0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99 × 2 = 0 + 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 305 98;
  • 2) 0,000 000 000 007 269 999 999 999 999 516 522 114 064 601 356 670 305 98 × 2 = 0 + 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 611 96;
  • 3) 0,000 000 000 014 539 999 999 999 999 033 044 228 129 202 713 340 611 96 × 2 = 0 + 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 223 92;
  • 4) 0,000 000 000 029 079 999 999 999 998 066 088 456 258 405 426 681 223 92 × 2 = 0 + 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 362 447 84;
  • 5) 0,000 000 000 058 159 999 999 999 996 132 176 912 516 810 853 362 447 84 × 2 = 0 + 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 724 895 68;
  • 6) 0,000 000 000 116 319 999 999 999 992 264 353 825 033 621 706 724 895 68 × 2 = 0 + 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 449 791 36;
  • 7) 0,000 000 000 232 639 999 999 999 984 528 707 650 067 243 413 449 791 36 × 2 = 0 + 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 899 582 72;
  • 8) 0,000 000 000 465 279 999 999 999 969 057 415 300 134 486 826 899 582 72 × 2 = 0 + 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 799 165 44;
  • 9) 0,000 000 000 930 559 999 999 999 938 114 830 600 268 973 653 799 165 44 × 2 = 0 + 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 598 330 88;
  • 10) 0,000 000 001 861 119 999 999 999 876 229 661 200 537 947 307 598 330 88 × 2 = 0 + 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 196 661 76;
  • 11) 0,000 000 003 722 239 999 999 999 752 459 322 401 075 894 615 196 661 76 × 2 = 0 + 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 393 323 52;
  • 12) 0,000 000 007 444 479 999 999 999 504 918 644 802 151 789 230 393 323 52 × 2 = 0 + 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 786 647 04;
  • 13) 0,000 000 014 888 959 999 999 999 009 837 289 604 303 578 460 786 647 04 × 2 = 0 + 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 573 294 08;
  • 14) 0,000 000 029 777 919 999 999 998 019 674 579 208 607 156 921 573 294 08 × 2 = 0 + 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 843 146 588 16;
  • 15) 0,000 000 059 555 839 999 999 996 039 349 158 417 214 313 843 146 588 16 × 2 = 0 + 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 686 293 176 32;
  • 16) 0,000 000 119 111 679 999 999 992 078 698 316 834 428 627 686 293 176 32 × 2 = 0 + 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 372 586 352 64;
  • 17) 0,000 000 238 223 359 999 999 984 157 396 633 668 857 255 372 586 352 64 × 2 = 0 + 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 745 172 705 28;
  • 18) 0,000 000 476 446 719 999 999 968 314 793 267 337 714 510 745 172 705 28 × 2 = 0 + 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 490 345 410 56;
  • 19) 0,000 000 952 893 439 999 999 936 629 586 534 675 429 021 490 345 410 56 × 2 = 0 + 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 980 690 821 12;
  • 20) 0,000 001 905 786 879 999 999 873 259 173 069 350 858 042 980 690 821 12 × 2 = 0 + 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 961 381 642 24;
  • 21) 0,000 003 811 573 759 999 999 746 518 346 138 701 716 085 961 381 642 24 × 2 = 0 + 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 922 763 284 48;
  • 22) 0,000 007 623 147 519 999 999 493 036 692 277 403 432 171 922 763 284 48 × 2 = 0 + 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 845 526 568 96;
  • 23) 0,000 015 246 295 039 999 998 986 073 384 554 806 864 343 845 526 568 96 × 2 = 0 + 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 691 053 137 92;
  • 24) 0,000 030 492 590 079 999 997 972 146 769 109 613 728 687 691 053 137 92 × 2 = 0 + 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 375 382 106 275 84;
  • 25) 0,000 060 985 180 159 999 995 944 293 538 219 227 457 375 382 106 275 84 × 2 = 0 + 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 750 764 212 551 68;
  • 26) 0,000 121 970 360 319 999 991 888 587 076 438 454 914 750 764 212 551 68 × 2 = 0 + 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 501 528 425 103 36;
