0,000 000 000 000 000 000 008 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 000 008 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 000 008 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 000 008 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 000 008 54 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 017 08;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 000 017 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 034 16;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 000 034 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 068 32;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 000 068 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 136 64;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 000 136 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 273 28;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 000 273 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 546 56;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 000 546 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 001 093 12;
  • 8) 0,000 000 000 000 000 001 093 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 002 186 24;
  • 9) 0,000 000 000 000 000 002 186 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 004 372 48;
  • 10) 0,000 000 000 000 000 004 372 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 008 744 96;
  • 11) 0,000 000 000 000 000 008 744 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 017 489 92;
  • 12) 0,000 000 000 000 000 017 489 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 034 979 84;
  • 13) 0,000 000 000 000 000 034 979 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 069 959 68;
  • 14) 0,000 000 000 000 000 069 959 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 139 919 36;
  • 15) 0,000 000 000 000 000 139 919 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 279 838 72;
  • 16) 0,000 000 000 000 000 279 838 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 559 677 44;
  • 17) 0,000 000 000 000 000 559 677 44 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 119 354 88;
  • 18) 0,000 000 000 000 001 119 354 88 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 002 238 709 76;
  • 19) 0,000 000 000 000 002 238 709 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 004 477 419 52;
  • 20) 0,000 000 000 000 004 477 419 52 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 008 954 839 04;
  • 21) 0,000 000 000 000 008 954 839 04 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 017 909 678 08;
  • 22) 0,000 000 000 000 017 909 678 08 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 035 819 356 16;
  • 23) 0,000 000 000 000 035 819 356 16 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 071 638 712 32;
  • 24) 0,000 000 000 000 071 638 712 32 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 143 277 424 64;
  • 25) 0,000 000 000 000 143 277 424 64 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 286 554 849 28;
  • 26) 0,000 000 000 000 286 554 849 28 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 573 109 698 56;
  • 27) 0,000 000 000 000 573 109 698 56 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 146 219 397 12;
  • 28) 0,000 000 000 001 146 219 397 12 × 2 = 0 + 0,000 000 000 002 292 438 794 24;
  • 29) 0,000 000 000 002 292 438 794 24 × 2 = 0 + 0,000 000 000 004 584 877 588 48;
  • 30) 0,000 000 000 004 584 877 588 48 × 2 = 0 + 0,000 000 000 009 169 755 176 96;
  • 31) 0,000 000 000 009 169 755 176 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 018 339 510 353 92;
  • 32) 0,000 000 000 018 339 510 353 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 036 679 020 707 84;
  • 33) 0,000 000 000 036 679 020 707 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 073 358 041 415 68;
  • 34) 0,000 000 000 073 358 041 415 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 146 716 082 831 36;
  • 35) 0,000 000 000 146 716 082 831 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 293 432 165 662 72;
  • 36) 0,000 000 000 293 432 165 662 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 586 864 331 325 44;
  • 37) 0,000 000 000 586 864 331 325 44 × 2 = 0 + 0,000 000 001 173 728 662 650 88;
  • 38) 0,000 000 001 173 728 662 650 88 × 2 = 0 + 0,000 000 002 347 457 325 301 76;
  • 39) 0,000 000 002 347 457 325 301 76 × 2 = 0 + 0,000 000 004 694 914 650 603 52;
