0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 026 497 471 978 656 024 996 246 2;
  • 2) 0,000 000 000 000 000 026 497 471 978 656 024 996 246 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 052 994 943 957 312 049 992 492 4;
  • 3) 0,000 000 000 000 000 052 994 943 957 312 049 992 492 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 105 989 887 914 624 099 984 984 8;
  • 4) 0,000 000 000 000 000 105 989 887 914 624 099 984 984 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 211 979 775 829 248 199 969 969 6;
  • 5) 0,000 000 000 000 000 211 979 775 829 248 199 969 969 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 423 959 551 658 496 399 939 939 2;
  • 6) 0,000 000 000 000 000 423 959 551 658 496 399 939 939 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 847 919 103 316 992 799 879 878 4;
  • 7) 0,000 000 000 000 000 847 919 103 316 992 799 879 878 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 001 695 838 206 633 985 599 759 756 8;
  • 8) 0,000 000 000 000 001 695 838 206 633 985 599 759 756 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 003 391 676 413 267 971 199 519 513 6;
  • 9) 0,000 000 000 000 003 391 676 413 267 971 199 519 513 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 006 783 352 826 535 942 399 039 027 2;
  • 10) 0,000 000 000 000 006 783 352 826 535 942 399 039 027 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 013 566 705 653 071 884 798 078 054 4;
  • 11) 0,000 000 000 000 013 566 705 653 071 884 798 078 054 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 027 133 411 306 143 769 596 156 108 8;
  • 12) 0,000 000 000 000 027 133 411 306 143 769 596 156 108 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 054 266 822 612 287 539 192 312 217 6;
  • 13) 0,000 000 000 000 054 266 822 612 287 539 192 312 217 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 108 533 645 224 575 078 384 624 435 2;
  • 14) 0,000 000 000 000 108 533 645 224 575 078 384 624 435 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 217 067 290 449 150 156 769 248 870 4;
  • 15) 0,000 000 000 000 217 067 290 449 150 156 769 248 870 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 434 134 580 898 300 313 538 497 740 8;
  • 16) 0,000 000 000 000 434 134 580 898 300 313 538 497 740 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 868 269 161 796 600 627 076 995 481 6;
  • 17) 0,000 000 000 000 868 269 161 796 600 627 076 995 481 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 001 736 538 323 593 201 254 153 990 963 2;
  • 18) 0,000 000 000 001 736 538 323 593 201 254 153 990 963 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 003 473 076 647 186 402 508 307 981 926 4;
  • 19) 0,000 000 000 003 473 076 647 186 402 508 307 981 926 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 006 946 153 294 372 805 016 615 963 852 8;
  • 20) 0,000 000 000 006 946 153 294 372 805 016 615 963 852 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 013 892 306 588 745 610 033 231 927 705 6;
  • 21) 0,000 000 000 013 892 306 588 745 610 033 231 927 705 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 027 784 613 177 491 220 066 463 855 411 2;
  • 22) 0,000 000 000 027 784 613 177 491 220 066 463 855 411 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 055 569 226 354 982 440 132 927 710 822 4;