  • 27) 0,000 243 940 720 639 999 983 777 174 152 876 909 829 501 528 425 103 36 × 2 = 0 + 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 003 056 850 206 72;
  • 28) 0,000 487 881 441 279 999 967 554 348 305 753 819 659 003 056 850 206 72 × 2 = 0 + 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 006 113 700 413 44;
  • 29) 0,000 975 762 882 559 999 935 108 696 611 507 639 318 006 113 700 413 44 × 2 = 0 + 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 012 227 400 826 88;
  • 30) 0,001 951 525 765 119 999 870 217 393 223 015 278 636 012 227 400 826 88 × 2 = 0 + 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 024 454 801 653 76;
  • 31) 0,003 903 051 530 239 999 740 434 786 446 030 557 272 024 454 801 653 76 × 2 = 0 + 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 048 909 603 307 52;
  • 32) 0,007 806 103 060 479 999 480 869 572 892 061 114 544 048 909 603 307 52 × 2 = 0 + 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 097 819 206 615 04;
  • 33) 0,015 612 206 120 959 998 961 739 145 784 122 229 088 097 819 206 615 04 × 2 = 0 + 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 195 638 413 230 08;
  • 34) 0,031 224 412 241 919 997 923 478 291 568 244 458 176 195 638 413 230 08 × 2 = 0 + 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 352 391 276 826 460 16;
  • 35) 0,062 448 824 483 839 995 846 956 583 136 488 916 352 391 276 826 460 16 × 2 = 0 + 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 704 782 553 652 920 32;
  • 36) 0,124 897 648 967 679 991 693 913 166 272 977 832 704 782 553 652 920 32 × 2 = 0 + 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 409 565 107 305 840 64;
  • 37) 0,249 795 297 935 359 983 387 826 332 545 955 665 409 565 107 305 840 64 × 2 = 0 + 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 819 130 214 611 681 28;
  • 38) 0,499 590 595 870 719 966 775 652 665 091 911 330 819 130 214 611 681 28 × 2 = 0 + 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 638 260 429 223 362 56;
  • 39) 0,999 181 191 741 439 933 551 305 330 183 822 661 638 260 429 223 362 56 × 2 = 1 + 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 276 520 858 446 725 12;
  • 40) 0,998 362 383 482 879 867 102 610 660 367 645 323 276 520 858 446 725 12 × 2 = 1 + 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 553 041 716 893 450 24;
  • 41) 0,996 724 766 965 759 734 205 221 320 735 290 646 553 041 716 893 450 24 × 2 = 1 + 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 106 083 433 786 900 48;
  • 42) 0,993 449 533 931 519 468 410 442 641 470 581 293 106 083 433 786 900 48 × 2 = 1 + 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 212 166 867 573 800 96;
  • 43) 0,986 899 067 863 038 936 820 885 282 941 162 586 212 166 867 573 800 96 × 2 = 1 + 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 424 333 735 147 601 92;
  • 44) 0,973 798 135 726 077 873 641 770 565 882 325 172 424 333 735 147 601 92 × 2 = 1 + 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 848 667 470 295 203 84;
  • 45) 0,947 596 271 452 155 747 283 541 131 764 650 344 848 667 470 295 203 84 × 2 = 1 + 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 689 697 334 940 590 407 68;
  • 46) 0,895 192 542 904 311 494 567 082 263 529 300 689 697 334 940 590 407 68 × 2 = 1 + 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 379 394 669 881 180 815 36;
  • 47) 0,790 385 085 808 622 989 134 164 527 058 601 379 394 669 881 180 815 36 × 2 = 1 + 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 758 789 339 762 361 630 72;
  • 48) 0,580 770 171 617 245 978 268 329 054 117 202 758 789 339 762 361 630 72 × 2 = 1 + 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 517 578 679 524 723 261 44;
  • 49) 0,161 540 343 234 491 956 536 658 108 234 405 517 578 679 524 723 261 44 × 2 = 0 + 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 035 157 359 049 446 522 88;
  • 50) 0,323 080 686 468 983 913 073 316 216 468 811 035 157 359 049 446 522 88 × 2 = 0 + 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 070 314 718 098 893 045 76;