  • 40) 0,000 000 004 694 914 650 603 52 × 2 = 0 + 0,000 000 009 389 829 301 207 04;
  • 41) 0,000 000 009 389 829 301 207 04 × 2 = 0 + 0,000 000 018 779 658 602 414 08;
  • 42) 0,000 000 018 779 658 602 414 08 × 2 = 0 + 0,000 000 037 559 317 204 828 16;
  • 43) 0,000 000 037 559 317 204 828 16 × 2 = 0 + 0,000 000 075 118 634 409 656 32;
  • 44) 0,000 000 075 118 634 409 656 32 × 2 = 0 + 0,000 000 150 237 268 819 312 64;
  • 45) 0,000 000 150 237 268 819 312 64 × 2 = 0 + 0,000 000 300 474 537 638 625 28;
  • 46) 0,000 000 300 474 537 638 625 28 × 2 = 0 + 0,000 000 600 949 075 277 250 56;
  • 47) 0,000 000 600 949 075 277 250 56 × 2 = 0 + 0,000 001 201 898 150 554 501 12;
  • 48) 0,000 001 201 898 150 554 501 12 × 2 = 0 + 0,000 002 403 796 301 109 002 24;
  • 49) 0,000 002 403 796 301 109 002 24 × 2 = 0 + 0,000 004 807 592 602 218 004 48;
  • 50) 0,000 004 807 592 602 218 004 48 × 2 = 0 + 0,000 009 615 185 204 436 008 96;
  • 51) 0,000 009 615 185 204 436 008 96 × 2 = 0 + 0,000 019 230 370 408 872 017 92;
  • 52) 0,000 019 230 370 408 872 017 92 × 2 = 0 + 0,000 038 460 740 817 744 035 84;
  • 53) 0,000 038 460 740 817 744 035 84 × 2 = 0 + 0,000 076 921 481 635 488 071 68;
  • 54) 0,000 076 921 481 635 488 071 68 × 2 = 0 + 0,000 153 842 963 270 976 143 36;
  • 55) 0,000 153 842 963 270 976 143 36 × 2 = 0 + 0,000 307 685 926 541 952 286 72;
  • 56) 0,000 307 685 926 541 952 286 72 × 2 = 0 + 0,000 615 371 853 083 904 573 44;
  • 57) 0,000 615 371 853 083 904 573 44 × 2 = 0 + 0,001 230 743 706 167 809 146 88;
  • 58) 0,001 230 743 706 167 809 146 88 × 2 = 0 + 0,002 461 487 412 335 618 293 76;
  • 59) 0,002 461 487 412 335 618 293 76 × 2 = 0 + 0,004 922 974 824 671 236 587 52;
  • 60) 0,004 922 974 824 671 236 587 52 × 2 = 0 + 0,009 845 949 649 342 473 175 04;
  • 61) 0,009 845 949 649 342 473 175 04 × 2 = 0 + 0,019 691 899 298 684 946 350 08;
  • 62) 0,019 691 899 298 684 946 350 08 × 2 = 0 + 0,039 383 798 597 369 892 700 16;
  • 63) 0,039 383 798 597 369 892 700 16 × 2 = 0 + 0,078 767 597 194 739 785 400 32;
  • 64) 0,078 767 597 194 739 785 400 32 × 2 = 0 + 0,157 535 194 389 479 570 800 64;
  • 65) 0,157 535 194 389 479 570 800 64 × 2 = 0 + 0,315 070 388 778 959 141 601 28;
  • 66) 0,315 070 388 778 959 141 601 28 × 2 = 0 + 0,630 140 777 557 918 283 202 56;
  • 67) 0,630 140 777 557 918 283 202 56 × 2 = 1 + 0,260 281 555 115 836 566 405 12;
  • 68) 0,260 281 555 115 836 566 405 12 × 2 = 0 + 0,520 563 110 231 673 132 810 24;
  • 69) 0,520 563 110 231 673 132 810 24 × 2 = 1 + 0,041 126 220 463 346 265 620 48;
  • 70) 0,041 126 220 463 346 265 620 48 × 2 = 0 + 0,082 252 440 926 692 531 240 96;
  • 71) 0,082 252 440 926 692 531 240 96 × 2 = 0 + 0,164 504 881 853 385 062 481 92;
  • 72) 0,164 504 881 853 385 062 481 92 × 2 = 0 + 0,329 009 763 706 770 124 963 84;
  • 73) 0,329 009 763 706 770 124 963 84 × 2 = 0 + 0,658 019 527 413 540 249 927 68;
  • 74) 0,658 019 527 413 540 249 927 68 × 2 = 1 + 0,316 039 054 827 080 499 855 36;
  • 75) 0,316 039 054 827 080 499 855 36 × 2 = 0 + 0,632 078 109 654 160 999 710 72;
  • 76) 0,632 078 109 654 160 999 710 72 × 2 = 1 + 0,264 156 219 308 321 999 421 44;
  • 77) 0,264 156 219 308 321 999 421 44 × 2 = 0 + 0,528 312 438 616 643 998 842 88;
  • 78) 0,528 312 438 616 643 998 842 88 × 2 = 1 + 0,056 624 877 233 287 997 685 76;
  • 79) 0,056 624 877 233 287 997 685 76 × 2 = 0 + 0,113 249 754 466 575 995 371 52;
  • 80) 0,113 249 754 466 575 995 371 52 × 2 = 0 + 0,226 499 508 933 151 990 743 04;
  • 81) 0,226 499 508 933 151 990 743 04 × 2 = 0 + 0,452 999 017 866 303 981 486 08;
  • 82) 0,452 999 017 866 303 981 486 08 × 2 = 0 + 0,905 998 035 732 607 962 972 16;
  • 83) 0,905 998 035 732 607 962 972 16 × 2 = 1 + 0,811 996 071 465 215 925 944 32;
  • 84) 0,811 996 071 465 215 925 944 32 × 2 = 1 + 0,623 992 142 930 431 851 888 64;
  • 85) 0,623 992 142 930 431 851 888 64 × 2 = 1 + 0,247 984 285 860 863 703 777 28;
  • 86) 0,247 984 285 860 863 703 777 28 × 2 = 0 + 0,495 968 571 721 727 407 554 56;
  • 87) 0,495 968 571 721 727 407 554 56 × 2 = 0 + 0,991 937 143 443 454 815 109 12;
  • 88) 0,991 937 143 443 454 815 109 12 × 2 = 1 + 0,983 874 286 886 909 630 218 24;
  • 89) 0,983 874 286 886 909 630 218 24 × 2 = 1 + 0,967 748 573 773 819 260 436 48;
  • 90) 0,967 748 573 773 819 260 436 48 × 2 = 1 + 0,935 497 147 547 638 520 872 96;
