110 1000 1101 1111 0110 0010 1010(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0001 1111 1101 0110 0101 1110 1000 1101 1111 0110 0010 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0001 1111 1101 0110 0101 1110 1000 1101 1111 0110 0010 1010 =

0100 0001 1111 1101 0110 0101 1110 1000 1101 1111 0110 0010 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0001 1111 1101 0110 0101 1110 1000 1101 1111 0110 0010 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 523 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0001 1111 1101 0110 0101 1110 1000 1101 1111 0110 0010 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 546 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100