  • 51) 0,646 161 372 937 967 826 146 632 432 937 622 070 314 718 098 893 045 76 × 2 = 1 + 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 140 629 436 197 786 091 52;
  • 52) 0,292 322 745 875 935 652 293 264 865 875 244 140 629 436 197 786 091 52 × 2 = 0 + 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 281 258 872 395 572 183 04;
  • 53) 0,584 645 491 751 871 304 586 529 731 750 488 281 258 872 395 572 183 04 × 2 = 1 + 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 562 517 744 791 144 366 08;
  • 54) 0,169 290 983 503 742 609 173 059 463 500 976 562 517 744 791 144 366 08 × 2 = 0 + 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 953 125 035 489 582 288 732 16;
  • 55) 0,338 581 967 007 485 218 346 118 927 001 953 125 035 489 582 288 732 16 × 2 = 0 + 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 906 250 070 979 164 577 464 32;
  • 56) 0,677 163 934 014 970 436 692 237 854 003 906 250 070 979 164 577 464 32 × 2 = 1 + 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 812 500 141 958 329 154 928 64;
  • 57) 0,354 327 868 029 940 873 384 475 708 007 812 500 141 958 329 154 928 64 × 2 = 0 + 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 625 000 283 916 658 309 857 28;
  • 58) 0,708 655 736 059 881 746 768 951 416 015 625 000 283 916 658 309 857 28 × 2 = 1 + 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 250 000 567 833 316 619 714 56;
  • 59) 0,417 311 472 119 763 493 537 902 832 031 250 000 567 833 316 619 714 56 × 2 = 0 + 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 500 001 135 666 633 239 429 12;
  • 60) 0,834 622 944 239 526 987 075 805 664 062 500 001 135 666 633 239 429 12 × 2 = 1 + 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 000 002 271 333 266 478 858 24;
  • 61) 0,669 245 888 479 053 974 151 611 328 125 000 002 271 333 266 478 858 24 × 2 = 1 + 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 000 004 542 666 532 957 716 48;
  • 62) 0,338 491 776 958 107 948 303 222 656 250 000 004 542 666 532 957 716 48 × 2 = 0 + 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 500 000 009 085 333 065 915 432 96;
  • 63) 0,676 983 553 916 215 896 606 445 312 500 000 009 085 333 065 915 432 96 × 2 = 1 + 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 000 000 018 170 666 131 830 865 92;
  • 64) 0,353 967 107 832 431 793 212 890 625 000 000 018 170 666 131 830 865 92 × 2 = 0 + 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 000 000 036 341 332 263 661 731 84;
  • 65) 0,707 934 215 664 863 586 425 781 250 000 000 036 341 332 263 661 731 84 × 2 = 1 + 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 000 000 072 682 664 527 323 463 68;
  • 66) 0,415 868 431 329 727 172 851 562 500 000 000 072 682 664 527 323 463 68 × 2 = 0 + 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 000 000 145 365 329 054 646 927 36;
  • 67) 0,831 736 862 659 454 345 703 125 000 000 000 145 365 329 054 646 927 36 × 2 = 1 + 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 000 000 290 730 658 109 293 854 72;
  • 68) 0,663 473 725 318 908 691 406 250 000 000 000 290 730 658 109 293 854 72 × 2 = 1 + 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 000 000 581 461 316 218 587 709 44;
  • 69) 0,326 947 450 637 817 382 812 500 000 000 000 581 461 316 218 587 709 44 × 2 = 0 + 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 000 001 162 922 632 437 175 418 88;
  • 70) 0,653 894 901 275 634 765 625 000 000 000 001 162 922 632 437 175 418 88 × 2 = 1 + 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 000 002 325 845 264 874 350 837 76;
  • 71) 0,307 789 802 551 269 531 250 000 000 000 002 325 845 264 874 350 837 76 × 2 = 0 + 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 000 004 651 690 529 748 701 675 52;
  • 72) 0,615 579 605 102 539 062 500 000 000 000 004 651 690 529 748 701 675 52 × 2 = 1 + 0,231 159 210 205 078 125 000 000 000 000 009 303 381 059 497 403 351 04;
  • 73) 0,231 159 210 205 078 125 000 000 000 000 009 303 381 059 497 403 351 04 × 2 = 0 + 0,462 318 420 410 156 250 000 000 000 000 018 606 762 118 994 806 702 08;