  • 23) 0,000 000 000 055 569 226 354 982 440 132 927 710 822 4 × 2 = 0 + 0,000 000 000 111 138 452 709 964 880 265 855 421 644 8;
  • 24) 0,000 000 000 111 138 452 709 964 880 265 855 421 644 8 × 2 = 0 + 0,000 000 000 222 276 905 419 929 760 531 710 843 289 6;
  • 25) 0,000 000 000 222 276 905 419 929 760 531 710 843 289 6 × 2 = 0 + 0,000 000 000 444 553 810 839 859 521 063 421 686 579 2;
  • 26) 0,000 000 000 444 553 810 839 859 521 063 421 686 579 2 × 2 = 0 + 0,000 000 000 889 107 621 679 719 042 126 843 373 158 4;
  • 27) 0,000 000 000 889 107 621 679 719 042 126 843 373 158 4 × 2 = 0 + 0,000 000 001 778 215 243 359 438 084 253 686 746 316 8;
  • 28) 0,000 000 001 778 215 243 359 438 084 253 686 746 316 8 × 2 = 0 + 0,000 000 003 556 430 486 718 876 168 507 373 492 633 6;
  • 29) 0,000 000 003 556 430 486 718 876 168 507 373 492 633 6 × 2 = 0 + 0,000 000 007 112 860 973 437 752 337 014 746 985 267 2;
  • 30) 0,000 000 007 112 860 973 437 752 337 014 746 985 267 2 × 2 = 0 + 0,000 000 014 225 721 946 875 504 674 029 493 970 534 4;
  • 31) 0,000 000 014 225 721 946 875 504 674 029 493 970 534 4 × 2 = 0 + 0,000 000 028 451 443 893 751 009 348 058 987 941 068 8;
  • 32) 0,000 000 028 451 443 893 751 009 348 058 987 941 068 8 × 2 = 0 + 0,000 000 056 902 887 787 502 018 696 117 975 882 137 6;
  • 33) 0,000 000 056 902 887 787 502 018 696 117 975 882 137 6 × 2 = 0 + 0,000 000 113 805 775 575 004 037 392 235 951 764 275 2;
  • 34) 0,000 000 113 805 775 575 004 037 392 235 951 764 275 2 × 2 = 0 + 0,000 000 227 611 551 150 008 074 784 471 903 528 550 4;
  • 35) 0,000 000 227 611 551 150 008 074 784 471 903 528 550 4 × 2 = 0 + 0,000 000 455 223 102 300 016 149 568 943 807 057 100 8;
  • 36) 0,000 000 455 223 102 300 016 149 568 943 807 057 100 8 × 2 = 0 + 0,000 000 910 446 204 600 032 299 137 887 614 114 201 6;
  • 37) 0,000 000 910 446 204 600 032 299 137 887 614 114 201 6 × 2 = 0 + 0,000 001 820 892 409 200 064 598 275 775 228 228 403 2;
  • 38) 0,000 001 820 892 409 200 064 598 275 775 228 228 403 2 × 2 = 0 + 0,000 003 641 784 818 400 129 196 551 550 456 456 806 4;
  • 39) 0,000 003 641 784 818 400 129 196 551 550 456 456 806 4 × 2 = 0 + 0,000 007 283 569 636 800 258 393 103 100 912 913 612 8;
  • 40) 0,000 007 283 569 636 800 258 393 103 100 912 913 612 8 × 2 = 0 + 0,000 014 567 139 273 600 516 786 206 201 825 827 225 6;
  • 41) 0,000 014 567 139 273 600 516 786 206 201 825 827 225 6 × 2 = 0 + 0,000 029 134 278 547 201 033 572 412 403 651 654 451 2;
  • 42) 0,000 029 134 278 547 201 033 572 412 403 651 654 451 2 × 2 = 0 + 0,000 058 268 557 094 402 067 144 824 807 303 308 902 4;
  • 43) 0,000 058 268 557 094 402 067 144 824 807 303 308 902 4 × 2 = 0 + 0,000 116 537 114 188 804 134 289 649 614 606 617 804 8;
  • 44) 0,000 116 537 114 188 804 134 289 649 614 606 617 804 8 × 2 = 0 + 0,000 233 074 228 377 608 268 579 299 229 213 235 609 6;
  • 45) 0,000 233 074 228 377 608 268 579 299 229 213 235 609 6 × 2 = 0 + 0,000 466 148 456 755 216 537 158 598 458 426 471 219 2;
  • 46) 0,000 466 148 456 755 216 537 158 598 458 426 471 219 2 × 2 = 0 + 0,000 932 296 913 510 433 074 317 196 916 852 942 438 4;
  • 47) 0,000 932 296 913 510 433 074 317 196 916 852 942 438 4 × 2 = 0 + 0,001 864 593 827 020 866 148 634 393 833 705 884 876 8;
