0,142 857 142 857 142 867 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 0,142 857 142 857 142 867(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
0,142 857 142 857 142 867(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 142 857 142 867.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 142 857 142 867 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 734;
  • 2) 0,285 714 285 714 285 734 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 468;
  • 3) 0,571 428 571 428 571 468 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 142 936;
  • 4) 0,142 857 142 857 142 936 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 285 872;
  • 5) 0,285 714 285 714 285 872 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 571 744;
  • 6) 0,571 428 571 428 571 744 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 143 488;
  • 7) 0,142 857 142 857 143 488 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 286 976;
  • 8) 0,285 714 285 714 286 976 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 573 952;
  • 9) 0,571 428 571 428 573 952 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 147 904;
  • 10) 0,142 857 142 857 147 904 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 295 808;
  • 11) 0,285 714 285 714 295 808 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 591 616;
  • 12) 0,571 428 571 428 591 616 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 183 232;
  • 13) 0,142 857 142 857 183 232 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 366 464;
  • 14) 0,285 714 285 714 366 464 × 2 = 0 + 0,571 428 571 428 732 928;
  • 15) 0,571 428 571 428 732 928 × 2 = 1 + 0,142 857 142 857 465 856;
  • 16) 0,142 857 142 857 465 856 × 2 = 0 + 0,285 714 285 714 931 712;
  • 17) 0,285 714 285 714 931 712 × 2 = 0 + 0,571 428 571 429 863 424;
  • 18) 0,571 428 571 429 863 424 × 2 = 1 + 0,142 857 142 859 726 848;
  • 19) 0,142 857 142 859 726 848 × 2 = 0 + 0,285 714 285 719 453 696;
  • 20) 0,285 714 285 719 453 696 × 2 = 0 + 0,571 428 571 438 907 392;
  • 21) 0,571 428 571 438 907 392 × 2 = 1 + 0,142 857 142 877 814 784;
  • 22) 0,142 857 142 877 814 784 × 2 = 0 + 0,285 714 285 755 629 568;
  • 23) 0,285 714 285 755 629 568 × 2 = 0 + 0,571 428 571 511 259 136;
  • 24) 0,571 428 571 511 259 136 × 2 = 1 + 0,142 857 143 022 518 272;
  • 25) 0,142 857 143 022 518 272 × 2 = 0 + 0,285 714 286 045 036 544;
  • 26) 0,285 714 286 045 036 544 × 2 = 0 + 0,571 428 572 090 073 088;
  • 27) 0,571 428 572 090 073 088 × 2 = 1 + 0,142 857 144 180 146 176;
  • 28) 0,142 857 144 180 146 176 × 2 = 0 + 0,285 714 288 360 292 352;
  • 29) 0,285 714 288 360 292 352 × 2 = 0 + 0,571 428 576 720 584 704;
  • 30) 0,571 428 576 720 584 704 × 2 = 1 + 0,142 857 153 441 169 408;
  • 31) 0,142 857 153 441 169 408 × 2 = 0 + 0,285 714 306 882 338 816;
  • 32) 0,285 714 306 882 338 816 × 2 = 0 + 0,571 428 613 764 677 632;
  • 33) 0,571 428 613 764 677 632 × 2 = 1 + 0,142 857 227 529 355 264;
  • 34) 0,142 857 227 529 355 264 × 2 = 0 + 0,285 714 455 058 710 528;
  • 35) 0,285 714 455 058 710 528 × 2 = 0 + 0,571 428 910 117 421 056;
  • 36) 0,571 428 910 117 421 056 × 2 = 1 + 0,142 857 820 234 842 112;
  • 37) 0,142 857 820 234 842 112 × 2 = 0 + 0,285 715 640 469 684 224;
  • 38) 0,285 715 640 469 684 224 × 2 = 0 + 0,571 431 280 939 368 448;
  • 39) 0,571 431 280 939 368 448 × 2 = 1 + 0,142 862 561 878 736 896;
  • 40) 0,142 862 561 878 736 896 × 2 = 0 + 0,285 725 123 757 473 792;
  • 41) 0,285 725 123 757 473 792 × 2 = 0 + 0,571 450 247 514 947 584;
  • 42) 0,571 450 247 514 947 584 × 2 = 1 + 0,142 900 495 029 895 168;
  • 43) 0,142 900 495 029 895 168 × 2 = 0 + 0,285 800 990 059 790 336;
  • 44) 0,285 800 990 059 790 336 × 2 = 0 + 0,571 601 980 119 580 672;
  • 45) 0,571 601 980 119 580 672 × 2 = 1 + 0,143 203 960 239 161 344;
  • 46) 0,143 203 960 239 161 344 × 2 = 0 + 0,286 407 920 478 322 688;
  • 47) 0,286 407 920 478 322 688 × 2 = 0 + 0,572 815 840 956 645 376;
  • 48) 0,572 815 840 956 645 376 × 2 = 1 + 0,145 631 681 913 290 752;
  • 49) 0,145 631 681 913 290 752 × 2 = 0 + 0,291 263 363 826 581 504;
  • 50) 0,291 263 363 826 581 504 × 2 = 0 + 0,582 526 727 653 163 008;
  • 51) 0,582 526 727 653 163 008 × 2 = 1 + 0,165 053 455 306 326 016;
  • 52) 0,165 053 455 306 326 016 × 2 = 0 + 0,330 106 910 612 652 032;
  • 53) 0,330 106 910 612 652 032 × 2 = 0 + 0,660 213 821 225 304 064;
  • 54) 0,660 213 821 225 304 064 × 2 = 1 + 0,320 427 642 450 608 128;
  • 55) 0,320 427 642 450 608 128 × 2 = 0 + 0,640 855 284 901 216 256;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 142 857 142 867(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,142 857 142 857 142 867(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 3 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,142 857 142 857 142 867(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 010(2) × 20 =

1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010(2) × 2-3


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): -3

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-3 + 2(11-1) - 1 =

(-3 + 1 023)(10) =

1 020(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 020 : 2 = 510 + 0;
  • 510 : 2 = 255 + 0;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1020(10) =

011 1111 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 =

0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
011 1111 1100

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010


Numărul zecimal 0,142 857 142 857 142 867 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 011 1111 1100 - 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0010

Distribuie

» Scriere 0,142 857 142 857 142 964 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100