0,000 053 174 92 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 053 174 92(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 053 174 92(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 053 174 92.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 053 174 92 × 2 = 0 + 0,000 106 349 84;
  • 2) 0,000 106 349 84 × 2 = 0 + 0,000 212 699 68;
  • 3) 0,000 212 699 68 × 2 = 0 + 0,000 425 399 36;
  • 4) 0,000 425 399 36 × 2 = 0 + 0,000 850 798 72;
  • 5) 0,000 850 798 72 × 2 = 0 + 0,001 701 597 44;
  • 6) 0,001 701 597 44 × 2 = 0 + 0,003 403 194 88;
  • 7) 0,003 403 194 88 × 2 = 0 + 0,006 806 389 76;
  • 8) 0,006 806 389 76 × 2 = 0 + 0,013 612 779 52;
  • 9) 0,013 612 779 52 × 2 = 0 + 0,027 225 559 04;
  • 10) 0,027 225 559 04 × 2 = 0 + 0,054 451 118 08;
  • 11) 0,054 451 118 08 × 2 = 0 + 0,108 902 236 16;
  • 12) 0,108 902 236 16 × 2 = 0 + 0,217 804 472 32;
  • 13) 0,217 804 472 32 × 2 = 0 + 0,435 608 944 64;
  • 14) 0,435 608 944 64 × 2 = 0 + 0,871 217 889 28;
  • 15) 0,871 217 889 28 × 2 = 1 + 0,742 435 778 56;
  • 16) 0,742 435 778 56 × 2 = 1 + 0,484 871 557 12;
  • 17) 0,484 871 557 12 × 2 = 0 + 0,969 743 114 24;
  • 18) 0,969 743 114 24 × 2 = 1 + 0,939 486 228 48;
  • 19) 0,939 486 228 48 × 2 = 1 + 0,878 972 456 96;
  • 20) 0,878 972 456 96 × 2 = 1 + 0,757 944 913 92;
  • 21) 0,757 944 913 92 × 2 = 1 + 0,515 889 827 84;
  • 22) 0,515 889 827 84 × 2 = 1 + 0,031 779 655 68;
  • 23) 0,031 779 655 68 × 2 = 0 + 0,063 559 311 36;
  • 24) 0,063 559 311 36 × 2 = 0 + 0,127 118 622 72;
  • 25) 0,127 118 622 72 × 2 = 0 + 0,254 237 245 44;
  • 26) 0,254 237 245 44 × 2 = 0 + 0,508 474 490 88;
  • 27) 0,508 474 490 88 × 2 = 1 + 0,016 948 981 76;
  • 28) 0,016 948 981 76 × 2 = 0 + 0,033 897 963 52;
  • 29) 0,033 897 963 52 × 2 = 0 + 0,067 795 927 04;
  • 30) 0,067 795 927 04 × 2 = 0 + 0,135 591 854 08;
  • 31) 0,135 591 854 08 × 2 = 0 + 0,271 183 708 16;
  • 32) 0,271 183 708 16 × 2 = 0 + 0,542 367 416 32;
  • 33) 0,542 367 416 32 × 2 = 1 + 0,084 734 832 64;
  • 34) 0,084 734 832 64 × 2 = 0 + 0,169 469 665 28;
  • 35) 0,169 469 665 28 × 2 = 0 + 0,338 939 330 56;
  • 36) 0,338 939 330 56 × 2 = 0 + 0,677 878 661 12;
  • 37) 0,677 878 661 12 × 2 = 1 + 0,355 757 322 24;
  • 38) 0,355 757 322 24 × 2 = 0 + 0,711 514 644 48;
  • 39) 0,711 514 644 48 × 2 = 1 + 0,423 029 288 96;
  • 40) 0,423 029 288 96 × 2 = 0 + 0,846 058 577 92;
  • 41) 0,846 058 577 92 × 2 = 1 + 0,692 117 155 84;
  • 42) 0,692 117 155 84 × 2 = 1 + 0,384 234 311 68;
  • 43) 0,384 234 311 68 × 2 = 0 + 0,768 468 623 36;
  • 44) 0,768 468 623 36 × 2 = 1 + 0,536 937 246 72;
  • 45) 0,536 937 246 72 × 2 = 1 + 0,073 874 493 44;
  • 46) 0,073 874 493 44 × 2 = 0 + 0,147 748 986 88;
  • 47) 0,147 748 986 88 × 2 = 0 + 0,295 497 973 76;
  • 48) 0,295 497 973 76 × 2 = 0 + 0,590 995 947 52;
  • 49) 0,590 995 947 52 × 2 = 1 + 0,181 991 895 04;
  • 50) 0,181 991 895 04 × 2 = 0 + 0,363 983 790 08;
  • 51) 0,363 983 790 08 × 2 = 0 + 0,727 967 580 16;
  • 52) 0,727 967 580 16 × 2 = 1 + 0,455 935 160 32;
  • 53) 0,455 935 160 32 × 2 = 0 + 0,911 870 320 64;
  • 54) 0,911 870 320 64 × 2 = 1 + 0,823 740 641 28;
  • 55) 0,823 740 641 28 × 2 = 1 + 0,647 481 282 56;
  • 56) 0,647 481 282 56 × 2 = 1 + 0,294 962 565 12;
  • 57) 0,294 962 565 12 × 2 = 0 + 0,589 925 130 24;
  • 58) 0,589 925 130 24 × 2 = 1 + 0,179 850 260 48;
  • 59) 0,179 850 260 48 × 2 = 0 + 0,359 700 520 96;
  • 60) 0,359 700 520 96 × 2 = 0 + 0,719 401 041 92;
  • 61) 0,719 401 041 92 × 2 = 1 + 0,438 802 083 84;
  • 62) 0,438 802 083 84 × 2 = 0 + 0,877 604 167 68;
  • 63) 0,877 604 167 68 × 2 = 1 + 0,755 208 335 36;
  • 64) 0,755 208 335 36 × 2 = 1 + 0,510 416 670 72;
  • 65) 0,510 416 670 72 × 2 = 1 + 0,020 833 341 44;
  • 66) 0,020 833 341 44 × 2 = 0 + 0,041 666 682 88;
  • 67) 0,041 666 682 88 × 2 = 0 + 0,083 333 365 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 053 174 92(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 1101 1000 1001 0111 0100 1011 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 053 174 92(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 1101 1000 1001 0111 0100 1011 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 053 174 92(10) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 1101 1000 1001 0111 0100 1011 100(2) =

0,0000 0000 0000 0011 0111 1100 0010 0000 1000 1010 1101 1000 1001 0111 0100 1011 100(2) × 20 =

1,1011 1110 0001 0000 0100 0101 0110 1100 0100 1011 1010 0101 1100(2) × 2-15


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 1110 0001 0000 0100 0101 0110 1100 0100 1011 1010 0101 1100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 1110 0001 0000 0100 0101 0110 1100 0100 1011 1010 0101 1100 =

1011 1110 0001 0000 0100 0101 0110 1100 0100 1011 1010 0101 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
1011 1110 0001 0000 0100 0101 0110 1100 0100 1011 1010 0101 1100


Numărul zecimal 0,000 053 174 92 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0000 - 1011 1110 0001 0000 0100 0101 0110 1100 0100 1011 1010 0101 1100

» Scriere 0,000 053 174 17 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100