  • 48) 0,001 864 593 827 020 866 148 634 393 833 705 884 876 8 × 2 = 0 + 0,003 729 187 654 041 732 297 268 787 667 411 769 753 6;
  • 49) 0,003 729 187 654 041 732 297 268 787 667 411 769 753 6 × 2 = 0 + 0,007 458 375 308 083 464 594 537 575 334 823 539 507 2;
  • 50) 0,007 458 375 308 083 464 594 537 575 334 823 539 507 2 × 2 = 0 + 0,014 916 750 616 166 929 189 075 150 669 647 079 014 4;
  • 51) 0,014 916 750 616 166 929 189 075 150 669 647 079 014 4 × 2 = 0 + 0,029 833 501 232 333 858 378 150 301 339 294 158 028 8;
  • 52) 0,029 833 501 232 333 858 378 150 301 339 294 158 028 8 × 2 = 0 + 0,059 667 002 464 667 716 756 300 602 678 588 316 057 6;
  • 53) 0,059 667 002 464 667 716 756 300 602 678 588 316 057 6 × 2 = 0 + 0,119 334 004 929 335 433 512 601 205 357 176 632 115 2;
  • 54) 0,119 334 004 929 335 433 512 601 205 357 176 632 115 2 × 2 = 0 + 0,238 668 009 858 670 867 025 202 410 714 353 264 230 4;
  • 55) 0,238 668 009 858 670 867 025 202 410 714 353 264 230 4 × 2 = 0 + 0,477 336 019 717 341 734 050 404 821 428 706 528 460 8;
  • 56) 0,477 336 019 717 341 734 050 404 821 428 706 528 460 8 × 2 = 0 + 0,954 672 039 434 683 468 100 809 642 857 413 056 921 6;
  • 57) 0,954 672 039 434 683 468 100 809 642 857 413 056 921 6 × 2 = 1 + 0,909 344 078 869 366 936 201 619 285 714 826 113 843 2;
  • 58) 0,909 344 078 869 366 936 201 619 285 714 826 113 843 2 × 2 = 1 + 0,818 688 157 738 733 872 403 238 571 429 652 227 686 4;
  • 59) 0,818 688 157 738 733 872 403 238 571 429 652 227 686 4 × 2 = 1 + 0,637 376 315 477 467 744 806 477 142 859 304 455 372 8;
  • 60) 0,637 376 315 477 467 744 806 477 142 859 304 455 372 8 × 2 = 1 + 0,274 752 630 954 935 489 612 954 285 718 608 910 745 6;
  • 61) 0,274 752 630 954 935 489 612 954 285 718 608 910 745 6 × 2 = 0 + 0,549 505 261 909 870 979 225 908 571 437 217 821 491 2;
  • 62) 0,549 505 261 909 870 979 225 908 571 437 217 821 491 2 × 2 = 1 + 0,099 010 523 819 741 958 451 817 142 874 435 642 982 4;
  • 63) 0,099 010 523 819 741 958 451 817 142 874 435 642 982 4 × 2 = 0 + 0,198 021 047 639 483 916 903 634 285 748 871 285 964 8;
  • 64) 0,198 021 047 639 483 916 903 634 285 748 871 285 964 8 × 2 = 0 + 0,396 042 095 278 967 833 807 268 571 497 742 571 929 6;
  • 65) 0,396 042 095 278 967 833 807 268 571 497 742 571 929 6 × 2 = 0 + 0,792 084 190 557 935 667 614 537 142 995 485 143 859 2;
  • 66) 0,792 084 190 557 935 667 614 537 142 995 485 143 859 2 × 2 = 1 + 0,584 168 381 115 871 335 229 074 285 990 970 287 718 4;
  • 67) 0,584 168 381 115 871 335 229 074 285 990 970 287 718 4 × 2 = 1 + 0,168 336 762 231 742 670 458 148 571 981 940 575 436 8;
  • 68) 0,168 336 762 231 742 670 458 148 571 981 940 575 436 8 × 2 = 0 + 0,336 673 524 463 485 340 916 297 143 963 881 150 873 6;
  • 69) 0,336 673 524 463 485 340 916 297 143 963 881 150 873 6 × 2 = 0 + 0,673 347 048 926 970 681 832 594 287 927 762 301 747 2;
  • 70) 0,673 347 048 926 970 681 832 594 287 927 762 301 747 2 × 2 = 1 + 0,346 694 097 853 941 363 665 188 575 855 524 603 494 4;
  • 71) 0,346 694 097 853 941 363 665 188 575 855 524 603 494 4 × 2 = 0 + 0,693 388 195 707 882 727 330 377 151 711 049 206 988 8;
  • 72) 0,693 388 195 707 882 727 330 377 151 711 049 206 988 8 × 2 = 1 + 0,386 776 391 415 765 454 660 754 303 422 098 413 977 6;
