0,000 053 174 916 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 174 916(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 174 916(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 174 916.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 174 916 × 2 = 0 + 0,000 106 349 832;
  • 2) 0,000 106 349 832 × 2 = 0 + 0,000 212 699 664;
  • 3) 0,000 212 699 664 × 2 = 0 + 0,000 425 399 328;
  • 4) 0,000 425 399 328 × 2 = 0 + 0,000 850 798 656;
  • 5) 0,000 850 798 656 × 2 = 0 + 0,001 701 597 312;
  • 6) 0,001 701 597 312 × 2 = 0 + 0,003 403 194 624;
  • 7) 0,003 403 194 624 × 2 = 0 + 0,006 806 389 248;
  • 8) 0,006 806 389 248 × 2 = 0 + 0,013 612 778 496;
  • 9) 0,013 612 778 496 × 2 = 0 + 0,027 225 556 992;
  • 10) 0,027 225 556 992 × 2 = 0 + 0,054 451 113 984;
  • 11) 0,054 451 113 984 × 2 = 0 + 0,108 902 227 968;
  • 12) 0,108 902 227 968 × 2 = 0 + 0,217 804 455 936;
  • 13) 0,217 804 455 936 × 2 = 0 + 0,435 608 911 872;
  • 14) 0,435 608 911 872 × 2 = 0 + 0,871 217 823 744;
  • 15) 0,871 217 823 744 × 2 = 1 + 0,742 435 647 488;
  • 16) 0,742 435 647 488 × 2 = 1 + 0,484 871 294 976;
  • 17) 0,484 871 294 976 × 2 = 0 + 0,969 742 589 952;
  • 18) 0,969 742 589 952 × 2 = 1 + 0,939 485 179 904;
  • 19) 0,939 485 179 904 × 2 = 1 + 0,878 970 359 808;
  • 20) 0,878 970 359 808 × 2 = 1 + 0,757 940 719 616;
  • 21) 0,757 940 719 616 × 2 = 1 + 0,515 881 439 232;
  • 22) 0,515 881 439 232 × 2 = 1 + 0,031 762 878 464;
  • 23) 0,031 762 878 464 × 2 = 0 + 0,063 525 756 928;
  • 24) 0,063 525 756 928 × 2 = 0 + 0,127 051 513 856;
  • 25) 0,127 051 513 856 × 2 = 0 + 0,254 103 027 712;
  • 26) 0,254 103 027 712 × 2 = 0 + 0,508 206 055 424;
  • 27) 0,508 206 055 424 × 2 = 1 + 0,016 412 110 848;
  • 28) 0,016 412 110 848 × 2 = 0 + 0,032 824 221 696;
  • 29) 0,032 824 221 696 × 2 = 0 + 0,065 648 443 392;
  • 30) 0,065 648 443 392 × 2 = 0 + 0,131 296 886 784;
  • 31) 0,131 296 886 784 × 2 = 0 + 0,262 593 773 568;
  • 32) 0,262 593 773 568 × 2 = 0 + 0,525 187 547 136;
  • 33) 0,525 187 547 136 × 2 = 1 + 0,050 375 094 272;
  • 34) 0,050 375 094 272 × 2 = 0 + 0,100 750 188 544;
  • 35) 0,100 750 188 544 × 2 = 0 + 0,201 500 377 088;
  • 36) 0,201 500 377 088 × 2 = 0 + 0,403 000 754 176;
  • 37) 0,403 000 754 176 × 2 = 0 + 0,806 001 508 352;
  • 38) 0,806 001 508 352 × 2 = 1 + 0,612 003 016 704;
  • 39) 0,612 003 016 704 × 2 = 1 + 0,224 006 033 408;
  • 40) 0,224 006 033 408 × 2 = 0 + 0,448 012 066 816;
  • 41) 0,448 012 066 816 × 2 = 0 + 0,896 024 133 632;
  • 42) 0,896 024 133 632 × 2 = 1 + 0,792 048 267 264;
  • 43) 0,792 048 267 264 × 2 = 1 + 0,584 096 534 528;
  • 44) 0,584 096 534 528 × 2 = 1 + 0,168 193 069 056;
  • 45) 0,168 193 069 056 × 2 = 0 + 0,336 386 138 112;
  • 46) 0,336 386 138 112 × 2 = 0 + 0,672 772 276 224;
  • 47) 0,672 772 276 224 × 2 = 1 + 0,345 544 552 448;
  • 48) 0,345 544 552 448 × 2 = 0 + 0,691 089 104 896;
  • 49) 0,691 089 104 896 × 2 = 1 + 0,382 178 209 792;
  • 50) 0,382 178 209 792 × 2 = 0 + 0,764 356 419 584;
  • 51) 0,764 356 419 584 × 2 = 1 + 0,528 712 839 168;
  • 52) 0,528 712 839 168 × 2 = 1 + 0,057 425 678 336;
  • 53) 0,057 425 678 336 × 2 = 0 + 0,114 851 356 672;
  • 54) 0,114 851 356 672 × 2 = 0 + 0,229 702 713 344;
  • 55) 0,229 702 713 344 × 2 = 0 + 0,459 405 426 688;
  • 56) 0,459 405 426 688 × 2 = 0 + 0,918 810 853 376;
  • 57) 0,918 810 853 376 × 2 = 1 + 0,837 621 706 752;
  • 58) 0,837 621 706 752 × 2 = 1 + 0,675 243 413 504;
  • 59) 0,675 243 413 504 × 2 = 1 + 0,350 486 827 008;
  • 60) 0,350 486 827 008 × 2 = 0 + 0,700 973 654 016;
  • 61) 0,700 973 654 016 × 2 = 1 + 0,401 947 308 032;
  • 62) 0,401 947 308 032 × 2 = 0 + 0,803 894 616 064;
  • 63) 0,803 894 616 064 × 2 = 1 + 0,607 789 232 128;
  • 64) 0,607 789 232 128 × 2 = 1 + 0,215 578 464 256;
  • 65) 0,215 578 464 256 × 2 = 0 + 0,431 156 928 512;
  • 66) 0,431 156 928 512 × 2 = 0 + 0,862 313 857 024;
  • 67) 0,862 313 857 024 × 2 = 1 + 0,724 627 714 048;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 174 916(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0110 0111 0010 1011 0000 1110 1011 001(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 174 916(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0110 0111 0010 1011 0000 1110 1011 001(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 174 916(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0110 0111 0010 1011 0000 1110 1011 001(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 0110 0111 0010 1011 0000 1110 1011 001(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0000 0100 0011 0011 1001 0101 1000 0111 0101 1001(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0000 0100 0011 0011 1001 0101 1000 0111 0101 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0000 0100 0011 0011 1001 0101 1000 0111 0101 1001 =

1011 1110 0001 0000 0100 0011 0011 1001 0101 1000 0111 0101 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0000 0100 0011 0011 1001 0101 1000 0111 0101 1001


Numărul zecimal 0,000 053 174 916 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0000 0100 0011 0011 1001 0101 1000 0111 0101 1001

» Scriere 0,000 053 174 925 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100