  • 91) 0,935 497 147 547 638 520 872 96 × 2 = 1 + 0,870 994 295 095 277 041 745 92;
  • 92) 0,870 994 295 095 277 041 745 92 × 2 = 1 + 0,741 988 590 190 554 083 491 84;
  • 93) 0,741 988 590 190 554 083 491 84 × 2 = 1 + 0,483 977 180 381 108 166 983 68;
  • 94) 0,483 977 180 381 108 166 983 68 × 2 = 0 + 0,967 954 360 762 216 333 967 36;
  • 95) 0,967 954 360 762 216 333 967 36 × 2 = 1 + 0,935 908 721 524 432 667 934 72;
  • 96) 0,935 908 721 524 432 667 934 72 × 2 = 1 + 0,871 817 443 048 865 335 869 44;
  • 97) 0,871 817 443 048 865 335 869 44 × 2 = 1 + 0,743 634 886 097 730 671 738 88;
  • 98) 0,743 634 886 097 730 671 738 88 × 2 = 1 + 0,487 269 772 195 461 343 477 76;
  • 99) 0,487 269 772 195 461 343 477 76 × 2 = 0 + 0,974 539 544 390 922 686 955 52;
  • 100) 0,974 539 544 390 922 686 955 52 × 2 = 1 + 0,949 079 088 781 845 373 911 04;
  • 101) 0,949 079 088 781 845 373 911 04 × 2 = 1 + 0,898 158 177 563 690 747 822 08;
  • 102) 0,898 158 177 563 690 747 822 08 × 2 = 1 + 0,796 316 355 127 381 495 644 16;
  • 103) 0,796 316 355 127 381 495 644 16 × 2 = 1 + 0,592 632 710 254 762 991 288 32;
  • 104) 0,592 632 710 254 762 991 288 32 × 2 = 1 + 0,185 265 420 509 525 982 576 64;
  • 105) 0,185 265 420 509 525 982 576 64 × 2 = 0 + 0,370 530 841 019 051 965 153 28;
  • 106) 0,370 530 841 019 051 965 153 28 × 2 = 0 + 0,741 061 682 038 103 930 306 56;
  • 107) 0,741 061 682 038 103 930 306 56 × 2 = 1 + 0,482 123 364 076 207 860 613 12;
  • 108) 0,482 123 364 076 207 860 613 12 × 2 = 0 + 0,964 246 728 152 415 721 226 24;
  • 109) 0,964 246 728 152 415 721 226 24 × 2 = 1 + 0,928 493 456 304 831 442 452 48;
  • 110) 0,928 493 456 304 831 442 452 48 × 2 = 1 + 0,856 986 912 609 662 884 904 96;
  • 111) 0,856 986 912 609 662 884 904 96 × 2 = 1 + 0,713 973 825 219 325 769 809 92;
  • 112) 0,713 973 825 219 325 769 809 92 × 2 = 1 + 0,427 947 650 438 651 539 619 84;
  • 113) 0,427 947 650 438 651 539 619 84 × 2 = 0 + 0,855 895 300 877 303 079 239 68;
  • 114) 0,855 895 300 877 303 079 239 68 × 2 = 1 + 0,711 790 601 754 606 158 479 36;
  • 115) 0,711 790 601 754 606 158 479 36 × 2 = 1 + 0,423 581 203 509 212 316 958 72;
  • 116) 0,423 581 203 509 212 316 958 72 × 2 = 0 + 0,847 162 407 018 424 633 917 44;
  • 117) 0,847 162 407 018 424 633 917 44 × 2 = 1 + 0,694 324 814 036 849 267 834 88;
  • 118) 0,694 324 814 036 849 267 834 88 × 2 = 1 + 0,388 649 628 073 698 535 669 76;
  • 119) 0,388 649 628 073 698 535 669 76 × 2 = 0 + 0,777 299 256 147 397 071 339 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 000 008 54(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 0011 1001 1111 1011 1101 1111 0010 1111 0110 110(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 000 008 54(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 0011 1001 1111 1011 1101 1111 0010 1111 0110 110(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 67 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 000 008 54(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 0011 1001 1111 1011 1101 1111 0010 1111 0110 110(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1000 0101 0100 0011 1001 1111 1011 1101 1111 0010 1111 0110 110(2) × 20 =

1,0100 0010 1010 0001 1100 1111 1101 1110 1111 1001 0111 1011 0110(2) × 2-67


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -67

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0010 1010 0001 1100 1111 1101 1110 1111 1001 0111 1011 0110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-67 + 2(11-1) - 1 =

(-67 + 1 023)(10) =

956(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 956 : 2 = 478 + 0;
  • 478 : 2 = 239 + 0;
  • 239 : 2 = 119 + 1;
  • 119 : 2 = 59 + 1;
  • 59 : 2 = 29 + 1;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

956(10) =

011 1011 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0010 1010 0001 1100 1111 1101 1110 1111 1001 0111 1011 0110 =

0100 0010 1010 0001 1100 1111 1101 1110 1111 1001 0111 1011 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1011 1100

Mantisă (52 biți) =
0100 0010 1010 0001 1100 1111 1101 1110 1111 1001 0111 1011 0110


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 000 008 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1011 1100 - 0100 0010 1010 0001 1100 1111 1101 1110 1111 1001 0111 1011 0110

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 000 000 000 009 21 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100