0,000 684 924 130 728 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,000 684 924 130 728(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,000 684 924 130 728(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 684 924 130 728.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 684 924 130 728 × 2 = 0 + 0,001 369 848 261 456;
  • 2) 0,001 369 848 261 456 × 2 = 0 + 0,002 739 696 522 912;
  • 3) 0,002 739 696 522 912 × 2 = 0 + 0,005 479 393 045 824;
  • 4) 0,005 479 393 045 824 × 2 = 0 + 0,010 958 786 091 648;
  • 5) 0,010 958 786 091 648 × 2 = 0 + 0,021 917 572 183 296;
  • 6) 0,021 917 572 183 296 × 2 = 0 + 0,043 835 144 366 592;
  • 7) 0,043 835 144 366 592 × 2 = 0 + 0,087 670 288 733 184;
  • 8) 0,087 670 288 733 184 × 2 = 0 + 0,175 340 577 466 368;
  • 9) 0,175 340 577 466 368 × 2 = 0 + 0,350 681 154 932 736;
  • 10) 0,350 681 154 932 736 × 2 = 0 + 0,701 362 309 865 472;
  • 11) 0,701 362 309 865 472 × 2 = 1 + 0,402 724 619 730 944;
  • 12) 0,402 724 619 730 944 × 2 = 0 + 0,805 449 239 461 888;
  • 13) 0,805 449 239 461 888 × 2 = 1 + 0,610 898 478 923 776;
  • 14) 0,610 898 478 923 776 × 2 = 1 + 0,221 796 957 847 552;
  • 15) 0,221 796 957 847 552 × 2 = 0 + 0,443 593 915 695 104;
  • 16) 0,443 593 915 695 104 × 2 = 0 + 0,887 187 831 390 208;
  • 17) 0,887 187 831 390 208 × 2 = 1 + 0,774 375 662 780 416;
  • 18) 0,774 375 662 780 416 × 2 = 1 + 0,548 751 325 560 832;
  • 19) 0,548 751 325 560 832 × 2 = 1 + 0,097 502 651 121 664;
  • 20) 0,097 502 651 121 664 × 2 = 0 + 0,195 005 302 243 328;
  • 21) 0,195 005 302 243 328 × 2 = 0 + 0,390 010 604 486 656;
  • 22) 0,390 010 604 486 656 × 2 = 0 + 0,780 021 208 973 312;
  • 23) 0,780 021 208 973 312 × 2 = 1 + 0,560 042 417 946 624;
  • 24) 0,560 042 417 946 624 × 2 = 1 + 0,120 084 835 893 248;
  • 25) 0,120 084 835 893 248 × 2 = 0 + 0,240 169 671 786 496;
  • 26) 0,240 169 671 786 496 × 2 = 0 + 0,480 339 343 572 992;
  • 27) 0,480 339 343 572 992 × 2 = 0 + 0,960 678 687 145 984;
  • 28) 0,960 678 687 145 984 × 2 = 1 + 0,921 357 374 291 968;
  • 29) 0,921 357 374 291 968 × 2 = 1 + 0,842 714 748 583 936;
  • 30) 0,842 714 748 583 936 × 2 = 1 + 0,685 429 497 167 872;
  • 31) 0,685 429 497 167 872 × 2 = 1 + 0,370 858 994 335 744;
  • 32) 0,370 858 994 335 744 × 2 = 0 + 0,741 717 988 671 488;
  • 33) 0,741 717 988 671 488 × 2 = 1 + 0,483 435 977 342 976;
  • 34) 0,483 435 977 342 976 × 2 = 0 + 0,966 871 954 685 952;
  • 35) 0,966 871 954 685 952 × 2 = 1 + 0,933 743 909 371 904;
  • 36) 0,933 743 909 371 904 × 2 = 1 + 0,867 487 818 743 808;
  • 37) 0,867 487 818 743 808 × 2 = 1 + 0,734 975 637 487 616;
  • 38) 0,734 975 637 487 616 × 2 = 1 + 0,469 951 274 975 232;
  • 39) 0,469 951 274 975 232 × 2 = 0 + 0,939 902 549 950 464;
  • 40) 0,939 902 549 950 464 × 2 = 1 + 0,879 805 099 900 928;
  • 41) 0,879 805 099 900 928 × 2 = 1 + 0,759 610 199 801 856;
  • 42) 0,759 610 199 801 856 × 2 = 1 + 0,519 220 399 603 712;
  • 43) 0,519 220 399 603 712 × 2 = 1 + 0,038 440 799 207 424;