  • 73) 0,386 776 391 415 765 454 660 754 303 422 098 413 977 6 × 2 = 0 + 0,773 552 782 831 530 909 321 508 606 844 196 827 955 2;
  • 74) 0,773 552 782 831 530 909 321 508 606 844 196 827 955 2 × 2 = 1 + 0,547 105 565 663 061 818 643 017 213 688 393 655 910 4;
  • 75) 0,547 105 565 663 061 818 643 017 213 688 393 655 910 4 × 2 = 1 + 0,094 211 131 326 123 637 286 034 427 376 787 311 820 8;
  • 76) 0,094 211 131 326 123 637 286 034 427 376 787 311 820 8 × 2 = 0 + 0,188 422 262 652 247 274 572 068 854 753 574 623 641 6;
  • 77) 0,188 422 262 652 247 274 572 068 854 753 574 623 641 6 × 2 = 0 + 0,376 844 525 304 494 549 144 137 709 507 149 247 283 2;
  • 78) 0,376 844 525 304 494 549 144 137 709 507 149 247 283 2 × 2 = 0 + 0,753 689 050 608 989 098 288 275 419 014 298 494 566 4;
  • 79) 0,753 689 050 608 989 098 288 275 419 014 298 494 566 4 × 2 = 1 + 0,507 378 101 217 978 196 576 550 838 028 596 989 132 8;
  • 80) 0,507 378 101 217 978 196 576 550 838 028 596 989 132 8 × 2 = 1 + 0,014 756 202 435 956 393 153 101 676 057 193 978 265 6;
  • 81) 0,014 756 202 435 956 393 153 101 676 057 193 978 265 6 × 2 = 0 + 0,029 512 404 871 912 786 306 203 352 114 387 956 531 2;
  • 82) 0,029 512 404 871 912 786 306 203 352 114 387 956 531 2 × 2 = 0 + 0,059 024 809 743 825 572 612 406 704 228 775 913 062 4;
  • 83) 0,059 024 809 743 825 572 612 406 704 228 775 913 062 4 × 2 = 0 + 0,118 049 619 487 651 145 224 813 408 457 551 826 124 8;
  • 84) 0,118 049 619 487 651 145 224 813 408 457 551 826 124 8 × 2 = 0 + 0,236 099 238 975 302 290 449 626 816 915 103 652 249 6;
  • 85) 0,236 099 238 975 302 290 449 626 816 915 103 652 249 6 × 2 = 0 + 0,472 198 477 950 604 580 899 253 633 830 207 304 499 2;
  • 86) 0,472 198 477 950 604 580 899 253 633 830 207 304 499 2 × 2 = 0 + 0,944 396 955 901 209 161 798 507 267 660 414 608 998 4;
  • 87) 0,944 396 955 901 209 161 798 507 267 660 414 608 998 4 × 2 = 1 + 0,888 793 911 802 418 323 597 014 535 320 829 217 996 8;
  • 88) 0,888 793 911 802 418 323 597 014 535 320 829 217 996 8 × 2 = 1 + 0,777 587 823 604 836 647 194 029 070 641 658 435 993 6;
  • 89) 0,777 587 823 604 836 647 194 029 070 641 658 435 993 6 × 2 = 1 + 0,555 175 647 209 673 294 388 058 141 283 316 871 987 2;
  • 90) 0,555 175 647 209 673 294 388 058 141 283 316 871 987 2 × 2 = 1 + 0,110 351 294 419 346 588 776 116 282 566 633 743 974 4;
  • 91) 0,110 351 294 419 346 588 776 116 282 566 633 743 974 4 × 2 = 0 + 0,220 702 588 838 693 177 552 232 565 133 267 487 948 8;
  • 92) 0,220 702 588 838 693 177 552 232 565 133 267 487 948 8 × 2 = 0 + 0,441 405 177 677 386 355 104 465 130 266 534 975 897 6;
  • 93) 0,441 405 177 677 386 355 104 465 130 266 534 975 897 6 × 2 = 0 + 0,882 810 355 354 772 710 208 930 260 533 069 951 795 2;
  • 94) 0,882 810 355 354 772 710 208 930 260 533 069 951 795 2 × 2 = 1 + 0,765 620 710 709 545 420 417 860 521 066 139 903 590 4;
  • 95) 0,765 620 710 709 545 420 417 860 521 066 139 903 590 4 × 2 = 1 + 0,531 241 421 419 090 840 835 721 042 132 279 807 180 8;
  • 96) 0,531 241 421 419 090 840 835 721 042 132 279 807 180 8 × 2 = 1 + 0,062 482 842 838 181 681 671 442 084 264 559 614 361 6;
  • 97) 0,062 482 842 838 181 681 671 442 084 264 559 614 361 6 × 2 = 0 + 0,124 965 685 676 363 363 342 884 168 529 119 228 723 2;