  • 74) 0,462 318 420 410 156 250 000 000 000 000 018 606 762 118 994 806 702 08 × 2 = 0 + 0,924 636 840 820 312 500 000 000 000 000 037 213 524 237 989 613 404 16;
  • 75) 0,924 636 840 820 312 500 000 000 000 000 037 213 524 237 989 613 404 16 × 2 = 1 + 0,849 273 681 640 625 000 000 000 000 000 074 427 048 475 979 226 808 32;
  • 76) 0,849 273 681 640 625 000 000 000 000 000 074 427 048 475 979 226 808 32 × 2 = 1 + 0,698 547 363 281 250 000 000 000 000 000 148 854 096 951 958 453 616 64;
  • 77) 0,698 547 363 281 250 000 000 000 000 000 148 854 096 951 958 453 616 64 × 2 = 1 + 0,397 094 726 562 500 000 000 000 000 000 297 708 193 903 916 907 233 28;
  • 78) 0,397 094 726 562 500 000 000 000 000 000 297 708 193 903 916 907 233 28 × 2 = 0 + 0,794 189 453 125 000 000 000 000 000 000 595 416 387 807 833 814 466 56;
  • 79) 0,794 189 453 125 000 000 000 000 000 000 595 416 387 807 833 814 466 56 × 2 = 1 + 0,588 378 906 250 000 000 000 000 000 001 190 832 775 615 667 628 933 12;
  • 80) 0,588 378 906 250 000 000 000 000 000 001 190 832 775 615 667 628 933 12 × 2 = 1 + 0,176 757 812 500 000 000 000 000 000 002 381 665 551 231 335 257 866 24;
  • 81) 0,176 757 812 500 000 000 000 000 000 002 381 665 551 231 335 257 866 24 × 2 = 0 + 0,353 515 625 000 000 000 000 000 000 004 763 331 102 462 670 515 732 48;
  • 82) 0,353 515 625 000 000 000 000 000 000 004 763 331 102 462 670 515 732 48 × 2 = 0 + 0,707 031 250 000 000 000 000 000 000 009 526 662 204 925 341 031 464 96;
  • 83) 0,707 031 250 000 000 000 000 000 000 009 526 662 204 925 341 031 464 96 × 2 = 1 + 0,414 062 500 000 000 000 000 000 000 019 053 324 409 850 682 062 929 92;
  • 84) 0,414 062 500 000 000 000 000 000 000 019 053 324 409 850 682 062 929 92 × 2 = 0 + 0,828 125 000 000 000 000 000 000 000 038 106 648 819 701 364 125 859 84;
  • 85) 0,828 125 000 000 000 000 000 000 000 038 106 648 819 701 364 125 859 84 × 2 = 1 + 0,656 250 000 000 000 000 000 000 000 076 213 297 639 402 728 251 719 68;
  • 86) 0,656 250 000 000 000 000 000 000 000 076 213 297 639 402 728 251 719 68 × 2 = 1 + 0,312 500 000 000 000 000 000 000 000 152 426 595 278 805 456 503 439 36;
  • 87) 0,312 500 000 000 000 000 000 000 000 152 426 595 278 805 456 503 439 36 × 2 = 0 + 0,625 000 000 000 000 000 000 000 000 304 853 190 557 610 913 006 878 72;
  • 88) 0,625 000 000 000 000 000 000 000 000 304 853 190 557 610 913 006 878 72 × 2 = 1 + 0,250 000 000 000 000 000 000 000 000 609 706 381 115 221 826 013 757 44;
  • 89) 0,250 000 000 000 000 000 000 000 000 609 706 381 115 221 826 013 757 44 × 2 = 0 + 0,500 000 000 000 000 000 000 000 001 219 412 762 230 443 652 027 514 88;
  • 90) 0,500 000 000 000 000 000 000 000 001 219 412 762 230 443 652 027 514 88 × 2 = 1 + 0,000 000 000 000 000 000 000 000 002 438 825 524 460 887 304 055 029 76;
  • 91) 0,000 000 000 000 000 000 000 000 002 438 825 524 460 887 304 055 029 76 × 2 = 0 + 0,000 000 000 000 000 000 000 000 004 877 651 048 921 774 608 110 059 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 39 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 0010 1001 0101 1010 1011 0101 0011 1011 0010 1101 010(2) × 20 =

1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010(2) × 2-39


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -39

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-39 + 2(11-1) - 1 =

(-39 + 1 023)(10) =

984(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 984 : 2 = 492 + 0;
  • 492 : 2 = 246 + 0;
  • 246 : 2 = 123 + 0;
  • 123 : 2 = 61 + 1;
  • 61 : 2 = 30 + 1;
  • 30 : 2 = 15 + 0;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

984(10) =

011 1101 1000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010 =

1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1101 1000

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010


Numărul zecimal 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 152 99 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1101 1000 - 1111 1111 1001 0100 1010 1101 0101 1010 1001 1101 1001 0110 1010

Distribuie

» Scriere 0,000 000 000 003 634 999 999 999 999 758 261 057 032 300 678 335 153 22 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100