  • 44) 0,038 440 799 207 424 × 2 = 0 + 0,076 881 598 414 848;
  • 45) 0,076 881 598 414 848 × 2 = 0 + 0,153 763 196 829 696;
  • 46) 0,153 763 196 829 696 × 2 = 0 + 0,307 526 393 659 392;
  • 47) 0,307 526 393 659 392 × 2 = 0 + 0,615 052 787 318 784;
  • 48) 0,615 052 787 318 784 × 2 = 1 + 0,230 105 574 637 568;
  • 49) 0,230 105 574 637 568 × 2 = 0 + 0,460 211 149 275 136;
  • 50) 0,460 211 149 275 136 × 2 = 0 + 0,920 422 298 550 272;
  • 51) 0,920 422 298 550 272 × 2 = 1 + 0,840 844 597 100 544;
  • 52) 0,840 844 597 100 544 × 2 = 1 + 0,681 689 194 201 088;
  • 53) 0,681 689 194 201 088 × 2 = 1 + 0,363 378 388 402 176;
  • 54) 0,363 378 388 402 176 × 2 = 0 + 0,726 756 776 804 352;
  • 55) 0,726 756 776 804 352 × 2 = 1 + 0,453 513 553 608 704;
  • 56) 0,453 513 553 608 704 × 2 = 0 + 0,907 027 107 217 408;
  • 57) 0,907 027 107 217 408 × 2 = 1 + 0,814 054 214 434 816;
  • 58) 0,814 054 214 434 816 × 2 = 1 + 0,628 108 428 869 632;
  • 59) 0,628 108 428 869 632 × 2 = 1 + 0,256 216 857 739 264;
  • 60) 0,256 216 857 739 264 × 2 = 0 + 0,512 433 715 478 528;
  • 61) 0,512 433 715 478 528 × 2 = 1 + 0,024 867 430 957 056;
  • 62) 0,024 867 430 957 056 × 2 = 0 + 0,049 734 861 914 112;
  • 63) 0,049 734 861 914 112 × 2 = 0 + 0,099 469 723 828 224;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 684 924 130 728(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0001 0011 1010 1110 100(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 684 924 130 728(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0001 0011 1010 1110 100(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 684 924 130 728(10) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0001 0011 1010 1110 100(2) =

0,0000 0000 0010 1100 1110 0011 0001 1110 1011 1101 1110 0001 0011 1010 1110 100(2) × 20 =

1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0000 1001 1101 0111 0100(2) × 2-11


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -11

Mantisă (nenormalizată):
1,0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0000 1001 1101 0111 0100


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-11 + 2(11-1) - 1 =

(-11 + 1 023)(10) =

1 012(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 012 : 2 = 506 + 0;
  • 506 : 2 = 253 + 0;
  • 253 : 2 = 126 + 1;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1012(10) =

011 1111 0100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0000 1001 1101 0111 0100 =

0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0000 1001 1101 0111 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0100

Mantisă (52 biți) =
0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0000 1001 1101 0111 0100


Numărul zecimal 0,000 684 924 130 728 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 0100 - 0110 0111 0001 1000 1111 0101 1110 1111 0000 1001 1101 0111 0100

» Scriere 0,000 684 924 130 636 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100