  • 98) 0,124 965 685 676 363 363 342 884 168 529 119 228 723 2 × 2 = 0 + 0,249 931 371 352 726 726 685 768 337 058 238 457 446 4;
  • 99) 0,249 931 371 352 726 726 685 768 337 058 238 457 446 4 × 2 = 0 + 0,499 862 742 705 453 453 371 536 674 116 476 914 892 8;
  • 100) 0,499 862 742 705 453 453 371 536 674 116 476 914 892 8 × 2 = 0 + 0,999 725 485 410 906 906 743 073 348 232 953 829 785 6;
  • 101) 0,999 725 485 410 906 906 743 073 348 232 953 829 785 6 × 2 = 1 + 0,999 450 970 821 813 813 486 146 696 465 907 659 571 2;
  • 102) 0,999 450 970 821 813 813 486 146 696 465 907 659 571 2 × 2 = 1 + 0,998 901 941 643 627 626 972 293 392 931 815 319 142 4;
  • 103) 0,998 901 941 643 627 626 972 293 392 931 815 319 142 4 × 2 = 1 + 0,997 803 883 287 255 253 944 586 785 863 630 638 284 8;
  • 104) 0,997 803 883 287 255 253 944 586 785 863 630 638 284 8 × 2 = 1 + 0,995 607 766 574 510 507 889 173 571 727 261 276 569 6;
  • 105) 0,995 607 766 574 510 507 889 173 571 727 261 276 569 6 × 2 = 1 + 0,991 215 533 149 021 015 778 347 143 454 522 553 139 2;
  • 106) 0,991 215 533 149 021 015 778 347 143 454 522 553 139 2 × 2 = 1 + 0,982 431 066 298 042 031 556 694 286 909 045 106 278 4;
  • 107) 0,982 431 066 298 042 031 556 694 286 909 045 106 278 4 × 2 = 1 + 0,964 862 132 596 084 063 113 388 573 818 090 212 556 8;
  • 108) 0,964 862 132 596 084 063 113 388 573 818 090 212 556 8 × 2 = 1 + 0,929 724 265 192 168 126 226 777 147 636 180 425 113 6;
  • 109) 0,929 724 265 192 168 126 226 777 147 636 180 425 113 6 × 2 = 1 + 0,859 448 530 384 336 252 453 554 295 272 360 850 227 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0011 0000 0011 1100 0111 0000 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0011 0000 0011 1100 0111 0000 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 57 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0011 0000 0011 1100 0111 0000 1111 1111 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1111 0100 0110 0101 0110 0011 0000 0011 1100 0111 0000 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1110 1000 1100 1010 1100 0110 0000 0111 1000 1110 0001 1111 1111(2) × 2-57


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -57

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1000 1100 1010 1100 0110 0000 0111 1000 1110 0001 1111 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-57 + 2(11-1) - 1 =

(-57 + 1 023)(10) =

966(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 966 : 2 = 483 + 0;
  • 483 : 2 = 241 + 1;
  • 241 : 2 = 120 + 1;
  • 120 : 2 = 60 + 0;
  • 60 : 2 = 30 + 0;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

966(10) =

011 1100 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1000 1100 1010 1100 0110 0000 0111 1000 1110 0001 1111 1111 =

1110 1000 1100 1010 1100 0110 0000 0111 1000 1110 0001 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1100 0110

Mantisă (52 biți) =
1110 1000 1100 1010 1100 0110 0000 0111 1000 1110 0001 1111 1111


Numărul zecimal 0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 123 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1100 0110 - 1110 1000 1100 1010 1100 0110 0000 0111 1000 1110 0001 1111 1111

» Scriere 0,000 000 000 000 000 013 248 735 989 328 012 498 115 9 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100